數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：不等式的實際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.4不等式的實際應(yīng)用5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.一元二次不等式ax2+2x—1有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是（)A.a＞1B。a＜1且a≠0C。a＜-1D。a＞-1且a≠0解析：一元二次不等式有兩個不等的實數(shù)根，其判別式Δ=4+4a＞0，即a＞-1且二次項系數(shù)不能為0，即a≠0。答案：D2。某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品x（百件）件的成本為(3x-3）萬元,銷售總收入為（2x2-5）萬元，如果要保證該企業(yè)不虧本，那么至少生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)為_____________(百件).解析:要不虧本只需收入不小于成本,即2x2-5-（3x-3）≥0,即2x2-3x—2≥0,解之得x≤或x≥2，而產(chǎn)品件數(shù)不能是負數(shù)，所以，x的最小值為2。答案：23.已知不等式ax2+bx—2＞0的解集為（1，2)，那么實數(shù)a=__________，b=__________.解析：根據(jù)不等式解集的特點可知a＜0，且方程ax2+bx—2=0的兩個實數(shù)根分別為1和2,代入方程或者利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a，b的值.答案：-134.不等式x2—ax+b＜0的解集為｛x｜2＜x＜3｝，則a=__________，b=__________。解析：根據(jù)條件2和3是方程x2-ax+b=0的兩個實根,由根與系數(shù)的關(guān)系可得即a=5,b=6.答案：5610分鐘訓(xùn)練（強化類訓(xùn)練，可用于課中)1.關(guān)于x的一元二次不等式x2-ax+2a=0有一個正根和一個負根,那么實數(shù)a的取值范圍是（)A。a＜0B.a＞0C.a＞1解析：令函數(shù)f（x）=x2—ax+2a,則f（x）與x軸的兩個交點分別在y軸的兩側(cè),結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，應(yīng)有f（0）=2a＜0，即a＜0.答案：A2。乘某種出租車,行程不足4千米時，車票10.40元,行程不足16千米時，大于或等于4千米的部分，每0.5千米車票0。8元，計程器每0.5千米計一次價.例如當(dāng)行駛路程x（千米）滿足12≤x≤12。5時，按12。5千米計價;當(dāng)12。5≤x＜13時，按13千米計價。若某人乘車從A到B共付費28元，則從A地到B地行駛的路程m千米滿足（)A.10.5≤m＜11B。11≤m＜11。5C.14.5≤m＜15D。15≤m＜15。5解析：可以根據(jù)條件首先判斷出m的大致范圍，然后代入驗證即可。當(dāng)m=15時，付費10。40+（15—4）×2×0。8元=28元。答案：D3。建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價1m2分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為解析：設(shè)池底一邊長為xm，水池的總造價為y元，則依題意得y=4×120+2（2x+2×)×80=480+320(x+)（x＞0）.因為x+≥=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時,取等號。所以,y的最小值為1760。答案：17604。已知直線l過點P（2,1）,且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點,則三角形OAB面積的最小值為___________.解析：設(shè)直線l為=1（a＞0，b＞0），則有關(guān)系=1．對=1應(yīng)用二元均值不等式,得1=≥，即ab≥8．于是,△OAB面積為S=ab≥4．從而應(yīng)填4．答案：45.定義域為［-1,1］的函數(shù)f（x)=kx+2k+1，其值域既有正數(shù)也有負數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是______________.解析:由已知可得f(x)=kx+2k+1是單調(diào)函數(shù),其值域既有正數(shù)也有負數(shù)，應(yīng)有f（—1）·f(1）＜0且k≠0，即（k+1)(3k+1)＜0且k≠0。所以＜k＜—1.答案：＜k＜—16.若函數(shù)f(x）=的定義域為R,求實數(shù)k的取值范圍。解:函數(shù)的定義域為R等價于函數(shù)y=kx2-6kx+k+8≥0對于一切x∈R都成立。(1)k=0時，y=8≥0恒成立;(2）當(dāng)k≠0時，解之得0＜k≤1,所以0≤k≤1.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1。不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|＜x＜｝，則a—b等于（)A?！?B.14C。-10解析:由ax2+bx+2＞0的解集是{x｜＜x＜｝，知、是方程ax2+bx+2=0的兩根，且a＜0，由韋達定理得：∴∴a—b=-10.答案：C2。如圖甲所示,P是球O的直徑AB上的動點,PA=x，過P點且與AB垂直的截面面積記為y,則y=f(x）的大致圖象是圖乙中的（）圖甲圖乙解析：不妨設(shè)球的半徑為R（常數(shù)).∵PA=x，∴OP=R-x.∴截面圓的半徑r=。∴y=πr2=2πRx-πx2（0≤x≤R）?！噙xA。答案:A3.一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價值y（元）之間有如下關(guān)系：y=-2x2+220x。若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)摩托車數(shù)量為(）A.41—49B。51—59C.61—69解析:設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車.根據(jù)題意,得—2x2+220x＞6000。移項整理，得x2—110x+3000＜0.因為Δ=100＞0,所以方程x2—110x+3000=0有兩個實數(shù)根x1=50，x2=60.由二次函數(shù)y=x2-110x+3000的圖象得不等式的解為50＜x＜60。因為x只能取整數(shù)值，所以當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51—59輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。答案：B4.若實數(shù)a、b滿足a2+b2=1,且c＜a+b恒成立,則實數(shù)c的取值范圍是_____________.解析：只需使c小于a+b的最小值，根據(jù)條件設(shè)a=cosθ，b=sinθ，則a+b=cosθ+sinθ=sin（θ+），所以a+b的最小值為，故只需c＜。答案：（—∞，）5。在△ABC中，三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,若2b=a+c，則角B的取值范圍是___________。解析：因為2b=a+c，所以b=,所以,cosB=，所以，0＜B≤。答案:0＜B≤6。某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=_____________噸.解析:某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買次，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元,一年的總運費與總存儲費用之和為·4+4x萬元，·4+4x≥160，當(dāng)=4x，即x=20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小。答案：207.某種汽車購車時費用為10萬元,每年保險、養(yǎng)路、汽油費用為9000元；汽車的維修費各年為：第一年2000元,第二年4000元,第三年6000元,以每年2000元的增量遞增,問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用為最少）?(計算總維修費可用:×年數(shù)）解：設(shè)使用n年平均費用為y萬元，則y=+1≥2+1=3(萬元)。當(dāng)且僅當(dāng)，即n=10時等號成立.答：最多使用10年報廢最合算。8。某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出。當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元。(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解:(1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，租出的車輛數(shù)為=12,所以這時租出了88輛.(2)設(shè)每輛車的租金定為x元,則租賃公司的月收益為f(x）=（100-）（x—150)-×50,整理得f(x）=+162x-21000=（x—4050)2+307050。所以,當(dāng)x=4050時，f（x)最大,最大值為f(4050)=307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大,最大收益為307050元。9.某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800.蔬菜的種植面積S=(a—4）(b—2）=ab—4b—2a+8=808-2(a+2b）.所以S≤808—=648(m2).當(dāng)a=2b,即a=40（m）,b=20（m）時，S最大值=648（m2）答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m,后側(cè)邊長為20m時,蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m210。（2006高考湖南卷,理20)對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度〔含污物體的清潔度定義為:〕為0.8,要求清洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲:一次清洗；方案乙：兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍（1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是（x＞a-1），用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中c(0.8＜c＜0。99）是該物體初次清洗后的清潔度。(1)分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(2)若采用方案乙，當(dāng)a為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量的影響.解：(1）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有=0.99,解得x=19.由c=0。95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程：=0.99，解得y=4a，故z=4a+3。即兩種方案的用水量分別為19與4a+3。因為當(dāng)1≤a≤3時，x-z=4（4-a）＞0,即x＞z,故方案乙的用水量較少。（2）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似（1）得x=，y=a（99-100c)。(＊）于