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廣東省陽東廣雅中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知兩圓相交于兩點和,兩圓的圓心都在直線上,則的值為A. B.2C.3 D.02.直線與圓相交于點,點是坐標(biāo)原點,若是正三角形,則實數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.3.甲乙兩名運動員在某項體能測試中的6次成績統(tǒng)計如表:甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù),分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差,則有()A., B.,C., D.,4.如圖,四棱錐中,底面是邊長為的正方形,平面,為底面內(nèi)的一動點,若,則動點的軌跡在()A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上5.從某個角度觀察籃球(如圖甲),可以得到一個對稱的平面圖形,如圖乙所示,籃球的外輪廓為圓,將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線,若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分,且,則該雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.6.已知p:,q:,那么p是q的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7.圓與圓的交點為A,B,則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.8.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著,書中有如下問題:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共出百銭.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有大夫、不更、簪褭、上造、公士(爵位依次變低)5個人共出100錢,按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列,這5個人各出多少錢?”在這個問題中,若公士出28錢,則不更出的錢數(shù)為()A.14 B.16C.18 D.209.已知圓,直線,則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為()A.2 B.3C.4 D.510.已知函數(shù)(其中)的部分圖像如圖所示,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.11.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,則()A.2 B.4C.6 D.812.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在等比數(shù)列中,若,是方程兩根,則________.14.在報名的3名男教師和3名女教師中,選取3人參加義務(wù)獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方法數(shù)為__________.(結(jié)果用數(shù)值表示)15.雙曲線的離心率為____16.已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點,左右焦點分別為,漸近線分別為,過點且與垂直的直線分別交于兩點,且,則雙曲線的離心率為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,且.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an(2)記數(shù)列的前n項和為Tn,若,求n的最小值.18.(12分)已知橢圓C:的離心率為,點為橢圓C上一點(1)求橢圓C的方程;(2)若M,N是橢圓C上的兩個動點,且的角平分線總是垂直于y軸,求證:直線MN的斜率為定值19.(12分)已知直線,拋物線.(1)與有公共點,求的取值范圍;(2)是坐標(biāo)原點,過的焦點且與交于兩點,求的面積.20.(12分)如圖,正方體的棱長為2,點為的中點.(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求點到平面的距離.21.(12分)已知命題;命題.(1)若p是q的充分條件,求m的取值范圍;(2)當(dāng)時,已知是假命題,是真命題,求x的取值范圍.22.(10分)長方體中,,點分別在上,且.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)條件知:兩圓的圓心的所在的直線與兩圓的交點所在的直線垂直,以及兩圓的交點的中點在兩圓的圓心的所在的直線上,由此得到方程,得解.【詳解】由已知兩圓的交點與兩圓的圓心的所在的直線垂直,,所以,又因為兩圓的交點的中點在兩圓的圓心所在的直線上,所以,解得:,所以,故選.【點睛】此題主要考查圓與圓的位置關(guān)系,解答此題的關(guān)鍵是需知兩圓的圓心所在的直線與兩圓的交點所在的直線垂直,并且兩圓的交點的中點在兩圓的圓心所在的直線上,此題屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】由題意得,直線被圓截得的弦長等于半徑.圓的圓心坐標(biāo),設(shè)圓半徑為,圓心到直線的距離為,則由條件得,整理得所以,解得.選C3、B【解析】根據(jù)給定統(tǒng)計表計算、,再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意,,,,,所以,.故選:B4、A【解析】根據(jù)題意,得到兩兩垂直,以點為坐標(biāo)原點,分別以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由題意,得到,,再由得到,求出點的軌跡,即可得出結(jié)果.【詳解】由題意,兩兩垂直,以點為坐標(biāo)原點,分別以為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因為底面是邊長為的正方形,則,,因為為底面內(nèi)的一動點,所以可設(shè),因此,,因為平面,所以,因此,所以由得,即,整理得:,表示圓,因此,動點的軌跡在圓上.故選:A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題,靈活運用空間向量的方法求解即可,屬于??碱}型.5、B【解析】設(shè)出雙曲線方程,把雙曲線上的點的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中,找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點,AD所在直線為x軸建系,不妨設(shè),則該雙曲線過點且,將點代入方程,故離心率為,故選:B【點睛】本題考查已知點在雙曲線上求雙曲線離心率的方法,屬于基礎(chǔ)題目6、C【解析】若p成立則q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要條件.【詳解】因為>0,<1,所以若p:成立,一定成立,但q:成立,p:不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.故選:C.7、A【解析】圓的圓心為,圓的圓心為,兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線,其方程為,即;故選A.【點睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題;處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時,往往結(jié)合平面幾何知識(如本題中,求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程)可減小運算量.8、B【解析】由題可知這是一個等差數(shù)列,前項和,,列式求基本量即可.【詳解】設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列,公差為,前項和為,則由題可得,解得,所以不更出的錢數(shù)為.故選:B9、C【解析】直線l過定點D(1,1),當(dāng)時,弦長最短.【詳解】由,圓心,半徑,,由,故直線l過定點,∵,故D在圓C內(nèi)部,直線l始終與圓相交,當(dāng)時,直線l被圓截得的弦長最短,,弦長=.故選:C.10、B【解析】根據(jù)題圖有且,結(jié)合五點法求參數(shù),即可得的解析式.【詳解】由圖知:且,則,所以,則,即,又,可得,,則,,又,即有.綜上,.故選:B11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式,結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)、等差數(shù)列通項公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,,故選:B12、D【解析】求導(dǎo)后,利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:,則,由得,故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】由題意求得,,再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì),即可求解.【詳解】由題意知,,是方程的兩根,可得,,又由,,所以,,可得,又由,所以.故答案為:.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、18【解析】由題設(shè),選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師,應(yīng)用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有:選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師,∴不同的選取方法有:種.故答案為:18.15、【解析】由題意得:考點:雙曲線離心率16、【解析】判斷出三角形的形狀,求得點坐標(biāo),由此列方程求得,進而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意設(shè)雙曲線方程為,雙曲線的漸近線方程為,右焦點,不妨設(shè).由于,所以是線段的中點,由于,所以是線段的垂直平均分,所以三角形是等腰三角形,則.直線的斜率為,則直線的斜率為,所以直線的方程為,由解得,則,即,化簡得,所以雙曲線的離心率為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)an=2n(2)100【解析】(1)由等差數(shù)列的通項公式列出方程組求解即可;(2)由裂項相消求和法得出,再由不等式的性質(zhì)得出n的最小值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意有解得,所以an=2n.【小問2詳解】由(1)得,則,所以因為,即,解得n>99,所以n的最小值為100.18、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率公式,結(jié)合代入法進行求解即可;(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì),結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進行求解即可.【小問1詳解】橢圓的離心率,又,∴∵橢圓C:經(jīng)過點,解得,∴橢圓C的方程為;【小問2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸,∴MP與NP所在直線關(guān)于直線對稱.設(shè)直線MP的斜率為k,則直線NP的斜率為∴設(shè)直線MP的方程為,直線NP的方程為設(shè)點,由消去y,得∵點在橢圓C上,則有,即同理可得∴,又∴直線MN的斜率為【點睛】關(guān)鍵點睛:由∠MPN的角平分線總垂直于y軸,得到MP與NP所在直線關(guān)于直線對稱是解題的關(guān)鍵.19、(1);(2).【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程消去x,借助判別式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出點縱坐標(biāo)差的絕對值即可計算作答.【小問1詳解】依題意,由消去x并整理得:,因與有公共點,則,解得:,所以的取值范圍是.【小問2詳解】拋物線的焦點,則,設(shè),由(1)知,,則,因此,,所以的面積.20、(1)(2)【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個法向量及,利用向量的夾角公式即可得解;(2)直接利用向量公式求解即可【小問1詳解】解:以點作坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,2,,,0,,,0,,設(shè)平面的一個法向量為,又,則,則可取,又,設(shè)直線與平面的夾角為,則,直線與平面的正弦值為;【小問2詳解】解:因為所以點到平面的距離為,點到平面的距離為21、(1);(2).【解析】(1)解不等式組即得解;(2)由題得p、q一真一假,分兩種情況討論得解.【小問1詳解】解:由題意知p是q的充分條件,即p集合包含于q集合,有;【小問2詳解】解:當(dāng)時,有,由題意知,p、q一真一假,當(dāng)p真q假時,,當(dāng)p假q真時,,綜上,x的取值范圍為22、(1)證明見解析.(2)【
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