數(shù)學同步訓練：單位圓與三角函數(shù)線

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2。2單位圓與三角函數(shù)線知識點一：單位圓與三角函數(shù)線1．下列判斷中錯誤的是A．α一定時，單位圓中的正弦線一定B．單位圓中，有相同正弦線的角相等C．α和2π＋α具有相同的正切線D．具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上2．已知角α的終邊和單位圓的交點為P，則點P的坐標為A．(sinα,cosα）B．(cosα，sinα）C．(sinα，tanα）D．(tanα，sinα)3．如圖,在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是A．正弦線Peq\o（M,\s\up6(→)），正切線eq\o(A′T′，\s\up6（→）)B．正弦線Meq\o（P,\s\up6（→)),正切線eq\o(A′T′,\s\up6（→）)C．正弦線Meq\o(P,\s\up6（→）)，正切線eq\o(AT，\s\up6(→）)D．正弦線Peq\o（M,\s\up6(→)），正切線Aeq\o(T，\s\up6（→））4．對三角函數(shù)線,下列說法正確的是A．對任何角都能作出正弦線、余弦線和正切線B．有的角正弦線、余弦線和正切線都不存在C．任何角的正弦線、正切線總是存在,但余弦線不一定存在D．任何角的正弦線、余弦線總是存在,但是正切線不一定存在5．已知角α的正弦線的長度為單位長度，那么角α的終邊在__________。知識點二：三角函數(shù)線的簡單應(yīng)用6．依據(jù)三角函數(shù)線,作出如下四個判斷：①sineq\f(π,6)＝sineq\f（7π,6)；②cos(－eq\f（π，4))＝coseq\f（π，4)；③taneq\f（π,8）〉taneq\f(3π，8)；④sineq\f(3π,5）>sineq\f(4π，5).其中判斷正確的有A．1個B．2個C．3個D．4個7．在（0,2π)內(nèi),使sinα〉cosα成立的α的取值范圍為A．（eq\f（π,4)，eq\f(π，2））∪(π,eq\f（5π,4））B．（eq\f(π，4），π）C．(eq\f(π,4)，eq\f（5π,4)）D．（eq\f（π,4），π)∪（eq\f（5π，4）,eq\f（3π,2))8．若角α為第二象限角，則下列各式恒小于零的是A．sinα＋cosαB．tanα＋sinαC．cosα－tanαD．sinα－tanα9．借助三角函數(shù)線比較下列各組值的大?。ㄓ纱蟮叫∨帕?（1)sineq\f（3π，5)，sineq\f(4π,5），sineq\f（9π,10）：__________；(2）coseq\f(3π，5)，coseq\f（4π，5），coseq\f(9π，10)：__________；(3）taneq\f(3π,5)，taneq\f(4π,5），taneq\f（9π,10):__________.10．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：(1）eq\f（3π,4）；（2）－eq\f(4π,5）.能力點一:利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值大小11．如果0〈α<eq\f(π,4)，那么下列不等式成立的是A．cosα<sinα〈tanαB．tanα<sinα〈cosαC．sinα<cosα<tanαD．cosα〈tanα〈sinα12．若－eq\f(3π，4）<α〈－eq\f(π，2），從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sinα，cosα,tanα的大小是__________．13．用三角函數(shù)線比較sin1和cos1的大小結(jié)果是__________．能力點二：利用三角函數(shù)線確定角的范圍14．使sinx≤cosx成立的x的一個變化區(qū)間是A．[－eq\f(3π，4)，eq\f(π,4)]B．[－eq\f（π，2)，eq\f（π,2）]C．[－eq\f（π，4）,eq\f（3π,4）］D．［0，π］15．角α(0〈α<2π）的正弦線和余弦線長度相等且符號相同，那么α的值為A。eq\f（π，4)或eq\f(3π，4)B.eq\f（3π，4)或eq\f（7π,4）C。eq\f(π，4）或eq\f（5π，4)D。eq\f（π,4）或eq\f(7π，4)16．y＝eq\r（1＋2cosx)的定義域為__________．17．在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：（1)sinα≥eq\f(\r(3）,2）；(2）cosα≤－eq\f（1，2).能力點三:三角函數(shù)線的綜合應(yīng)用18．已知點P(sinα－cosα,tanα)在第一象限內(nèi),若α∈［0，2π),求α的取值范圍．19．當α＝3rad時，利用三角函數(shù)線分析點P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第幾象限．20．求函數(shù)y＝eq\r(1＋2sinx）＋lg（2cosx－1)的定義域．21．利用三角函數(shù)線證明若0<α〈β<eq\f（π，2），則有β－α>sinβ－sinα。答案與解析基礎(chǔ)鞏固1．B2.B3.C4。D5.y軸上6．B分別作出各個角的三角函數(shù)線，由圖知sineq\f（π,6）＝－sineq\f（7π,6)，cos(－eq\f（π,4）)＝coseq\f（π,4），taneq\f（π，8）<taneq\f（3π，8），sineq\f（3π，5）〉sineq\f(4π，5），故②④正確．7．C當α的終邊在直線y＝x上時，直線y＝x與單位圓的交點為（eq\f（\r（2),2），eq\f（\r（2),2）)，（－eq\f（\r（2)，2）,－eq\f(\r(2)，2))．此時,α＝eq\f（π,4)和eq\f(5π,4)，如圖所示．當α∈（eq\f（π,4)，eq\f（5π,4）)時，恒有MP〉OM,而當α∈（0，eq\f（π,4)）∪(eq\f(5π,4),2π)時,則有MP〈OM，因此選C.8．B如下圖，作出sinα、cosα、tanα的三角函數(shù)線，顯然△OPM∽△OTA，且｜MP｜<｜AT｜，∵MP〉0,AT<0，∴MP<－AT。∴MP＋AT〈0,即sinα＋tanα<0。9．（1)sineq\f(3π,5）〉sineq\f(4π,5)〉sineq\f（9π,10)（2）coseq\f（3π，5)>coseq\f（4π，5)>coseq\f（9π,10)(3)taneq\f(9π,10）〉taneq\f(4π，5)>taneq\f(3π，5)10．解：作圖如下．(1)所以,eq\f(3π，4)的正弦線為Meq\o（P,\s\up6（→））,余弦線為Oeq\o(M，\s\up6（→))，正切線為Aeq\o(T,\s\up6（→）)。（2)所以,－eq\f（4π，5)的正弦線為Meq\o(P，\s\up6(→)），余弦線為Oeq\o（M,\s\up6（→）),正切線為Aeq\o（T，\s\up6(→)）。能力提升11．C12．tanα>cosα〉sinα13．sin1>cos114．A15．C16．［2kπ－eq\f(2π,3），2kπ＋eq\f（2π，3)](k∈Z）由函數(shù)有意義，x需滿足1＋2cosx≥0，即cosx≥－eq\f（1,2).根據(jù)單位圓中的三角函數(shù)線,可得滿足條件的角x的范圍是2kπ－eq\f(2π，3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π，3）（k∈Z）．17．解：(1)作直線y＝eq\f（\r(3）,2）交單位圓于A、B兩點,連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為｛α｜2kπ＋eq\f(π,3）≤α≤2kπ＋eq\f（2π,3),k∈Z}．（2)作直線x＝－eq\f（1,2）交單位圓于C、D兩點，連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f（2π，3）≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3),k∈Z｝．18．解:∵點P在第一象限內(nèi)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinα－cosα〉0，，tanα〉0。))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinα>cosα,,tanα〉0.））結(jié)合單位圓(如圖所示)中三角函數(shù)線且0≤α<2π，可知eq\f(π，4）〈α<eq\f（π，2）或π<α<eq\f（5π,4).19．解：因為eq\f（5π，6)〈3<π，作出單位圓如圖所示，設(shè)Meq\o（P，\s\up6（→)),Oeq\o（M,\s\up6(→））的數(shù)量分別為a，b，所以sin3＝a〉0，cos3＝b〈0,所以sin3－cos3〉0。因為｜MP｜<|OM|,即|a|<｜b|，所以sin3＋cos3＝a＋b〈0。故當α＝3rad時，P(sin3－cos3,sin3＋cos3)在第四象限．20．解：由題意知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1＋2sinx≥0，2cosx－1>0））eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx≥－\f(1，2），cosx〉\f（1,2）)）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(π,6）≤x≤2kπ＋\f(7π,6)k∈Z，2kπ－\f（π，3）〈x<2kπ＋\f(π,3)k∈Z))2kπ－eq\f（π,6）≤x<2kπ＋eq\f（π,3）（k∈Z）．sinx≥－eq\f(1,2）,cosx〉eq