專題13與中點有關的計算與證明（原卷版）

專題13與中點有關的計算與證明（原卷版）類型一構造直角三角形斜邊的中線典例1如圖，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求證：CE=2AB典例2（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，聯(lián)結AC、BD，取AC和BD的中點M、N，聯(lián)結MN，則MN的長度為．針對訓練1．（2021秋?上蔡縣校級月考）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分別是BD、AC的中點，（1）請你猜測EF與AC的位置關系，并給予證明；（2）當AC＝8，BD＝10時，求EF的長．

類型二捕捉三角形的中位線典例3（2021?瑤海區(qū)校級三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD為中線，E為AD的中點，DF∥CE交BE于點F．若AC＝8，BC＝12，則DF的長為（）A．2 B．4 C．3 D．2.5針對訓練1．（2021春?介休市期末）如圖，AD和BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，垂足為點F，且G、E為AC的三等分點，若BE＝8，則BF的長為．類型三構造三角形的中位線典例4（2022春?吳中區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的取值范圍．典例5（2021秋?北海月考）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E為邊CD上一點，將△BCE沿BE所在的直線折疊，點C恰好落在AD邊上的點F處，過點F作FM⊥BE，垂足為點M，取AF的中點N，連接MN，則MN＝（）cm．A．5 B．6 C．245 D．針對訓練1．（2021春?荔灣區(qū)期中）如圖，在△ABC中，延長BC至D，使得CD=12BC，過AC中點E作EF∥CD（點F位于點E右側），且EF＝2CD，連接DF，若AB＝6，則DF的長為2．（2021?安徽二模）如圖．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是邊AB的中點，E是邊BC上一點．若DE平分△ABC的周長，則DE的長為（）A．1 B．32 C．52 3．如圖，點B為AC上一點，分別以AB，BC為邊在AC同側作等邊△ABD和等邊△BCE，點P、M、N分別為AC，AD、CE的中點．（1）求證：PM＝PN；（2）求∠MPN的度數(shù)．類型四中點四邊形問題1．（2020?菏澤）如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分2．（2021春?青川縣期末）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點，連接EF，F(xiàn)G，GH和HE．若EH＝3EF，則下列結論正確的是（）A．AB=3EF B．AB＝22EF C．AB＝3EF D．AB=3．（2022春?新泰市期中）如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB＝CD，下列結論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=12(BC?AD)；⑤其中正確的是．4．（2021春?召陵區(qū)期末）如圖，5個全等的陰影小正方形鑲嵌于一個單位正方形內部，且互不相交，中間小正方形各邊的中點恰為另外4個小正方形的一個頂點，若小正方形邊長為a?2b（a、b是正整數(shù)），則a+b的值為5．（2019?安徽一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2的值為．6．（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）在四邊形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2的值為（）A．64 B．18 C．36 D．487．（2021?江川區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，邊長為1，∠A＝60?，順次連接菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連接四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是．8．（2022春?開封期末）如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點O，點M，N分別為BO，CO的中點，連接ED，EM，MN，ND．（1）求證：四邊形EMND是平行四邊形．（2）當△ABC的邊滿足時，四邊形EDNM為矩形．

9．（2022春?洪山區(qū)期末）給出下列定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，DA的中點，則中點四邊形