2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第9章統(tǒng)計9.2.4總體離散程度的估計學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE9.學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差)．(重點)2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義．(重點、難點)1.通過對標準差、方差、極差概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過利用標準差、方差、極差估計總體的離散程度，培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.經(jīng)過計算可知甲、乙的命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)都是7環(huán)．問題：若從二人中選一人去和兄弟部分參與射擊大賽，只用平均數(shù)能否作出選擇？1．一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標準差數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2，標準差為eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,xi－\o(x,\s\up7(－))2)).2．總體方差和標準差(1)總體方差和標準差：假如總體中全部個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則稱S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)Yi－eq\o(Y,\s\up7(－)))2為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標準差．(2)總體方差的加權(quán)形式：假如總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\o(Y,\s\up7(－)))2.3．樣本方差和標準差假如一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)yi－eq\o(y,\s\up7(－)))2為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標準差．4．標準差的意義標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?．分層隨機抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為eq\x\to(x)，其中兩層的個體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up7(－))1，eq\o(x,\s\up7(－))2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則這個樣本的方差為s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up7(－))1－eq\o(x,\s\up7(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up7(－))2－eq\o(x,\s\up7(－)))2]．思索1：甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)為80分，方差為2，乙班的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)為82分，方差為4，那么甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成果的平均分是eq\f(80＋82,2)＝81分嗎？方差是eq\f(2＋4,2)＝3嗎？為什么？[提示]不是，因為甲班和乙班在這60人中的權(quán)重是不同的．思索2：數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up7(－))，方差為s2，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，eq\o(x,\s\up7(－))的方差為seq\o\al(2,1)，那么s2與seq\o\al(2,1)的大小關(guān)系如何？[提示]因為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，eq\o(x,\s\up7(－))比數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn更加相對集中，所以方差變小了，即seq\o\al(2,1)＜s2.1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動改變，則標準差為0. ()(2)標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越集中；標準差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越分散． ()[提示](1)正確．(2)錯誤．標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越分散；標準差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越集中．[答案](1)√(2)×2．在教學(xué)調(diào)查中，甲、乙、丙三個班的數(shù)學(xué)測試成果分布如圖1、2、3，假設(shè)三個班的平均分都是75分，s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三個班數(shù)學(xué)測試成果的標準差，則有()圖1圖2圖3A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1D[所給圖是成果分布圖，平均分是75分，在圖1中，集中在75分旁邊的數(shù)據(jù)最多，圖3中從50分到100分勻稱分布，全部成果不集中在任何一個數(shù)據(jù)旁邊，圖2介于兩者之間．由標準差的意義可得s3＞s2＞s1.]3．已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標準差為()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2B[∵樣本容量n＝5，∴eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s＝eq\r(\f(1,5)[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32])＝eq\r(2).]方差和標準差的計算【例1】甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計算結(jié)果推斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[解](1)eq\o(x,\s\up7(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up7(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．標準差、方差的意義1標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標準差的大小不會超過極差.2標準差、方差的取值范圍：[0，＋∞.標準差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up7(－))A和eq\o(x,\s\up7(－))B，樣本標準差分別為sA和sB，則()A．eq\o(x,\s\up7(－))A>eq\o(x,\s\up7(－))B，sA>sB B．eq\o(x,\s\up7(－))A<eq\o(x,\s\up7(－))B，sA>sBC．eq\o(x,\s\up7(－))A>eq\o(x,\s\up7(－))B，sA<sB D．eq\o(x,\s\up7(－))A<eq\o(x,\s\up7(－))B，sA<sBB[eq\o(x,\s\up7(－))A＝eq\f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，eq\o(x,\s\up7(－))B＝eq\f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(15－11.672＋10－11.672＋12.5－11.672))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋10－11.672＋12.5－11.672＋10－11.672))≈3.47.故eq\o(x,\s\up7(－))A＜eq\o(x,\s\up7(－))B，sA＞sB．]分層隨機抽樣的方差【例2】甲、乙兩支田徑隊體檢結(jié)果為：甲隊的體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么？[解]由題意可知eq\o(x,\s\up7(－))甲＝60，甲隊隊員在全部隊員中所占權(quán)重為eq\f(1,1＋4)＝eq\f(1,5)，eq\o(x,\s\up7(－))乙＝70，乙隊隊員在全部隊員中所占權(quán)重為eq\f(4,1＋4)＝eq\f(4,5)，則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×60＋eq\f(4,5)×70＝68kg，甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為s2＝eq\f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq\f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.計算分層隨機抽樣的方差s2的步驟1確定eq\x\to(x)1，\x\to(x)2，s\o\al(2,1)，s\o\al(2,2)，2確定eq\x\to(x)；3應(yīng)用公式s2＝eq\f(n1,n)[s\o\al(2,1)＋\x\to(x)1－\x\to(x)2]＋\f(n2,n)[s\o\al(2,2)＋\x\to(x)2－\x\to(x)2]，計算s2.eq\o([跟進訓(xùn)練])2．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6,2024年8月份調(diào)查得知該省全部城市房產(chǎn)均價為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.8萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10,8，則二線城市的房價的方差為________．118.52[設(shè)二線城市的房價的方差為s2，由題意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，解得s2＝118.52，即二線城市的房價的方差為118.52.]數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問題]1．對一組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，應(yīng)當從哪幾個方面進行？[提示]用平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的平均水平，用眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的最大集中點，用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢和一般水平，用標準差或方差反映數(shù)據(jù)的離散程度．2．對比兩組數(shù)據(jù)時，要從哪幾個方面進行？[提示]從眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差等幾個方面．【例3】在一次科技學(xué)問競賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成果如下表：分數(shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請依據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計學(xué)問，推斷這兩個組在這次競賽中的成果誰優(yōu)誰劣，并說明理由．[思路探究]分別求出這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差，從這幾個方面進行統(tǒng)計分析．[解](1)甲組成果的眾數(shù)為90，乙組成果的眾數(shù)為70，從成果的眾數(shù)比較看，甲組成果好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲組成果較乙組成果穩(wěn)定，故甲組好些．(3)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成果在80分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成果較好．(4)從成果統(tǒng)計表看，甲組成果大于等于90分的有20人，乙組成果大于等于90分的有24人，所以乙組成果集中在高分段的人數(shù)多．同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成果較好．數(shù)據(jù)分析的要點(1)要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進行必要的計算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去確定哪一組的成果好，像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結(jié)論．(2)在進行數(shù)據(jù)分析時，不同的標準沒有對和錯的問題，也不存在唯一解的問題，而是依據(jù)須要來選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是依據(jù)提出的標準而定的．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．某校擬派一名跳高運動員參與一項校際競賽，對甲、乙兩名跳高運動員進行了8次選拔競賽，他們的成果(單位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.經(jīng)預(yù)料，跳高1.65m就很可能獲得冠軍．該校為了獲得冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)料跳高1.70m方可獲得冠軍呢？[解]甲的平均成果和方差如下：eq\o(x,\s\up7(－))甲＝eq\f(1,8)(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006.乙的平均成果和方差如下：eq\o(x,\s\up7(－))乙＝eq\f(1,8)(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315.明顯，甲的平均成果高于乙的平均成果，而且甲的方差小于乙的方差，說明甲的成果比乙穩(wěn)定．由于甲的平均成果高于乙，且成果穩(wěn)定，所以若跳高1.65m就很可能獲得冠軍，應(yīng)派甲參賽．在這8次選拔賽中乙有5次成果在1.70m以上，雖然乙的平均成果不如甲，成果的穩(wěn)定性也不如甲，但成果突破1.70m的可能性大于甲，所以若跳高1.70m方可獲得冠軍，應(yīng)派乙參賽.一、學(xué)問必備1．標準差的平方稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標準差的測量效果是一樣的，在實際應(yīng)用中一般多采納標準差．2．現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往許多，總體的平均數(shù)與標準差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差，但要求樣本有較好的代表性．二、方法必備計算標準差的5個步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)；(2)求出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\x\to(x)(i＝1,2，…，n)；(3)求出xi－eq\x\to(x)(i＝1,2，…，n)的平方值；(4)求出上一步中n個平方值的平均數(shù)，即為樣本方差；(5)求出上一步中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標準差．1．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為()A．8 B．15C．16 D．32C[已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標準差為eq\r(22×64)＝2×8＝16，故選C．]2．(一題兩空)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為________．(1)7(2)2[(1)eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]3．已知樣本9