數(shù)學同步訓練：角的概念的推廣

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章基本初等函數(shù)(Ⅱ)1．1任意角的概念與弧度制1．1。1角的概念的推廣知識點一：任意角的概念1．不相等的角的終邊位置A．一定不相同B．一定相同C．可能相同D．以上都不對2．時針走過了1小時20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角為__________．知識點二：與任意角α終邊相同的角3．與405°角終邊相同的角是A．k·360°－45°,k∈ZB．k·360°－405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°,k∈Z4．集合A＝｛α｜α＝k·90°－36°，k∈Z｝，B＝{β|－180°〈β〈180°｝，則A∩B等于A．{－36°，54°｝B．｛－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°,144°｝D．{－126°，54°}5．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α〈360°,k∈Z｝的形式為__________．6．與1991°終邊相同的最小正角是__________，絕對值最小的角是__________．7．角α和β終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且α＝30°，則β＝__________。知識點三：象限角8．若α是第二象限的角，則180°－α是A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角9．如果角α終邊上有一點P(0，－2)，那么α是A．第三象限角B．第四象限角C．終邊落在y軸負半軸上的角D．既是第三又是第四象限角10．給出下面的角．60°，120°，210°,300°，420°，460°，660°,－300°，－240°，570°，－150°，－60°。其中,(1)第一象限的角是__________；(2）第二象限的角是__________;（3）第三象限的角是__________；（4)第四象限的角是__________．能力點一：角的有關(guān)概念的理解11．下列說法正確的是A．第二象限的角是鈍角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－831°是第二象限的角D．－95°20′，984°40′，264°40′是終邊相同的角12．A＝｛小于90°的角｝,B＝｛第一象限的角}，則A∩B等于A．｛銳角}B．｛小于90°的角}C．｛第一象限角}D．以上都不對13．已知角的頂點與坐標系的原點重合,始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，判斷它們在第幾象限，并指出在0°～360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角．(1）－75°；(2)855°；（3）－510°.能力點二：終邊相同角的綜合應(yīng)用14．如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是A．{α|－45°≤α≤120°｝B．{α|120°≤α≤315°}C．｛α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°,k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z｝15．若集合M＝{x｜x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝｛x｜x＝k·45°＋90°,k∈Z}，則A．M＝NB．MNC．MND．M∩N＝16．與－642°終邊相同的最大負角為__________．17．已知角α的終邊與角60°的終邊重合，寫出滿足條件的角α的集合S，并求出這個集合中在－360°～360°之間的角．18。已知α與150°角的終邊相同，寫出與α終邊相同的角的集合，并判斷eq\f（α，3）是第幾象限角．19．寫出終邊在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β〈720°的元素β寫出來．20．如果α是第三象限的角，那么－α，2α的終邊落在何處?21．已知直線l1：y＝eq\f（\r(3),3）x及直線l2：y＝－eq\r（3）x，且l1與l2垂直，如圖所示，請表示出終邊落在直線l1與l2上的角．答案與解析1．C2．－480°時針走1小時,分針順時針轉(zhuǎn)360°；每分鐘分針順時針轉(zhuǎn)6°,則20分鐘轉(zhuǎn)120°,∴分針轉(zhuǎn)過的角為－（360°＋120°)＝－480°.3．C4．C對于α＝k·90°－36°,k∈Z,分別令k＝－1,0,1,2得α＝－126°，－36°，54°,144°.5．195°＋（－3）·360°6．191°－169°與1991°終邊相同的角為k·360°＋1991°＝(k＋5）·360°＋191°（k∈Z），當k＝－5時，191°是最小正角；當k＝－6時，－169°是絕對值最小的角．7．60°＋k·360°,k∈Z由對稱性知，60°與30°的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，∴與60°角的終邊相同的所有角60°＋k·360°，k∈Z均滿足條件．8．A∵α是第二象限角,∴－α是第三象限角,－α與180°－α的終邊互為反向延長線．∴180°－α是第一象限角．9．C10．（1）60°，420°，－300°（2）120°，460°,－240°（3)210°，570°，－150°(4）300°，660°，－60°把各個角寫成α＋k·360°（α∈[0°，360°））的形式，判斷α所在象限即可．能力提升11．D∵984°40′＝264°40′＋2×360°，－95°20′＝264°40′＋(－1)×360°.∴選項D正確．12．D13．解：如圖所示．由圖可知，(1）－75°角在第四象限，在0°～360°范圍內(nèi)與285°角的終邊相同．(2）855°在第二象限，在0°～360°范圍內(nèi)與135°角的終邊相同，（3）－510°在第三象限,在0°～360°范圍內(nèi)與210°角的終邊相同．14．C15．C∵M＝｛x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝｛x|x＝45°·（2k＋1)，k∈Z}，N＝｛x｜x＝k·45°＋90°,k∈Z}＝｛x|x＝45°·（k＋2），k∈Z｝,∴MN.16．－282°－642°＝－360°－282°。17．解：與60°角的終邊重合的角的集合為S＝｛α｜α＝60°＋k·360°,k∈Z}，當k＝0時，α＝60°；當k＝－1時，α＝60°－360°＝－300°.所以集合S在－360°～360°之間的角為60°，－300°.18．解：∵α與150°角的終邊相同,∴與α終邊相同的角的集合為{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z｝,此時eq\f（α，3）＝k·120°＋50°（k∈Z）．若k＝3n（n∈Z），則eq\f（α,3)＝n·360°＋50°(n∈Z)，此時eq\f(α,3）在第一象限;若k＝3n＋1(n∈Z)，則eq\f（α，3）＝n·360°＋170°（n∈Z),此時eq\f(α，3）在第二象限；若k＝3n＋2（n∈Z）,則eq\f（α，3）＝n·360°＋290°（n∈Z）,此時eq\f（α,3)在第四象限．故eq\f(α,3)可能為第一、二、四象限角．19．解:如圖，在直角坐標系中畫出直線y＝x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi),終邊在直線y＝x上的角有兩個：45°，225°,因此,終邊在直線y＝x上的角的集合S＝｛β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°,k∈Z}＝｛β|β＝45°＋k·180°,k∈Z}．S中適合－360°≤β<720°的元素β是45°－2×180°＝－315°,45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°,45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°。20．解:∵α是第三象限的角，∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z。∴－270°－k·360°<－α〈－180°－k·360°，360°＋2k·360°〈2α<540°＋2k·360°,k∈Z?！啵恋慕K邊落在第二象限,2α的終邊落在第一象限或第二象限或y軸的正半軸上．拓展探究21．解:由題意知,終邊落在直線l1上的角的集合為M1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z｝；在0°～360°的角中,終邊落在直線y＝－eq\r（3)x上的角為:120°或300°，所以終邊落在直線l2上的角的集合為M2＝｛α|α＝120°＋k·360°,k∈Z｝∪｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z｝＝{α|α＝120°＋k·180°,k∈Z｝．所以終邊落在直線l1與l2上的角的集合為M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z｝＝｛α|α＝30°＋2k·90°,k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1）·90°，k∈Z}＝｛α｜α＝30°＋k·90°，k∈Z｝．1．1。2弧度制和弧度制與角度制的換算基礎(chǔ)鞏固1．D2。2弧度3。B4．D－1485°＝－1485×eq\f（π，180)＝－eq\f（33π,4)＝－10π＋eq\f(7π，4）.5．B∵eq\f(7π,12)＝（eq\f（7,12)×180）°＝105°，465°＝360°＋105°,∴B項正確．6.(1)－eq\f（5π,3)eq\f(3π，8）(2)288（1）∵1°＝eq\f（π，180)rad，∴－300°＝（－300）×eq\f（π,180)＝－eq\f（5π,3）；∵67°30′＝(67eq\f（1,2））°，∴67°30′＝eq\f（π,180)×67eq\f（1,2)＝eq\f（3π，8)。（2)∵1rad＝（eq\f（180,π)）°，∴eq\f（8π,5)＝(eq\f（8π，5)×eq\f(180，π））°＝288°.7．解：（1)如題圖（1)中以O(shè)B為終邊的角330°，可看成為－30°，化為弧度,即－eq\f（π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180）＝eq\f（5π,12)，∴陰影部分內(nèi)角的集合為｛θ|2kπ－eq\f(π,6)<θ〈2kπ＋eq\f（5π，12），k∈Z｝．(2）如題圖（2)中以O(shè)B為終邊的角225°，可看成－135°，化為弧度,即－eq\f(3π,4），而OA為終邊的角135°＝135×eq\f(π，180）＝eq\f（3π,4),∴陰影部分角的集合為｛θ|2kπ－eq\f（3π，4）〈θ<2kπ＋eq\f（3π,4),k∈Z}．(3)如題圖（3)，∵30°＝eq\f（π，6）,210°＝eq\f(7π,6)，∴{θ|2kπ＋eq\f(π，6）<θ<2kπ＋eq\f（π,2），k∈Z}∪｛θ|2kπ＋eq\f(7π,6)〈θ<2kπ＋eq\f（3π,2），k∈Z｝，即｛θ｜2kπ＋eq\f(π，6)〈θ<2kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z}∪{θ|(2k＋1）π＋eq\f（π，6）<θ〈（2k＋1)π＋eq\f(π,2），k∈Z｝，∴｛θ|kπ＋eq\f（π，6)〈θ<kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z｝．8．C設(shè)弦AB＝R，且AB所對的圓周角為α，則圓心角為∠AOB＝2α或2π－2α,由于弦AB等于半徑，∴∠AOB＝eq\f（π,3），可得2α＝eq\f(π，3)或2π－2α＝eq\f（π,3），解得α＝eq\f（π,6）或eq\f（5π，6）。9．C10．311．解:設(shè)扇形圓心角為α，半徑為r，弧長為l，面積為S。由題意知，α＝eq\f（2π，5）,r＝20（cm)，∴l(xiāng)＝α·r＝8π（cm)，S＝eq\f(1,2）lr＝eq\f(1，2）×8π×20＝80π(cm2）．能力提升12．C13．B分針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為－（2×360°＋120°）＝－840°，即eq\f（π，180）×（－840)＝－eq\f（14π,3)。14．解：(1）202°30′＝202.5°＝（eq\f（405，2））×eq\f（π，180）＝eq\f(9π,8).（2)－eq\f(5π，12)＝－（eq\f(5π,12）×eq\f（180,π）)°＝－75°.（3）方法一(化為弧度）:α＝15°＝15×eq\f(π，180）＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180）＝eq\f(7π，12）.顯然eq\f（π，12)〈eq\f（π，10)<1<eq\f（7π，12).故α〈β〈γ〈θ＝φ.方法二(化為角度)：β＝eq\f（π,10）＝(eq\f（π，10)×eq\f(180,π）)°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝（eq\f(7π,12）×eq\f(180，π））°＝105°.顯然，15°<18°〈57。30°<105°.故α<β<γ〈θ＝φ。15．D16．B∵N＝｛x|x＝kπ－eq\f（π，4）,k∈Z}＝{x｜x＝eq\f(π,2)（2k－1）＋eq\f（π，4）,k∈Z}，M＝{x|x＝eq\f(π，2）·k＋eq\f(π,4），k∈Z},∴MN.17。eq\f（2π,5)，eq\f（9π,10)，eq\f(7π,5），eq\f（19π，10）θ＝eq\f(8π,5）＋2kπ,k∈Z。所以eq\f(θ，4）＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ，2），k∈Z。當k＝0,1,2，3時，eq\f（θ，4）＝eq\f（2π,5），eq\f（9π,10），eq\f(7π,5),eq\f（19π，10）且eq\f(θ，4)∈[0,2π］．18．解:θ與－eq\f（π,6）的終邊共線，∴θ的終邊落在－eq\f（π，6）的終邊或終邊的反向延長線上．若θ與－eq\f(π，6)終邊相同，則θ＝2kπ－eq\f(π,6）(k∈Z)；若θ與－eq\f(π，6）的終邊反向延長線相同,則θ＝2kπ＋π－eq\f(π，6）(k∈Z)．可知：θ＝nπ－eq\f(π,6)（n∈Z)．∵θ∈（0°，360°）,即θ∈（0,2π)，∴n＝1或2。∴θ＝eq\f(5π,6）或eq\f（11π，6）。19．D20。eq\f(1，2sin\f(1,2）2）如圖，過O作OC⊥AB，垂足為C.在Rt△OAC中，∠AOC＝eq\f(1，2)rad，AC＝1,∴OA＝eq\f(AC，sin∠AOC)＝eq\f(1,sin\f（1，2））.∴＝OA＝eq\f（1,sin\f（1,2)).∴面積S＝eq\f（1,2）×eq\f(1,sin\f(1,2)）×eq\f（1,sin\f（1,2）)＝eq\f（1,2sin\f（1，2)2)。21．137.5設(shè)扇形的面積為S,剩余(也是扇形)面積為S′，則eq\f（S,S′)＝eq\f(\f(1,2）r2·α,\f(1，2）r2·2π－α）＝0.618，∴α＝0.618×(2π－α）．∴α＝0.764πrad≈137.5°。22．解:設(shè)圓心角為α,圓半徑為r,由題意,得2r＋α·r＝C