數(shù)學同步訓練：向量的概念

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章平面向量2．1向量的線性運算2．1.1向量的概念知識點一：位移、向量的概念1．下列物理量中,不是向量的有①質(zhì)量;②位移；③力；④加速度；⑤速度；⑥路程;⑦功；⑧密度；⑨面積．A．1個B．2個C．3個D．4個2．如圖，△ABC為等邊三角形，則與△ABC中向量eq\o（AB,\s\up6(→））的長度相等的向量有A．2個B．3個C．4個D．5個3．下列說法錯誤的是A．作用力與反作用力是一對大小相等、方向相反的向量B．向量可以用有向線段表示，但有向線段并不是向量C．只有零向量的模等于0D．零向量沒有方向知識點二:單位向量、相等向量及共線向量4．若AB＝AD，且eq\o（BA，\s\up6（→))＝eq\o(CD,\s\up6（→）），則四邊形ABCD的形狀為A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形5．已知a、b都是單位向量，則下列說法正確的是A．a(chǎn)＝bB．｜a|＝｜b｜C．如果a和b平行,則a＝bD．a(chǎn)〉b6．下列結(jié)論中，不正確的是A．向量eq\o(AB，\s\up6(→)）、eq\o（CD，\s\up6（→）)共線與向量eq\o(AB,\s\up6（→))∥eq\o(CD，\s\up6(→)）意義是相同的B．若eq\o(AB,\s\up6(→）)＝eq\o(CD,\s\up6（→））,則eq\o(AB，\s\up6（→)）∥eq\o(CD,\s\up6（→））C．若向量a，b滿足｜a｜＝|b｜，則a＝bD．若向量eq\o(AB，\s\up6（→))＝eq\o(CD，\s\up6（→）)，則向量eq\o(BA,\s\up6(→）)＝eq\o(DC,\s\up6(→））7．下列說法正確的是A。eq\o(AB，\s\up6(→))∥eq\o(CD，\s\up6(→)）就是eq\o(AB，\s\up6（→）)的基線平行于eq\o(CD,\s\up6（→)）的基線B．長度相等的向量叫做相等向量C．零向量長度等于0D．共線向量是在同一條直線上的向量8．四邊形ABCD是菱形，如圖所示的向量中，（1）與eq\o（AB,\s\up6（→））相等的向量是________．(2)與|eq\o(AB,\s\up6（→)）|相等的向量是________．9．如圖所示,E、F分別為△ABC邊AB、AC的中點，則與向量eq\o（EF，\s\up6(→))共線的向量有________．（將圖中符合條件的向量全部寫出來）10．如圖所示，D、E、F分別是△ABC各邊上的中點，四邊形BCGF是平行四邊形，試分別寫出與eq\o(EF,\s\up6(→)）共線及相等的向量．能力點一:向量的有關概念問題11．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，以下說法正確的是A．與eq\o(AB,\s\up6（→）)共線的向量只有一個（不含eq\o（AB，\s\up6（→）))B．與eq\o（AB，\s\up6（→)）的模相等的向量有7個(不含eq\o（AB,\s\up6(→）））C。eq\o（BC，\s\up6（→））與eq\o(DA,\s\up6（→））不共線D．向量eq\o(AC,\s\up6(→)）：方向東南,大小為112．如圖所示,在⊙O中，向量eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o（OC，\s\up6（→))，eq\o(AO，\s\up6（→))是A．有相同始點的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等向量13．若向量a與b是兩個不平行的非零向量，并且a∥c，b∥c,則c等于A．0B．a(chǎn)C．bD．不存在這樣的向量c14．下列結(jié)論中,正確的是A．2009B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定,則l上有且只有兩個點A、B，使得eq\o(OA,\s\up6（→)）、eq\o（OB，\s\up6（→）)是單位向量C．方向為北偏西50°的向量與東偏南40°的向量不可能是平行向量D．一人從點A向東走500米到達點B，則向量eq\o(AB，\s\up6（→）)不能表示這個人從A點到B點的位移15．如圖,點O是正六邊形ABCDEF的中心,與向量eq\o(AB，\s\up6（→))平行且模也相等的向量有A。eq\o(CO，\s\up6(→）)，eq\o(OF,\s\up6(→)），eq\o（DE,\s\up6(→））B.eq\o（CO,\s\up6(→）)，eq\o（OC,\s\up6（→))，eq\o（OF，\s\up6（→））,eq\o（FO,\s\up6（→)），eq\o（DE，\s\up6(→）),eq\o（ED，\s\up6（→)）C.eq\o（CO,\s\up6(→）),eq\o(CF，\s\up6（→）），eq\o(OF，\s\up6（→）），eq\o（DE，\s\up6（→)）D。eq\o(BA，\s\up6（→）），eq\o(CO，\s\up6（→）)，eq\o（OC,\s\up6（→）），eq\o(OF,\s\up6(→）），eq\o(FO,\s\up6（→)）,eq\o(DE,\s\up6(→)）,eq\o(ED,\s\up6(→））16．已知四邊形ABCD中，eq\o(AB，\s\up6(→）)＝eq\f(1,2）eq\o（DC,\s\up6（→））,且｜eq\o（AD,\s\up6（→)）｜＝｜eq\o(BC，\s\up6(→）)｜，則四邊形ABCD的形狀是________．17．⊙O的周長是2π,AB是⊙O的直徑,C是圓周上的一點，∠BAC＝eq\f(π,6）,CD⊥AB于D，這時｜eq\o(CD，\s\up6(→）)|＝_______________________________________________________________。18．如下圖，D、E、F分別為正△ABC的各邊中點，則在以A、B、C、D、E、F六個點中任意兩點為起點與終點的向量中：（1)找出與向量eq\o（DE，\s\up6(→）)相等的向量．（2)是否存在與向量eq\o（DE,\s\up6（→）)長度相等，方向相反的向量?(3）與向量eq\o（DE，\s\up6（→）)共線的向量有幾個？(4）若△ABC為任意三角形，以上幾問的答案會發(fā)生變化嗎？能力點二：向量的應用19．如圖,已知四邊形ABCD中,N、M分別是AD、BC的中點，又eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\o(DC,\s\up6(→）).求證:eq\o(CN，\s\up6（→））＝eq\o(MA,\s\up6（→）).20．已知飛機從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達乙地,再從乙地按南偏東30°的方向飛行2000km到達丙地，再從丙地按西南方向飛行1000eq\r（2）km到達丁地，問丁地在甲地的什么方向21．在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1）試以B為起點畫一個向量b，使b＝a.（2）畫一個以C為起點的向量c，使｜c|＝2，并說出c的終點的軌跡是什么?并作出軌跡．22．如圖，A、B、C三點的坐標依次是（－1,0)、（0,1)、（x,y)，其中x、y∈R.當x、y滿足什么條件時，向量eq\o（OC，\s\up6（→))與eq\o（AB，\s\up6（→）)共線(其中O為坐標原點)？23．一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地,然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達B地．(1)畫出eq\o(AD,\s\up6（→))，eq\o(DC，\s\up6(→）)，eq\o(CB，\s\up6（→）),eq\o（AB，\s\up6(→))；(2）求B地相對于A地的位置向量．答案與解析基礎鞏固1．D2．D與eq\o(AB,\s\up6（→）)長度相等的向量有eq\o（BA,\s\up6(→））,eq\o(AC,\s\up6（→））,eq\o（CA,\s\up6（→)），eq\o(BC，\s\up6(→)）,eq\o（CB,\s\up6（→)）.3．D4．C由eq\o(BA，\s\up6（→））＝eq\o(CD，\s\up6(→))知，四邊形ABCD為平行四邊形,又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形．5．B6。C7.C8．(1）eq\o(DC,\s\up6（→）)(2)eq\o（BC,\s\up6(→)），eq\o（DC，\s\up6（→）)，eq\o（DA，\s\up6(→))9。eq\o(FE，\s\up6(→))，eq\o（BC，\s\up6(→)），eq\o（CB,\s\up6（→））10．解：與eq\o（EF，\s\up6（→)）共線的向量有eq\o(FE,\s\up6（→））,eq\o（GE，\s\up6(→）),eq\o(EG，\s\up6(→）)，eq\o(BD，\s\up6(→）），eq\o（DB，\s\up6(→）），eq\o（DC，\s\up6（→）），eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(FG，\s\up6（→）），eq\o（GF，\s\up6(→))，eq\o（BC,\s\up6（→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；與eq\o（EF,\s\up6（→））相等的向量有eq\o(DB，\s\up6（→）),eq\o（CD，\s\up6（→)），eq\o（GE，\s\up6(→）)。能力提升11．B12。C13．A零向量與任一向量共線,又a與b不平行,∴c＝0.14．B15。D16．等腰梯形17.eq\f(\r(3)，2）如圖,∵⊙O的周長是2π，∴直線AB＝2。又∵C是圓周上的一點，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝eq\f(π，2)。再由∠BAC＝eq\f（π，6）,得BC＝eq\f（1，2)AB＝eq\f（1,2）×2＝1,∴CD＝BC·sin60°＝eq\f(\r(3），2)，即｜eq\o（CD,\s\up6（→)）｜＝eq\f(\r（3)，2）.18．解：由向量相等與共線的定義可知：(1)與eq\o（DE,\s\up6（→)）相等的向量有eq\o（AF,\s\up6(→）)、eq\o(FC,\s\up6(→))；(2)存在,例如eq\o(CF,\s\up6(→)）、eq\o(FA,\s\up6(→））;(3)有7個,分別為Eeq\o(D，\s\up6（→)）、eq\o(AF，\s\up6（→))、eq\o(FC，\s\up6(→）)、eq\o（AC,\s\up6（→)）、eq\o(FA,\s\up6（→）)、eq\o（CF,\s\up6(→））、eq\o（CA,\s\up6(→));（4）不會．19．解:∵eq\o(AB，\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，∴｜eq\o(AB,\s\up6(→)）｜＝｜eq\o(DC,\s\up6(→)）|，且eq\o(AB，\s\up6(→))∥eq\o(DC，\s\up6(→）)。從而,四邊形ABCD是平行四邊形．∴eq\o（AD,\s\up6（→)）∥eq\o（BC，\s\up6（→）)，|eq\o(AD,\s\up6（→））｜＝|eq\o(BC,\s\up6（→）)|?！逳、M分別是AD、BC的中點,∴｜eq\o(AN,\s\up6（→)）|＝eq\f（1，2)｜eq\o(AD,\s\up6（→））｜,|eq\o（MC,\s\up6（→））｜＝eq\f（1，2)|eq\o（BC，\s\up6（→））|。∴｜eq\o（AN,\s\up6(→））|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))｜.又eq\o(AN，\s\up6(→)）∥eq\o（MC，\s\up6（→)），∴四邊形AMCN是平行四邊形．于是得eq\o(AM，\s\up6（→）)∥eq\o(NC，\s\up6(→）)，｜eq\o（AM,\s\up6(→))｜＝|eq\o（NC,\s\up6(→））|。又由題圖可知，eq\o（CN，\s\up6(→）)與eq\o（MA,\s\up6(→)）的方向一致，∴eq\o（CN,\s\up6（→)）＝eq\o（MA，\s\up6（→）)。20．解:如圖所示，A，B，C,D分別表示甲地，乙地，丙地，丁地，依題意知，△ABC為正三角形，∴AC＝2000又∵∠ACD＝45°,CD＝1000eq\∴△ACD為直角三角形，即AD＝1000eq\∴丁地在甲地的東南方向，距甲地1000eq\r(2)