23二次函數(shù)與一元二次方程不等式（七大題型）（講義）

2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式 4題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯 6題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法 9題型四：一次分式不等式的解法 12題型五：實際問題中的一元二次不等式問題 14題型六：不等式的恒成立與有解問題 17題型七：一元二次方程根的分布問題 19

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識點二：二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點．知識點三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．知識點五：利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；（2）由題中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結(jié)合題目的實際意義確定答案．知識點六：一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．知識點七：簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【典型例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式【典例11】（2024·高二·陜西寶雞·期中）一元二次不等式的解集為.【答案】【解析】由得，所以的解集為.故答案為：.【典例12】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是．【答案】或.【解析】由不等式可化為，解得或（舍去），所以或，即不等式的解集為或.故答案為：或.【方法技巧與總結(jié)】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．（2）對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．（3）求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．（4）根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．（5）根據(jù)圖象寫出不等式的解集．【變式11】（2024·高一·江西上饒·開學考試）求解下列不等式：(1)(2)【解析】（1）因為，所以，解得；（2）因為，所以，即，此時有，解得．【變式12】（2024·高一·上?！ふn堂例題）解下列不等式組：(1)(2)(3)【解析】（1）由不等式，得，，解得：或，由，得，解得：，綜上所述：，所以的解集為：.（2）由不等式，得，解得：或，由，得，所以，即，解得：，綜上所述：，所以的解集為：.（3）由不等式，得，解得：或，由，得，解得：或，綜上所述：或，所以的解集為：或.【變式13】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因為的判別式為：，所以的解集為：.（2）因為，即，因為的判別式為：，所以的解集為：.（3）的判別式為：，因為函數(shù)的圖像開口向上，所以的解集為：.（4）由于，即，因為的判別式為：，所以函數(shù)的圖像開口向上，所以的解集為：.即的解集為：.題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯【典例21】（2024·高一·山西朔州·階段練習）已知不等式的解集為，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由于不等式的解集為，所以和是方程的兩個實數(shù)根，故且，解得，，故選：AC【典例22】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集為，則實數(shù)（

）A．－3 B．3 C．－2 D．2【答案】B【解析】因為不等式的解集為所以方程x2+2由韋達定理可得：，∴，∴，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】三個“二次”之間的關系（1）三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關系如下：【變式21】（2024·高一·河南濮陽·階段練習）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】因為關于x的一元二次不等式的解集為，所以且方程的解為，所以，所以，則不等式，即為不等式，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.【變式22】（2024·高一·全國·專題練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，其中，，為常數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】關于的一元二次不等式的解集為，則，且是一元二次方程的兩根，于是，解得，則不等式化為，即，解得，所以不等式的解集是．故選：A【變式23】（多選題）（2024·高一·江蘇南通·開學考試）已知關于的不等式的解集為，則（

）A．不等式的解集為B．的解集為C．的最小值為D．的最小值為【答案】BC【解析】不等式的解集為，根據(jù)根與系數(shù)的關系，可得且，.可化為，解得，B正確；，當且僅當時等號成立，C正確；，方程的解為，且，不等式的解集為，A錯誤；，而，當且僅當，即時取等號，的最大值為，D錯誤.故選：BC.題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法【典例31】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）解關于的不等式：．【解析】①當時，原不等式化為，解得．②當時，原不等式化為，解得或．③當時，原不等式化為.當，即時，解得；當，即時，解得滿足題意；當，即時，解得．綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．【典例32】（2024·高一·全國·課堂例題）解關于x的不等式：（）；【解析】①當，即時，原不等式無解．②當，即或時，方程的兩根為，，則原不等式的解集為綜上所述，當時，原不等式無解；當或時，原不等式的解集為；【方法技巧與總結(jié)】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式．（2）判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關系．（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．【變式31】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）解關于的不等式：．【解析】當時，，解得；當時，則，①時，則，解得；②時，則有：若，即時，則x∈R；若，即時，則x∈R且；若，即時，解得或；綜上所述：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為R；當時，解集為；當時，解得.【變式32】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列關于x的不等式的解集：(1)；(2)【解析】（1）由不等式，可得，解得，即不等式的解集為.（2）由不等式，可得化為，若，不等式可化為，解得，即解集為；若，不等式可化為當時，不等式即為，解得或，即不等式的解集為或；當時，不等式即為，①當時，即時，解得，解集為；②當時，即時，解得，解集為；③當當時，即時，解得，解集為綜上，當時，不等式的解集為或；當，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【變式33】（2024·高一·四川瀘州·階段練習）（1）關于的不等式.若不等式的解集為，求的值；（2）若，求不等式解集.【解析】（1）原不等式可化為，由題知，是方程的兩根，由韋達定理得，解得.（2）當時，所以原不等式化為，當時，即時，解原不等式可得或；當時，即時，原不等式即為，解得x∈R；當時，即時，解得或綜上所述，當時，解原不等式解集為：；當時，原不等式解集為R；當時，解得.題型四：一次分式不等式的解法【典例41】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）不等式的解集為（

）．A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】由，得或，解得或，所以不等式的解集為或.故選：B.【典例42】（2024·高一·江蘇南通·開學考試）不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】，即，即，解得或.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且【變式41】（2024·高一·全國·隨堂練習）不等式的解集為（

）A． B． C． D．或x>5【答案】C【解析】由可得，解得，故不等式的解集為.故選：C【變式42】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集為（

）A．或x>1 B． C． D．【答案】D【解析】因為，即，可得，等價于，解得，所以不等式的解集為．故選：D．【變式43】（2024·高一·全國·專題練習）關于的不等式：的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】由得，其解集等價于，解得.故選：B題型五：實際問題中的一元二次不等式問題【典例51】（2024·高一·上?！るS堂練習）某船從甲碼頭順流航行75km到達乙碼頭，停留30min后再逆流航行126km到達丙碼頭．如果水流速度為4km/h，該船要在5h內(nèi)（包含5h）完成整個航行任務，那么船的速度至少要達到（

）千米．A．45 B．46 C．47 D．48【答案】B【解析】設船速為，則由題意得（），所以，化簡得，所以，解得（舍去），或，所以船速至少為46．故選：B【典例52】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價（單位：元）的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設這批臺燈的銷售單價為x元，由題意得，，即，解得，又因為，所以，這批臺燈的銷售單價的取值范圍是.故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用不等式解決實際問題需注意以下四點（1）閱讀理解材料：應用題所用語言多為文字語言，而且不少應用題文字敘述篇幅較長．閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學模型，這就要求解題者領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數(shù)學模型：根據(jù)（1）中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學模型，并且，建立所得數(shù)學模型與已知數(shù)學模型的對應關系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關系：根據(jù)（2）中建立起來的數(shù)學模型和題目要求，討論與結(jié)論有關的不等關系，得到有關理論參數(shù)的值．（4）作出問題結(jié)論：根據(jù)（3）中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問題的結(jié)論．【變式51】（2024·高一·云南·期末）在物理學中，若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點的高度與時間滿足關系，其中，一名同學以初速度豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點以上的位置最多停留（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，令，即，解得，所以排球能夠在拋出點以上的位置最多停留秒.故選：C.【變式52】（2024·高二·湖北·學業(yè)考試）為建設美麗中國，增強民眾幸福感，市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程．和諧小區(qū)計劃建設一塊長為、寬為的矩形花園，其四周種植花卉，中間種植草坪（如圖所示）．如果花卉帶的寬度相同，且草坪的面積不超過總面積的三分之一，那么花卉帶的寬度可能為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】設花卉帶的寬度為，則，所以，即，可得，又，故，而，則可能取值為2.故選：B【變式53】（2024·高一·河南·開學考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎上提高元（，），則被租出的客房會減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應為（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元【答案】C【解析】依題意，每天有間客房被租出，該連鎖酒店每天租賃客房的收入為．因為要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，所以，即，解得．因為且，所以，即該連鎖酒店每間客房每天的租價應定為270元．故選：C．【變式54】（2024·高一·江蘇南京·期中）通過技術創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．年，該種玻璃售價為歐元/平方米，銷售量為萬平方米．(1)據(jù)市場調(diào)查，售價每提高歐元/平方米，銷售量將減少萬平方米；要使銷售收入不低于萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米?(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在年對該種玻璃實施二次技術創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術創(chuàng)新費用，投入萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到多少時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和?并求出此時的售價．【解析】（1）設該種玻璃的售價提高到歐元/平方米，由題知，即，解得，所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.（2）由題意得，整理得，兩邊同除以得，又，當且僅當，即時取等號，所以，故該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到102萬平方米時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和，此時的售價為歐元/平方米.題型六：不等式的恒成立與有解問題【典例61】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍．【答案】【解析】，不等式恒成立，即，恒成立．當時，不等式為恒成立，此時；當時，，∵，∴，∴（當且僅當，即時取等號），∴．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.【典例62】（2024·高三·全國·專題練習）設，，，對任意滿足的實數(shù)，都有，則的最大可能值為.【答案】3【解析】任意滿足的實數(shù)，都有，若x=0，則，可取，，可得，即恒成立，由于，可得最大取2，可得，即有的最大可能值為3.故答案為：3.【方法技巧與總結(jié)】不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)．【變式61】（2024·高一·廣東深圳·期中）當時，關于x的不等式恒成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】關于x的不等式恒成立即，時恒成立，，又，當且僅當，即時等號成立，.故答案為：.【變式62】（2024·高一·河南·階段練習）當時，關于x的不等式恒成立，則m的取值集合是．【答案】【解析】當時，，顯然恒成立．當時，二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為直線，當時，恒成立，則，解得．當時，二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為直線，當時，恒成立，則，顯然成立，所以，故的取值集合是．故答案為：．【變式63】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）已知函數(shù).(1)若的解集是或，求實數(shù)的值；(2)當時，若時函數(shù)有解，求的取值范圍.【解析】（1）依題意，的解集是或，所以，解得.（2）時，在有解，即在有解，因為的開口向上，對稱軸，①即，時，函數(shù)取得最小值，即，∴.②即時，當取得最小值，此時，解得.③當即時，當時取得最小值，此時，解得，綜上，或.所以的范圍為.題型七：一元二次方程根的分布問題【典例71】（2024·高一·全國·課堂例題）已知二次函數(shù)的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【解析】由已知二次方程有解，所以，且，所以且.故選：D.【典例72】（2024·高一·廣西南寧·階段練習）關于的一元二次方程：有兩個實數(shù)根、，則=（