2025屆湖南省長沙市數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題含解析

2025屆湖南省長沙市數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A. B.C. D.2．已知，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積是（）A.12512πC.1256π4．若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，的直線分別為（）A.， B.，C.， D.，5．當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是A.(0，) B.(，1)C.(1，) D.(，2)6．已知集合A={x|x＜2}，B={x≥1}，則A∪B=（）A. B.C. D.R7．下列四個(gè)函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定9．設(shè)，則A. B.0C.1 D.10．直線與直線平行，則的值為（）A. B.2C. D.0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)開_____．12．直線,當(dāng)變動(dòng)時(shí),所有直線都通過定點(diǎn)______.13．化簡求值（1）化簡（2）已知：，求值14．某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積（單位：平方米）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系式為（且）圖象如圖所示.則下列結(jié)論：①浮萍蔓延每個(gè)月增長的面積都相同；②浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的；③浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是；④浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少.其中正確結(jié)論的序號是_____15．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，不等式的最小整數(shù)解為，則__________16．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，在圓上（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn).①若弦長，求直線的方程；②分別過點(diǎn)，作圓的切線，交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)在何種圖形上運(yùn)動(dòng)，并說明理由.18．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）與其耗氧量單位數(shù)之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)，其中為常數(shù)，已知一條鮭魚在靜止時(shí)的耗氧量為100個(gè)單位；而當(dāng)它的游速為時(shí)，其耗氧量為2700個(gè)單位.（1）求出游速與其耗氧量單位數(shù)之間的函數(shù)解析式；（2）求當(dāng)一條鮭魚的游速不高于時(shí)，其耗氧量至多需要多少個(gè)單位？19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，且，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.20．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P=3-6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q=a+2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位：萬元).（1）當(dāng)甲城市投資50萬元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使總收益最大?21．已知函數(shù)（I）若是第一象限角，且．求的值；（II）求使成立的x的取值集合

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由冪函數(shù)定義可直接得到結(jié)果.【詳解】形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選：C.2、B【解析】由以及，可得，即得，再根據(jù)基本不等式即可求的取值范圍.【詳解】解：，不妨設(shè)，若，由，得：，即與矛盾；同理，也可導(dǎo)出矛盾，故，，即，而，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，又，故，即的取值范圍是.故選：B.3、C【解析】由矩形的對角線互相平分且相等即球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等推出球心為AC的中點(diǎn)，即可求出球的半徑，代入體積公式即可得解.【詳解】因?yàn)榫匦螌蔷€互相平分且相等，根據(jù)外接球性質(zhì)易知外接球球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對角線AC上，且球的半徑為AC長度的一半，即r=12AC=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查球與幾何體的切、接問題，二面角的概念，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由圓的對稱性可得過圓的圓心且直線與直線垂直，從而可求出.【詳解】因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，故直線與直線垂直，且直線過圓心，所以，，所以，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，注意根據(jù)圓的對稱性來探求兩條直線的位置關(guān)系以及它們滿足的某些性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】分和兩種情況討論，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不成立.若時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對數(shù)，解得，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使在時(shí)恒成立，則有，如圖選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，熟記對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.6、D【解析】利用并集定義直接求解即可【詳解】∵集合A={x|x＜2}，B={x≥1}，∴A∪B=R.故選D【點(diǎn)睛】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7、C【解析】A.利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；C.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷；D.由，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷；【詳解】A.由一次函數(shù)的性質(zhì)知：在上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.由二次函數(shù)的性質(zhì)知：在遞減，在上遞增，故錯(cuò)誤；C.由反比例函數(shù)的性質(zhì)知：在上遞增，在遞增，則在上為增函數(shù)，故正確；D.由知：函數(shù)在上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由題意結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考查圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】點(diǎn)在圓外，，圓心到直線距離，直線與圓相交.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、B【解析】詳解】故選10、B【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，不合題意；當(dāng)時(shí)，因直線與直線平行，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：容易忽視縱截距不等這個(gè)條件導(dǎo)致錯(cuò)誤.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域即可．【詳解】解：函數(shù)，，由，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增由，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)的最小值為（2），（1），（5）最大值為（5），，即函數(shù)的值域?yàn)椋海蚀鸢笧椋军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的值域的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．12、(3,1)【解析】將直線方程變形為,得到,解出,即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由,得,對于任意,式子恒成立,則有,解出,故答案為:(3,1).【點(diǎn)睛】本題考查直線過定點(diǎn)問題,直線一定過兩直線、的交點(diǎn).13、（1）（2）【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）先進(jìn)行弦化切，把代入即可求解.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)?，所?所以.又，所以.14、②④【解析】由，可求得的值，可得出，計(jì)算出萍蔓延月至月份增長的面積和月至月份增長的面積，可判斷①的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延個(gè)月后的面積和浮萍蔓延個(gè)月后的面積，可判斷②的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延每個(gè)月增長率，可判斷③的正誤；利用指數(shù)運(yùn)算可判斷④的正誤.【詳解】由已知可得，則.對于①，浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），①錯(cuò)；對于②，浮萍蔓延個(gè)月后的面積為（平方米），浮萍蔓延個(gè)月后的面積為（平方米），所以，浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的，②對；對于③，浮萍蔓延第至個(gè)月的增長率為，所以，浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是，③錯(cuò)；對于④，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間、蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和蔓延到平方米的時(shí)間分別為、、，則，，，所以，，所以，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少，④對.故答案為：②④.15、8【解析】利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可知，由此確定的范圍，進(jìn)而得到.【詳解】函數(shù)為上的增函數(shù)，，，函數(shù)的零點(diǎn)滿足，，的最小整數(shù)解故答案為：.16、##【解析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)法可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)內(nèi)層函數(shù)，對稱軸方程為，拋物線開口向下，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，將點(diǎn)，，分別代入圓方程列方程組可解得，，，從而可得圓的方程；（2）①由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，討論兩種情況，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則的方程為，由弦長，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列方程求得，從而可得直線的方程；②，利用兩圓公共弦方程求出切點(diǎn)弦方程，將代入切點(diǎn)弦方程，即可得結(jié)果.試題解析：（1）設(shè)圓方程為：，由題意可得解得，，，故圓方程為（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程是，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則的方程為，即，由，可得圓心到的距離，故，解得，故的方程是，所以，方程是或②設(shè)，則切線長，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，化簡得圓的方程為：，①又因?yàn)榈姆匠虨椋冖冖倩喌弥本€的方程為，將代入得：，故點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)18、（1），；（2）24300【解析】：（1）由，可得，.（2）由題，解得：，故其耗氧量至多需要24300個(gè)單位.試題解析：（1）由題意，得，解得：，.∴游速與其耗氧量單位數(shù)之間的函數(shù)解析式為.（2）由題意，有，即，∴由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有，解得：，∴當(dāng)一條鮭魚的游速不高于時(shí)，其耗氧量至多需要24300個(gè)單位.點(diǎn)晴:解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題19、（1）（2）或【解析】（1）先求得函數(shù)的解析式，再整體代入法去求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)個(gè)數(shù)列不等式組即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.【小問1詳解】由，可得又函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則，則故由，可得則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知當(dāng)時(shí)，，由得，由得則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可得或，解得或20、（1）43.5(萬元)；（2）甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元.【解析】（1）直接代入收益公式進(jìn)行計(jì)算即可.（2）由收益公式寫出f(x)=-x+3+26，令t=，將函數(shù)轉(zhuǎn)為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）當(dāng)x=50時(shí)，此時(shí)甲城市投資50萬元，乙城市投資70萬元，所以公司的總收益為3-6+×70+2=43.5(萬元).（2）由題知，甲城市投資x萬元，乙城市投資(120-x)萬元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依題意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，則t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.當(dāng)t=6，即x=72萬元時(shí)，y的最大值為44萬元，所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時(shí)，總收益最大，且最大收益為44萬元.【點(diǎn)