專題03分式及其運(yùn)算（4大考點(diǎn)）

第一部分?jǐn)?shù)與式專題03分式及其運(yùn)算核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一分式的概念核心考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)核心考點(diǎn)三分式的運(yùn)算核心考點(diǎn)四分式的化簡求值新題速遞核心考點(diǎn)一分式的概念例1（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即可．【詳解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________．【答案】且【分析】根據(jù)二次根式與分式有意義的條件求解即可．【詳解】解：由題意得：x+1≥0，且x≠0，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義的條件：分母不等于零是解題的關(guān)鍵．例3（2022·湖北黃石·中考真題）先化簡，再求值：，從3，1，2中選擇合適的a的值代入求值．【答案】；【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵且，∴且，∴，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)：分式的概念注意1.分式可以表示兩個(gè)整式相除，其中分子為被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號和括號的作用。2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必須含有字母注意1.分式可以表示兩個(gè)整式相除，其中分子為被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號和括號的作用。2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分式和整式的重要依據(jù)。3.在任何情況下，分式的分母的值都不為0，否則分式無意義。分式有意義的條件:分母不為零，即分式值為零：分子為零，且分母不為零。即（且）【變式1】（2022·河北石家莊·一模）關(guān)于代數(shù)式M=，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)x=1時(shí)，M的值為0 B．當(dāng)x=﹣1時(shí)，M的值為﹣C．當(dāng)M=1時(shí)，x的值為0 D．當(dāng)M=﹣1時(shí)，x的值為0【答案】D【分析】先通分、因式分解，然后計(jì)算乘法運(yùn)算，可得化簡結(jié)果，由分式有意義的條件可知，，進(jìn)而可判斷A、B的正誤；分別令，，求解此時(shí)的的值，進(jìn)而可判斷C、D的正誤．【詳解】解：∵，故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得故C錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得故D正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件．解題的關(guān)鍵在于正確的化簡計(jì)算．【變式2】（2022·廣東珠海·模擬預(yù)測）若（m為正整數(shù)），且、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)分母不為的原則可知為奇數(shù)，即可求得、、的值，分別代入即可求得其值．【詳解】解：根據(jù)分母不為的原則可知為奇數(shù)，，、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式成立的條件，互為相反數(shù)、互為負(fù)倒數(shù)的定義，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運(yùn)用分式成立的條件，互為相反數(shù)、互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數(shù)式分解因式，結(jié)果正確的是___________；若分式的值為零，則x的值為___________；若代數(shù)式可化為，則的值是___________．【答案】

無解

5【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可；（2）根據(jù)使分式的值為0的條件進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)求出a、b的值，再代入求值即可．【詳解】解：（1）（2）∵，∴的值不可能等于0，∴沒有x的值能使分式的值為零；（3）∵，又∵代數(shù)式可化為，∴，∴，解得：，∴．故答案為：（1）；（2）無解；（3）5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，分式值為零的條件，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式，使分式的值為零的條件，是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數(shù)式分解因式，結(jié)果正確的是___________；若分式的值為零，則x的值為___________；若代數(shù)式可化為，則的值是___________．【答案】

無解

5【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可；（2）根據(jù)使分式的值為0的條件進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)求出a、b的值，再代入求值即可．【詳解】解：（1）（2）∵，∴的值不可能等于0，∴沒有x的值能使分式的值為零；（3）∵，又∵代數(shù)式可化為，∴，∴，解得：，∴．故答案為：（1）；（2）無解；（3）5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，分式值為零的條件，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式，使分式的值為零的條件，是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·廣東佛山·二模）平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)一次函數(shù)，，其中的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2且經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求函數(shù)的關(guān)系式；(2)當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過兩點(diǎn)和時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，對于的每一個(gè)值，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到，由此代入所求式子求解即可；（3）先求出時(shí)，，然后分別討論的符號，結(jié)合當(dāng)時(shí)，對于的每一個(gè)值，都有進(jìn)行求解即可．(1)解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，∵的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），∴，∴，∴函數(shù)的解析式為；(2)解：∵的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)和，∴，∴，∴；(3)解：∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，即不符合題意，當(dāng)時(shí)，即，∵對于時(shí)，對于的每一個(gè)值，都有，∴，∴；當(dāng)時(shí)，即，∵對于時(shí)，對于的每一個(gè)值，都有，∴此時(shí)不存在m滿足條件，綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對于的每一個(gè)值，都有．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與不等式的應(yīng)用，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)例1（2020·河北·中考真題）若，則下列分式化簡正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)a≠b，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的式子是否正確，從而可以解答本題．【詳解】∵a≠b，∴，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．例2（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）分式與的最簡公分母是_______，方程的解是____________．【答案】

x=4【分析】根據(jù)最簡公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗(yàn)，得解．【詳解】解：∵，∴分式與的最簡公分母是，方程，去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)合并得：，變形得：，解得：x=2或4，∵當(dāng)x=2時(shí)，=0，當(dāng)x=4時(shí)，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解為：x=4．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡公分母和解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法．例3（2021·廣西梧州·中考真題）計(jì)算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．【答案】【分析】首先將原式第三項(xiàng)約分，再把前兩項(xiàng)括號展開，最后合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）==．【點(diǎn)睛】此題主要考查了乘法公式和分式的約分，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。,（），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性質(zhì)可以進(jìn)行約分、通分。根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約分通常是把分式化成最簡分式或整式。利用分式的基本性質(zhì)，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。符號法則：改變分子、分母及整個(gè)分式三者中任意兩個(gè)的符號，分式的值不變，即【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測）實(shí)數(shù)．則下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)?，所以，，A．，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（

）A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍 B．a(chǎn)，b同時(shí)擴(kuò)大3倍C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍【答案】B【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡，最后得出答案即可．【詳解】A.a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍,，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.a，b同時(shí)擴(kuò)大3倍，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.a擴(kuò)大2倍，b縮小3倍，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.a縮小2倍，b縮小3倍，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·湖北襄陽·一模）已知，則分式的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)題意得出xy=4xy，然后代入所求的式子，進(jìn)行約分就可求出結(jié)果．【詳解】∵，∴xy=4xy，∴原式=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查分式的基本性質(zhì)，正確對已知式子進(jìn)行化簡，約分，正確進(jìn)行變形是關(guān)鍵．【變式4】（2021·湖南·一模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＝ab＝c，有下列結(jié)論：①若c≠0，則＝1；②若a＝3，則b＋c＝9；③若a＝b＝c，則abc＝0；④若a，b，c中只有兩個(gè)數(shù)相等，則a＋b＋c＝8.其中正確的是____．(把所有正確結(jié)論的序號都選上)【答案】①③④【詳解】試題分析：在a+b=ab的兩邊同時(shí)除以ab（ab=c≠0）即可得，所以①正確；把a(bǔ)=3代入得3+b=3b=c，可得b=，c=，所以b+c=6，故②錯(cuò)誤；把a(bǔ)=b=c代入得，所以可得c=0，故③正確；當(dāng)a=b時(shí)，由a+b=ab可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；當(dāng)a=c時(shí)，由c=a+b可得b=0，再代入可得a=b=c=0，這與a、b、c中只有兩個(gè)數(shù)相等相矛盾，故a=c這種情況不存在；當(dāng)b=c時(shí)，情況同a=c，故b=c這種情況也不存在，所以④正確．所以本題正確的是①③④．考點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)；分類討論．【變式5】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數(shù)都化為正數(shù)________．（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)_______．（3）若分式的值是整數(shù)，求整數(shù)x的值．（4）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）0，2，6，4；（4）【分析】（1）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以1即可；（2）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10即可；（3）將分式變形得，要使結(jié)果是整數(shù)，x1=±1，或x1=±5，進(jìn)而求出x的整數(shù)值即可；（4）倒數(shù)法，先求出要求的代數(shù)式的倒數(shù)，利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以1得，；（2）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10得，；（3）===，要使分式的值為整數(shù)，∴x1=±1，或x1=±5，解得，x1=0，x2=2，x3=6，x4=4，答：整數(shù)x的值為0，2，6，4．（4）∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)、分式的加減運(yùn)算，掌握分式的基本性質(zhì)和計(jì)算法則是正確解答的前提．核心考點(diǎn)三分式的運(yùn)算例1（2022·山東濟(jì)南·中考真題）若m－n＝2，則代數(shù)式的值是（

）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】D【分析】先因式分解，再約分得到原式＝2（mn），然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．【詳解】解：原式?＝2（mn），當(dāng)mn＝2時(shí)，原式＝2×2＝4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．例2（2022·山東菏澤·中考真題）若，則代數(shù)式的值是________．【答案】15【分析】先按分式混合運(yùn)算法則化簡分式，再把已知變形為a22a=15，整體代入即可．【詳解】解：==a(a2)=a22a，∵a22a15=0,∴a22a=15，∴原式=15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．例3（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）先化簡，再求值：，請從不等式組的整數(shù)解中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．【答案】，3【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后根據(jù)不等式組求出a的值并代入原式即可求出答案．【詳解】解：，，解不等式①得：解不等式②得：，∴，∵a為整數(shù)，∴a取0，1，2，∵，∴a=1，當(dāng)a=1時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．知識點(diǎn)：分式的運(yùn)算1、分式的運(yùn)算法則分式乘法分子的積作積的，用分母的積作積的分母分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式分式乘方分子、分母分別同分母分式加減分母不變,分子異分母分式加減先，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p。分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，有多項(xiàng)式的，一般先因式分解，能約分的進(jìn)行約分；有括號的先算括號，有乘方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。分式化簡中的誤區(qū)1.注意分式混合運(yùn)算順序分式化簡中的誤區(qū)1.注意分式混合運(yùn)算順序2.分式化簡不同于解分式方程,化簡過程中不能去分母.3.分?jǐn)?shù)線有除號和括號兩重作用,同分母分式相加減(分子是多項(xiàng)式),分子應(yīng)整體加括號.4.分式運(yùn)算中含有整式，應(yīng)視其分母為1的式子，然后按分式四則運(yùn)算法則計(jì)算。【變式1】（2022·云南·開遠(yuǎn)市教育科學(xué)研究所二模）化簡的正確結(jié)果是（

）A．m－n B．m+n C． D．【答案】A【分析】先將括號里的異分母分式相加減化為同分母分式相加減，再算分式的乘除即可．【詳解】原式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一項(xiàng)被污染，但化簡的結(jié)果等于，被污染的項(xiàng)應(yīng)為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)被污染的部分為p，然后根據(jù)等式的性質(zhì)解關(guān)于p的方程，求出p的表達(dá)式即可．【詳解】解：設(shè)被污染的部分為p，則，∴，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算和利用等式的性質(zhì)解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)解方程和掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式3】（2022·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知a為范圍的整數(shù)，則的值是______．【答案】1【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則先將所求分式化簡，再根據(jù)分式有意義的條件，確定a的值，最后代入求值即可．【詳解】解：，根據(jù)題意有：，，，即，，，∵，且為整數(shù)，∴，將代入，有原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值以及分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則______．【答案】6【分析】根據(jù)分式、整式加減運(yùn)算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計(jì)算，求得A與B的值，即可得到答案．【詳解】，∴，∴，即．∴，解得：∴的值為4，的值為．∴故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了分式、整式加減運(yùn)算、二元一次方程組的知識；熟練掌握分式加減運(yùn)算、整式加減運(yùn)算、二元一次方程組的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·浙江舟山·二模）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：(1)接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁(2)請你書寫正確的化簡過程，并在“1,0,2，2”中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．【答案】(1)D(2)，【分析】（1）根據(jù)分式的乘除運(yùn)算步驟和運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷．（2）化簡之后的結(jié)果選擇一個(gè)有意義的數(shù)代入求值即可．【詳解】（1）出現(xiàn)錯(cuò)誤是在乙和丁，故選：D．（2），根據(jù)分式有意義的條件可得且，即只能從和中選擇一個(gè)，代入，得出結(jié)果為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的乘除法，解題的關(guān)鍵是掌握分式乘除運(yùn)算法則．核心考點(diǎn)四分式的化簡求值例1（2020·湖北孝感·中考真題）已知，，那么代數(shù)式的值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】先按照分式四則混合運(yùn)算法則化簡原式，然后將x、y的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：==x+y=+=2．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，根據(jù)分式四則混合運(yùn)算法則化簡分式是解答本題的關(guān)鍵．例2（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.，且．（1）若a，b是整數(shù)，則的長是___________；（2）若代數(shù)式的值為零，則的值是___________．【答案】

【分析】（1）根據(jù)圖象表示出PQ即可；（2）根據(jù)分解因式可得，繼而求得，根據(jù)這四個(gè)矩形的面積都是5，可得，再進(jìn)行變形化簡即可求解．【詳解】（1）①和②能夠重合，③和④能夠重合，，，故答案為：；（2），，或，即（負(fù)舍）或這四個(gè)矩形的面積都是5，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式及其分式的化簡求值，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的根據(jù)．例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過程如下：解：小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標(biāo)注序號：①；②；③；____________________________________________________________________________．請寫出正確的計(jì)算過程．（2）先化簡，再求值：，其中x是方程的根．【答案】（1）④tan30°=；⑤(2)2=，⑥(2)0=1；28；（2），．【分析】（1）根據(jù)乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則計(jì)算即可；（2）先把括號內(nèi)通分，接著約分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3，x2=1，則利用分式有意義的條件把x=1代入計(jì)算即可．【詳解】（1）其他錯(cuò)誤，有：④tan30°=；⑤(2)2=，⑥(2)0=1，正確的計(jì)算過程：解：=28；（2）=，∵x22x3=0，∴（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=1，∵x=3分式?jīng)]有意義，∴x的值為1，當(dāng)x=1時(shí)，原式==．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程因式分解法，分式的化簡求值．也考查了特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪．知識點(diǎn)：分式化簡求值的一般步驟(1)按運(yùn)算順序?qū)λo分式進(jìn)行化簡，化為最簡分式或整式；(2)代入求值(代入求值時(shí)要注意使原分式及化簡過程中出現(xiàn)的分式均有意義)?！咀兪?】（2022·內(nèi)蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預(yù)測）若，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．2 D．－2【答案】D【分析】根據(jù)a+b=2，可以求得題目中所求式子的值，本題得以解決．【詳解】解：∵a+b=2，∴=（a+b）=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．【變式2】（2022·山東·昌樂縣教學(xué)研究室一模）如果，那么代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通分，然后進(jìn)行除法運(yùn)算得化簡結(jié)果，由，可得，代入求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴原式，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值．熟練掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序及相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則的值等于__________．【答案】#0.5【分析】把已知代入分式，根據(jù)分式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡求值即可得解．【詳解】解：∵，∴＝＝＝＝＝故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·湖北黃岡·模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，它具有一定規(guī)律性，從圖中取一列數(shù)：1，3，6，10，…，分別記為，，，，…，那么的值是______．【答案】##【分析】首先根據(jù)題意得出an的關(guān)系式，然后用“裂項(xiàng)法”將裂成2(?)，即可求出結(jié)果．【詳解】解：由題意得a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化規(guī)律．找到變化規(guī)律然后用“裂項(xiàng)法”求解是解本題的關(guān)鍵．【變式5】．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）某同學(xué)在解分式的化簡求值題時(shí)，發(fā)現(xiàn)所得答案與參考答案不同．下面是他所解的題目和解答過程：先化簡（1），再將x＝5代入求值．解：原式1……第1步第2步第3步第4步第5步第6步當(dāng)x＝5時(shí)，原式第7步(1)以上步驟中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)果與答案不同，錯(cuò)誤的原因是；(2)請你把正確的解答過程寫出來；(3)請你提出一條解答這類題目的建議．【答案】(1)一、沒按照正確的運(yùn)算順序計(jì)算(2)，當(dāng)x＝5時(shí)，原式(3)要正確應(yīng)用運(yùn)算律【分析】（1）根據(jù)分式混合運(yùn)算法則分析解答；（2）根據(jù)分式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)錯(cuò)誤的原因提出建議即可．【詳解】（1）解：第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，沒按照正確的運(yùn)算順序計(jì)算，故答案為：一、沒按照正確的運(yùn)算順序計(jì)算；（2）原式[1]（）?，當(dāng)x＝5時(shí)，原式；（3）解題反思（不唯一）：要正確應(yīng)用運(yùn)算律．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，正確掌握分式混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．【新題速遞】1．（2022·山東·濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心一模）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：====故選：A【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則．2．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）如果，且，那么代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將原式進(jìn)行通分計(jì)算，然后利用整體思想代入求值．【詳解】解：原式，，，原式，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2022·北京昌平·二模）若，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】先將代數(shù)式進(jìn)行化簡，再將代入化簡之后的式子求解即可．【詳解】解：將代入上式可得：原式，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式運(yùn)算法則先將式子正確化簡，再將代入計(jì)算．4．（2022·廣東深圳·二模）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先因式分解，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算即可．【詳解】解：==，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除計(jì)算，解題的關(guān)鍵是除法轉(zhuǎn)化為乘法．5．（2022·河北·育華中學(xué)三模）要比較與中的大?。▁是正數(shù)），知道的正負(fù)就可以判斷，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將進(jìn)行化簡得到，利用x是正數(shù)，可得出，即可判斷A和B的大小，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由題意可知：∵，∴，，∴，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查比較分式大小，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于正確的通分化簡．6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，，則的值為（

）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】A【分析】結(jié)合題意，根據(jù)完全平方公式的性質(zhì)計(jì)算，得x2的值；再結(jié)合完全平方公式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵x，∴（x）2=5，∴x2﹣2=5，∴x2=7，∴x2+2=9，∴（x）2=9，∴x=±3，∵x＜0，∴∴x<0，∴x=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．7．（2022·山東濟(jì)南·一模）若，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】等式左邊通分并利用同分母分式的減法法則化簡，然后根據(jù)系數(shù)相等求出m和n．【詳解】解：∵，∴∴3M2N=5，2M+N=8，解得：M=3，N=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．8．（2021·河南周口·二模）已知函數(shù)，其中表示時(shí)的函數(shù)值，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．4040 D．4041【答案】D【分析】根據(jù)題意可得：，利用這種規(guī)律即可求解．【詳解】解：有題意可得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值求和問題，解題的關(guān)鍵是：通過題意找到多項(xiàng)函數(shù)值中兩項(xiàng)之和為常數(shù)，然后兩兩分為一組求和．9．（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.【答案】【分析】根據(jù)可得到，將代入求解即可得到答案．【詳解】解：，，將代入得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，根據(jù)條件用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)代入求值是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022·湖北黃石·模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是______．【答案】且【分析】由分式方程有意義可知，由方程的解是負(fù)數(shù)可知，表示出方程的解代入其滿足的條件即可確定m的取值范圍.【詳解】解：方程兩邊同乘以得，解得，由分式方程有意義可知，即，可得，即，由方程的解是負(fù)數(shù)可知，可得，即，所以m的取值范圍是且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，已知解的情況求參數(shù)，靈活的表示出分式方程的解是解題的關(guān)鍵，解題過程中不要忽視分母不等于0這一條件．11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知：a與b互為相反數(shù)，且，則______．【答案】【分析】利用a與b互為相反數(shù)，，求解再整體代入求值即可．【詳解】解：a與b互為相反數(shù)，當(dāng)則當(dāng)則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的含義，相反數(shù)的含義，絕對值方程的解法，分式的化簡求值，熟練的求解是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·北京密云·二模）已知，則代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】先計(jì)算除法，再計(jì)算加法即可化簡，然后把變形為a2+2a=2，代入化簡式計(jì)算即可．【詳解】解：=====，∵∴a2+2a=2，∴原式=．【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖北·廣水市教學(xué)研究室二模）對于實(shí)數(shù)，規(guī)定，例如，，那么計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】．【分析】根據(jù)條件中的運(yùn)算規(guī)律，可得到，從而有，然后將原式利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行變形，將f(x)與的項(xiàng)結(jié)合在一起，從而可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∵，∴，∴．∴==1×2019+=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于規(guī)律探究題，運(yùn)用歸納得出的結(jié)論將所求式子進(jìn)行變形，再求值是解題的關(guān)鍵．14．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）臨近端午，某粽子銷售商向市場推出白粽、豆沙粽和蛋黃粽三種粽子套餐．推出市場的第一周，白粽套餐的銷量等于蛋黃粽套餐的銷量，豆沙粽套餐的銷量占白粽套餐銷量的，三種粽子套餐的銷量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黃粽套餐的成本是每份白粽套餐與每份豆沙粽套餐的成本之和，粽子銷售商準(zhǔn)備這三種套餐成本一共6132元，且準(zhǔn)備的套餐全部售出三種粽子套餐在第一周推出后，廣受大眾歡迎，在第一周銷量的基礎(chǔ)上第二周三種粽子套餐銷量都有所增加，其中豆沙粽套餐增加的銷量占總增加銷量的，豆沙粽套餐的總銷量達(dá)到三種粽子套餐總量的，此時(shí)白粽與豆沙粽總銷量之比為5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不變，白粽套餐每份售價(jià)為10元，而每份豆沙粽套餐的成本下降了3元，每份蛋黃粽套餐的成本是第一周的倍，且準(zhǔn)備的套餐全部賣完，最后三種粽子套餐的總利潤率為20%．則第二周銷售時(shí)豆沙粽套餐銷售額與蛋黃粽套餐的銷售額之和為_________元．（三種粽子套餐的成本和售價(jià)均為正整數(shù)，售價(jià)大于成本）【答案】5796【分析】設(shè)白粽套餐的銷量和蛋黃粽套餐的銷量都為x份，則有豆沙粽套餐的銷量為，每份白粽套餐的成本為a元，每份豆沙粽套餐的成本為b元，則每份蛋黃粽套餐的成本為（a+b）元，由題意易得，，則有，然后可得，進(jìn)而可求x的值，設(shè)三種粽子的總增加銷量為y份，三種粽子的套餐總量為z份，則有豆沙粽套餐增加的銷量為，則白粽與蛋黃粽套餐增加的銷量為，豆沙粽套餐的總銷售量為，然后可求z的值，最后問題可求解．【詳解】解：設(shè)白粽套餐的銷量和蛋黃粽套餐的銷量都為x份，則有豆沙粽套餐的銷量為，每份白粽套餐的成本為a元，每份豆沙粽套餐的成本為b元，則每份蛋黃粽套餐的成本為（a+b）元，由題意可得：，解得：，，∴，∴，解得：，∵三種粽子套餐的成本和售價(jià)都為正整數(shù)，∴，∵，∴，∴，，∴是5的倍數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∵每份蛋黃粽套餐的成本是第一周的倍，∴當(dāng)，時(shí)，則蛋黃粽套餐的成本為22元，符合是11的倍數(shù)，∴第一周白粽套餐的銷售量為189份，成本為9元；豆沙粽套餐的銷售量為21份，成本為13元；蛋黃粽套餐的銷售量為189份，成本為22元；而第二周白粽的成本為9元，豆沙粽的成本為133=10元，蛋黃粽的成本為元，設(shè)三種粽子的總增加銷量為y份，三種粽子的套餐總量為z份，則有：豆沙粽套餐增加的銷量為，則白粽與蛋黃粽套餐增加的銷量為，豆沙粽套餐的總銷售量為，∴白粽套餐的總銷量為，蛋黃粽套餐的總銷售量為，∴，解得：，∴第二周白粽套餐的銷售量為份，豆沙粽套餐的銷售量為份，蛋黃粽套餐的銷售量為份，設(shè)第二周豆沙粽套餐每份的售價(jià)為m元，蛋黃粽套餐每份的售價(jià)為n元，則有：，整理得：，∴第二周銷售時(shí)豆沙粽套餐銷售額與蛋黃粽套餐的銷售額之和為5796元；故答案為：5796．【點(diǎn)睛】本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用、“不定方程”、分式及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系及“不定方程”的用法．15．（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）先化簡后求值，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)異分母分式加法法則化簡，再把代入化簡式計(jì)算即可．【詳解】解：原式，，原式．【點(diǎn)睛】本題考查化式化簡求值，二次根式的運(yùn)算，熟練掌握分式加法法則和二次根式運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2022·山東·濟(jì)南育英中學(xué)模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】原式利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，將a的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式==當(dāng)時(shí)，原式==．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)