概率與統(tǒng)計(jì)-高中數(shù)學(xué)

12.1隨機(jī)事件的概率

一、選擇題

1.把12人平均分成兩組，再從每組里任意指定正、副組長(zhǎng)各一人，其中甲被指

定為正組長(zhǎng)的概率是()

1111

A.誦B.-CqD.-

解析甲所在的小組有6人，則甲被指定正組長(zhǎng)的概率為!.

6

答案B

2.加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為'-、—>―,

706968

且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為()

331

A.—B.—C.—D.—

68697070

解析加工出來的零件的次品的對(duì)立事件為零件是正品，由對(duì)立事件公式得

加工出來的零件的次品率p=l-絲X竺x"=3.

70696870

答案C

3.某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)

抽取2聽進(jìn)行檢測(cè)，則檢測(cè)出至少有一聽不合格飲料的概率是()

解析記4聽合格的飲料分別為4、4、4、4,2聽不合格的飲料分別為5、民，

則從中隨機(jī)抽取2聽有(4,4),(4,4),(4,4),(4,6),(4,氏)，(4,

4),(4,4),(4,B),(4,B),(A,4),(A,B),(4,B),(4,5),(4,

B),(8，B),共15種不同取法，而至少有一聽不合格飲料有(4,身)，(4,B),

(4,A),(4,4),(4,0,(4,B),(4,㈤，(4,反)，?旦)，共9種,

9Q

故所求概率為P=—=~.

155

答案B

4.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10.

則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為().

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

解析依題意，射中8環(huán)及以上的概率為0.20+0.30+0.10=0.60,故不夠8

環(huán)的概率為1-0.60=0.40.

答案A

5.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1

個(gè)白球的概率是（）.

A±RA39

1010510

解析法一（直接法）：所取3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的取法可分為互斥的兩類:

兩紅一白有6種取法；一紅兩白有3種取法，而從5個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共

9

有10種，所以所求概率為正，故選D.

法二（間接法）：至少一個(gè)白球的對(duì)立事件為所取3個(gè)球中沒有白球，即只有3

IQ

個(gè)紅球共1種取法，故所求概率為1-沔=沔，故選D.

答案D

6.擲一枚均勻的硬幣兩次，事件朋一次正面朝上，一次反面朝上；事件也至

少一次正面朝上，則下列結(jié)果正確的是（）.

A.P（助=＜，P（附=~B.P（刪=；,P（附

1313

C.P（M）=-,P（M=7D.=5，P（A）=亍

解析O={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，人{(lán)（正，反），（反,

13

正）},及={（正，正），（正，反），（反，正）},故尸勵(lì)=5,尸（加=不

乙T：

答案D

7.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩

倍的概率是（）.

1111

A.-B.-C.~D.-

boyz

解析采用枚舉法：從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，基本事件為：

{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個(gè),符合“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)

數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2個(gè)，所以所求的概率為)

答案B

二、填空題

8.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽.現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)

需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為

解析由題得甲隊(duì)獲得冠軍有兩種情況，第一局勝或第一局輸?shù)诙謩?，所以甲?duì)獲得冠軍的概

率尸=.所以選D.

答案-

4

9.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件力為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件8為出現(xiàn)2

點(diǎn)，已知PC4)=<，P?=J,則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率為

26

I19

解析因?yàn)槭录?與事件8是互斥事件，所以

263

依上2

答案3

10.從裝有大小相同的4個(gè)紅球，3個(gè)白球，3個(gè)黃球的袋中，任意取出2個(gè)球,

則取出的2個(gè)顏色相同的概率是_______.

「202024

解析概率尸=至十方"+至=7^

CioCiovio10

公-4

答案正

11.在△/及7中，角力、B、。所對(duì)的邊分別是a、b、c,4=30°,若將一枚質(zhì)地

均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所得的點(diǎn)數(shù)分別為a、b,則滿足條件的三角

形有兩個(gè)解的概率是.

a>Z?sin^,

解析要使△力固有兩個(gè)解，需滿足的條件是因?yàn)?=30。，所以

b<2a,

;滿足此條件的a,6的值有8=3,劉=2；6=4,a=3；6=5,a=3；

b>a

b=5,<3=4；b=&,a=4；6=6,a=5,共6種情況，所以滿足條件的三角形有

兩個(gè)解的概率是捺=(.

1

1

案

答-

12.甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)

的概率分別為0.8和0.75,則在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為

解析由對(duì)立事件的性質(zhì)知在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為1一

(1-0.8)(1-0.75)=0.95.

答案0.95

三、解答題

13.已知7件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一不放回地進(jìn)行檢驗(yàn)，直到2件次品都能

被確認(rèn)為止.

(1)求檢驗(yàn)次數(shù)為3的概率；

⑵求檢驗(yàn)次數(shù)為5的概率.

解析(1)設(shè)“在3次檢驗(yàn)中，前2次檢驗(yàn)中有1次檢到次品，第3次檢驗(yàn)到次品”

為事件4則檢驗(yàn)次數(shù)為3的概率為

尸㈤,a=2i-

(2)記“在5次檢驗(yàn)中，前4次檢驗(yàn)中有1次檢到次品，第5次檢驗(yàn)到次品”為

事件B,記“在5次檢驗(yàn)中，沒有檢到次品”為事件C,則檢驗(yàn)次數(shù)為5的概率

為

⑵至少2人排隊(duì)的概率.

解析記“沒有人排隊(duì)”為事件4“1人排隊(duì)”為事件6,“2人排隊(duì)”為事件

C,力、B、。彼皮互斥.

(1)記“至多2人排隊(duì)”為事件￡,

則P(4=尸(/+8+。=尸(力+尸⑶+/(0=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)記“至少2人排隊(duì)”為事件〃“少于2人排隊(duì)”為事件A+B,那么事件D

與事件4+6是對(duì)立事件，

則/(。)=1一。4+而=1一[/(用+尸(而]=1—(0.1+0.16)=0.74.

15.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到

151

紅球的概率為牙，得到黑球或黃球的概率是冠，得到黃球或綠球的概率是萬，試求

得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？

解析分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球?yàn)槭录?、B、aD.由于4、B、aD

為互斥事件，根據(jù)已知得到

ri1

-+PB+PC+PD=1,pB=『

4

51

<PB+PC=—,解得<p。=6？

PC+PD=《，

pD

12=43

...得到黑球、黃球、綠球的概率各是5j,j.

16.甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽

結(jié)束.假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)

果相互獨(dú)立.已知前2局中，甲、乙各勝1局.

(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；

(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率.

解析記4表示事件：第/局甲獲勝，，=3,4,5,8,表示事件：第j?局乙獲勝，

J-3,4.

(1)記力表示事件：再賽2局結(jié)束比賽.

由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故

尸(力)=夕(44+&A)=W44)+尸(區(qū)A)=尸(4)尸(4)+m)PIBJ

=0.6X0.6+0.4X0.4=0.52.

(2)記6表示事件：甲獲得這次比賽的勝利.

因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽

中，甲先勝2局，從而

B~AjA\+B.4As+AnB}A：,,

由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故

P⑦=P(44)+2(444)+。(4￡4)

=尸(4)-(4)+m)〃(4)尸(4)+p(4)P⑻尸(4)

=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6=0.648.

12.2古典概型

一、選擇題

1.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體

玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次5點(diǎn)向上的概率是（）

A.5216B.25216C.31216D.91216

解析拋擲3次，共有6X6X6=216個(gè)事件.一次也不出現(xiàn)5,則每次拋擲都

有5種可能，故一次也未出現(xiàn)5的事件總數(shù)為5X5X5=125.于是沒有出現(xiàn)一次

5點(diǎn)向上的概率P=125216,所求的概率為1-125216=91216.

答案D

2.先后擲兩次正方體骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6）,

骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，則是奇數(shù)的概率是（）

A.B.C.D.

答案C

3.甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)

中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（）

A.318B.418

C.518D.618

解析正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個(gè)等可能的

基本事件.兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對(duì)角線），包括10個(gè)基

本事件，所以概率等于518.

答案C

4.連續(xù)拋擲2顆骰子，則出現(xiàn)朝上的點(diǎn)數(shù)之和等于6的概率為（）.

A.536B.566C.IllD.511

解析設(shè)“朝上的點(diǎn)數(shù)之和等于6”為事件A,則P（A）=536.

答案A

5.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概

率是（）.

A.35B.25C.13D.23

解析取出的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的兩個(gè)數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)

的概率P=l—515=23.

答案D

6.某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)

抽取2聽進(jìn)行檢測(cè)，則檢測(cè)出至少有一聽不合格飲料的概率是().

A.115B.35C.815D.1415

解析從“6聽飲料中任取2聽飲料”這一隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件

共有15個(gè)，而“抽到不合格飲料”含有9個(gè)基本事件，所以檢測(cè)到不合格飲料

的概率為P=915=35.

答案B

7.一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000個(gè)大小相同的小正方體，若將這

些小正方體均勻地?cái)嚮煸谝黄穑瑒t任意取出一個(gè)正方體其三面涂有油漆的概率是

().

A.112B.110C.325D.1125

解析小正方體三面涂有油漆的有8種情況，故所求其概率為：81000=1125.

答案D

二、填空題

8.有一質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字.現(xiàn)將

它連續(xù)拋擲3次，其底面落于桌面，記三次在正四面體底面的數(shù)字和為S,則“S

恰好為4”的概率為.

解析本題是一道古典概型問題.用有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b,c)來記連續(xù)拋擲3次所得

的3個(gè)數(shù)字，總事件中含4X4X4=64個(gè)基本事件，取S=a+b+c,事件“S

恰好為4”中包含了(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三個(gè)基本事件，則P(S恰好為

4)=364.

答案364

9.現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10

個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是

解析組成滿足條件的數(shù)列為：從中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)共有取法種，其中小于的

取法共有種，因此取出的這個(gè)數(shù)小于的概率為.

答案

10.甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中6個(gè)選擇題，4

個(gè)判斷題，甲、乙二人依次各抽一題，則甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的

概率是,

解析方法1：設(shè)事件A：甲乙兩人中至少有一人抽到選擇題.將A分拆為B：“甲

選乙判”，C：“甲選乙選”，D：“甲判乙選”三個(gè)互斥事件，

則P(A)=P(B)+P(C)+P(D).

而P(B)=C16cl4C110C19,P(C)=C16C15C110C19,P(D)=C14?C16C110C19,

P(A)=2490+3090+2490=7890=1315.

方法2：設(shè)事件A：甲乙兩人中至少有一人抽到選擇題，則其對(duì)立事件為A：

甲乙兩人均抽判斷題.，P(A)=C14cl3C110C19=1290,；.P(A)=1—1290=7890

=1315.

故甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率為1315.

答案1315

11.先后兩次拋擲同一個(gè)骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記作a,b,與5分別作為三

條線段的長(zhǎng)，則這三條線段能夠構(gòu)成等腰三角形的概率是.

解析基本事件的總數(shù)是6X6=36,

當(dāng)a=l時(shí)，b=5符合要求，有1種情況；

當(dāng)a=2時(shí)，b=5符合要求，有1種情況；

當(dāng)a=3時(shí)，b=3,5符合要求，有2種情況；

當(dāng)a=4時(shí)，b=4,5符合要求，有2種情況；

當(dāng)a=5時(shí)，b=1,2,3,4,5,6均符合要求，有6種情況；

當(dāng)a=6時(shí)，b=5,6符合要求，有2種情況.

故所求其概率為：1436=718.

答案718

12.將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a,b,則直線ax—by=0與圓(x—2)2+

y2=2相交的概率為.

解析圓心⑵0)到直線ax—by=0的距離d=|2a|a2+b2,當(dāng)dV2時(shí)，直線與

圓相交，則有d=|2a|a2+b2V2,得b>a,滿足題意的b>a,共有15種情況,

因此直線ax-by=0與圓(x-2)2+y2=2相交的概率為1536=512.

答案512

三、解答題

13.從某小組的2名女生和3名男生中任選2人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng).

(1)求所選2人中恰有一名男生的概率；

(2)求所選2人中至少有一名女生的概率.

解析設(shè)2名女生為al,a2,3名男生為bl,b2,b3,從中選出2人的基本事件

有:(al,a2),(al,bl),(al,b2),(al,b3),(a2,bl),(a2,b2),(a2,

b3),(bl,b2),(bl,b3),(b2,b3),共10種.

(1)設(shè)“所選2人中恰有一名男生”的事件為A,則A包含的事件有：(al,bl),

(al,b2),(al,b3),(a2,bl),(a2,b2),(a2,b3),共6種，

.*.P(A)=610=35,

故所選2人中恰有一名男生的概率為35.

⑵設(shè)''所選2人中至少有一名女生”的事件為B,則B包含的事件有：(al,a2),

(al,bl),(al,b2),(al,b3),(a2,bl),(a2,b2),(a2,b3),共7種，

/.P(B)=710,

故所選2人中至少有一名女生的概率為710.

14.有編號(hào)為Al,A2,…，A10的10個(gè)零件，測(cè)量其直徑(單位：cm),得到下

面數(shù)據(jù)：

編號(hào)AlA2A3A4A5A6A7A8A9A10

直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.53

1.47

其中直徑在區(qū)間［1.48,1.52］內(nèi)的零件為一等品.

(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；

⑵從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè).

①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2個(gè)零件直徑相等的概率.

解析(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè).設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽

取一個(gè)為一等品”為事件A,則P(A)=610=35.

⑵①一等品零件的編號(hào)為ALA2,A3,A4,A5,A6.

從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：

{Al,A2},{Al,A3},{Al,A4},{Al,A5},{Al,A6},{A2,A3},

{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},

{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15種.

②“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能

結(jié)果有：

{Al,A4},{Al,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6種.所

以P(B)=615=25.

15.設(shè)平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,nG{1,2,3,4).

(1)請(qǐng)列出有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果；

⑵若“使得amL(am-bn)成立的(m,n)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.

解析(1)有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4),共16個(gè).

(2)由am_L(am—bn)，得m2—2m+1—n=0,即n=(m—1)2,由于m,n￡{1,2,3,4},

故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個(gè)，又基本事件的總數(shù)為16,

故所求的概率為P(A)=216=18.

16.新華中學(xué)高三(1)班共有學(xué)生50名，其中男生30名、女生20名，采用分層

抽樣的方法選出5人參加一個(gè)座談會(huì).

⑴求某同學(xué)被抽到的概率以及選出的男、女同學(xué)的人數(shù)；

⑵座談會(huì)結(jié)束后，決定選出2名同學(xué)作典型發(fā)言，方法是先從5人中選出1名

同學(xué)發(fā)言，發(fā)言結(jié)束后再從剩下的同學(xué)中選出1名同學(xué)發(fā)言，求選出的2名同學(xué)

中恰好有1名為女同學(xué)的概率.

解析(1)某個(gè)同學(xué)被抽到的概率P=550=110,根據(jù)分層抽樣方法，應(yīng)抽取男

同學(xué)3人，女同學(xué)2人.

(2)記選出的3名男同學(xué)為Al,A2,A3,2名女同學(xué)為Bl,B2.

則基本事件是：

(Al,A2),(Al,A3),(Al,Bl),(Al,B2),(A2,Al),(A2,A3),(A2,B1),

(A2,B2),(A3,Al),(A3,A2),(A3,Bl),(A3,B2),(Bl,Al),(Bl,A2)(B1,

A3),(Bl,B2),(B2,Al),(B2,A2)(B2,A3),(B2,B1).

基本事件的總數(shù)為20個(gè)，其中滿足“恰好有1名為女同學(xué)”的基本事件有12

個(gè)，故所求的概率P=1220=35.

【點(diǎn)評(píng)】近幾年新課標(biāo)高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的交匯問題考查次數(shù)較多.解決此類題

目步驟主要有：，第一步：根據(jù)題目要求求出數(shù)據(jù)有的用到分層抽樣、有的用

到頻率分布直方圖等知識(shí),,第二步：列出所有基本事件，計(jì)算基本事件總數(shù)；，

第三步：找出所求事件的個(gè)數(shù)；，第四步：根據(jù)古典概型公式求解；，第五步：明

確規(guī)范表述結(jié)論.

12.3幾何概型

一、選擇題

1.已知地鐵列車每10min（含在車站停車時(shí)間）一班，在車站停1min,則乘客

到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是（）

1111

A-wB-9c-nD-8

解析試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10min,而構(gòu)成事件/的區(qū)域長(zhǎng)度為1

min,

故P（A）==

答案A

2.設(shè)不等式組表示平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此

Q<y<2

點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）

A.-B,C.-D.

4264

"0<V<2

解析題目中二一一、表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減

0<v<2

2X2--,T-2:._

去四分之一圓的面積部分，因此尸=------——==，故選D.

2x24

答案D

3.在如圖所示的正方形中隨機(jī)擲一粒豆子，

豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓（圓中陰影部分）中的概率是（

11

A-4B,8

nJI

C-TD-T

解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓中的概率

答案D

4.如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中

CQQO

解析由幾何概型知，不嘰=可，故S陰=5X22=*

J正方形JJJ

答案B

S

5.在面積為S的△/8C的邊上上任取一點(diǎn)只則的面積大于a的概率是

（）.

1132

AqB.-C.-D.-

解析由△/SC,有公共底邊比；所以只需尸位于線段胡靠近8的四分之

AF3

一分點(diǎn)6與4之間，這是一個(gè)幾何概型，礪=1

答案C

6.ABO）為長(zhǎng)方形,46=2,BC=\,。為46的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形/四內(nèi)隨機(jī)取一

點(diǎn)，取到的點(diǎn)到。的距離大于1的概率為（）.

ITJIJI

A?了B.1-C.y

解析如圖，要使圖中點(diǎn)到。的距離大于1,

JI

9——

2JI

則該點(diǎn)需取在圖中陰影部分，故概率為Q=—^-=1一1.

答案B

7.分別以正方形/靦的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示,

若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為（）.

X

AB

4—nJT—2

A.2B，2

4—nn—2

C.D4

4

解析設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接

正方形的面積，即為“一2,則陰影區(qū)域的面積為2n—4,所以所求概率為々

2冗一4兀一2

-4-=21

答案B

二、填空題

8.如圖，已知正方形的面積為10,向正方形內(nèi)隨機(jī)地撒200顆黃豆，數(shù)得落在

陰影外的黃豆數(shù)為114顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，可以估計(jì)出陰影部分的面積約

為.

200—114

解析根據(jù)隨機(jī)模擬的思想，這個(gè)面積是10X—=4.3.

答案4.3

9.小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若

此點(diǎn)到圓心的距離大于;，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于點(diǎn)則去打

籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為.

解析設(shè)力=｛小波周末去看電影｝,

8=（小波周末去打籃球｝,。=｛小波周末在家看書｝,

｛小波周末不在家看書｝,如圖所示，\

11

122

--

C4Jr

S

3

則p(m=1

科生13

''木16

10.在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段

AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm2的概率為.

解析設(shè)線段AC的長(zhǎng)為xcm,則線段CB的長(zhǎng)為(12-x)cm,那么矩形的面積為

x(12-x)cm2,由x(12-x)>20,解得2<x<10。又0<x<12,所以該矩形面積

小于32cm2的概率為2,故選C.

3

答案-

3

11.在區(qū)間［0,1］上任取兩個(gè)數(shù)a,b,則關(guān)于x的方程f+2ax+82=0有實(shí)數(shù)根

的概率為.

解析由題意得4=4a2-4A2>0,

(0—

,：a,be[0,1],二，OWKL

畫出該不

〔心力，

等式組表示的可行域(如圖中陰影部分所示).故所求

概率等于三角形面積與正方形面積之比，即所求概率為g.

答案2

12.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線勿1落在30°角的終邊上，任作一條射線

0A,則射線以落在內(nèi)的概率為_______.

解析如題圖，因?yàn)樯渚€以在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則勿落在Ny”內(nèi)的

加“601

概率，為Qnn=￡.

3600

答案I

0

三、解答題

13.如圖所示，在單位圓。的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)。，求過點(diǎn)0且與該直徑

垂直的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度不超過1的概率.

A/3

解析弦長(zhǎng)不超過1,即I0Q\2乎，而0點(diǎn)在直徑4?上是隨機(jī)的，事件A={弦

乙

長(zhǎng)超過1}.

A/3

.X2

由幾何概型的概率公式得以⑷=—^―4

...弦長(zhǎng)不超過1的概率為1—尸(心=1

2,

14.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)(x—2,x~y).

(1)在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從此盒中有放回地先后抽

到兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別記為x,y，求I。網(wǎng)的最大值，并求事件取到最大

值”的概率；

(2)若利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在［0,3］上先后取兩個(gè)數(shù)分別記為x,y,求尸點(diǎn)在第一象

限的概率.

解析(1)記抽到的卡片標(biāo)號(hào)為(x,y),所有的情況分別如下表：

(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

P(x—

(―(—L(—1，(0,—

2,x(0,1)(0,0)(1,2)(1,1)(1,0)

1,0)—1)-2)1)

-y)

OP1乖101乖1

其中基本事件是總數(shù)為9,隨機(jī)事件A"|OP|取最大值”包含2個(gè)基本事件，故

9

所求的概率為P(A)=-

⑵設(shè)事件B為“P點(diǎn)在第一象限”.

C0WxW3,

右kyW3,

則其所表示的區(qū)域面積為3X3=9.

〃0WxW3,

0WyW3,

由題意可得事件B滿足<c、c

x—2>0,

<x—y>0,

即如圖所示的陰影部分，

15

其區(qū)域面積為1X3-]X1X1=2.

5

25

??.P(B)=g=市

15.已知|x|W2,|y|W2,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),求當(dāng)x,y￡R時(shí)，戶滿足

(x-2)2+(y-2)2<4的概率.

思路分析由題意畫出圖象可求面積之比.

解析如圖，點(diǎn)尸所在的區(qū)域?yàn)檎叫?8口的內(nèi)

部(含邊界)，滿足5—2)2+3—2)2忘4的點(diǎn)的區(qū)域

為以⑵2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界).

LX22

4jc

...所求的概率P尸=二.

【點(diǎn)評(píng)】解決幾何概型的概率問題一般利用圖形輔助解題，分析題目，找到區(qū)

域，對(duì)照定義可求得結(jié)果，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

16.已知集合力={—2,0,2},B={~\,1},設(shè)〃={(x,力1x64yG國,在集

合"內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x,y).

(1)求以(心力為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓系+”=1上的概率；

jx—y+2^0,

⑵求以(x,力為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域。：1x+y—2W0,內(nèi)(含邊界)的概率.

〔在-1

解析(1)記“以(x,力為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓/+/=1上”

為事件4則基本事件總數(shù)為6.因落在圓x?+/=l上

21

的點(diǎn)有(0,-1),(0,1)2個(gè)，即4包含的基本事件數(shù)為2,所以產(chǎn)(4=公=可.

63

(2)記“以(％力為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)”為事件6,

則基本事件總數(shù)為6,由圖知位于區(qū)域。內(nèi)(含邊界)

的點(diǎn)有：(一2,—1),(2,一1),(0,-1),(0,1),

42

共4個(gè)，即5包含的基本事件數(shù)為4,故〃(0=工=可.

63

12.4禺散型隨機(jī)變量及其分布列

一、選擇題

1.已知隨機(jī)變量才的分布歹I如下表：

12345

1241

Pm

15T5153

則加的值為（）

1

12-D

A-TiB.石5

31

得-

解析利用概率之和等于1,m--5-

15

答案c

2.拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差

為f,則“f25”表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）

A.第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)

B.第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)

C.第一枚1點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)

D.第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)

解析第一枚的點(diǎn)數(shù)減去第二枚的點(diǎn)數(shù)不小于5,即只能等于5,故選〃

答案D

3.離散型隨機(jī)變量才的概率分布規(guī)律為產(chǎn)（才=力=廠/J（〃=L2,3,4）,其

15

中a是常數(shù)，則尸（5＜才＜吊）的值為（）

乙乙

23

A-3Bq

45

C.7D.—

56

解析由^1X2+2X3+3X4+4X5^Xa=1-

〃45

矢口三a=1

□4

故=尸⑴+尸⑵=^x；+^x^=1.

答案D

4.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率為失敗率的2倍，用隨機(jī)變量才去描述1次試驗(yàn)的成功

次數(shù)，則/（乃=0）的值為（）.

111

A---

B.23D.5

解析設(shè)X的分布列為:

即“乃=0”表示試驗(yàn)失敗，“￥=1”表示試驗(yàn)成功，設(shè)失敗的概率為p,成功的

概率為20.由0+2夕=1,則0=］因此選C.

O

答案c

5.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色

后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則尸(￥=12)等于

().

解析“1=12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白

球，因此

答案D

6.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量f表示所選3

人中女生的人數(shù)，則尸(f〈l)等于().

1234

兒5-B.5-5-D.5-

解析P(fWl)=1一尸(f=2)=1--^r=§.

答案D

7.一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，

用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)片是一個(gè)隨機(jī)變量，則〃(1=4)的值為

).

1272721

A，220B，55C，220D，55

解析用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)片是一個(gè)隨機(jī)變量.當(dāng)才=4時(shí)，說

r*r207

明取出的3個(gè)球有2個(gè)舊球，1個(gè)新球，.?.以1=4）=等=兩，故選C.

答案c

二、填空題

8.隨機(jī)變量X的分布列如下：

才-101

Pabc

其中a,b,c成等差數(shù)列，則小|*=1）=

解析,:a,b,c成等差數(shù)列，?,.Zbna+c.

12

又a+6+c=l,/.b=~,.?.尸（|川=1）=a+c=..

OO

9

答案可

O

9.某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至少命中一次的

概率為竺，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為____________.

25

解析由1—p2=更得p=3

255

答案-

5

10.設(shè)隨機(jī)變量才的分布列為尸（才=1）=噌，（41,2,3,4）,貝I=

解析啟〈乃〈目=0（￥=1）+尸（%=2）+/（乃=3）=|.

答案1

□

11.如圖所示，/、6兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們

在單位時(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.

現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)通過的最大信

息總量為f，則P(&>8)=

解析法一由已知f的取值為7,8,9,10,

f的概率分布列為

32

105

:.P(f28)=P(f=8)+夕(f=9)+尸(f=10)

__3_21__4

=TO+5+TO=?

C2cl4

法二尸(f》8)=i一尸(f=7)=1—安=m

C55

田生4

答案i

12.甲、乙兩個(gè)袋子中均裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相

同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球.現(xiàn)分別

從甲、乙兩袋中各隨機(jī)抽取2個(gè)球，則取出的紅球個(gè)數(shù)X的取值集合是.

解析甲袋中取出的紅球個(gè)數(shù)可能是0,1,2,乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)可能是0,1,

故取出的紅球個(gè)數(shù)X的取值集合是｛0,1,2,3).

答案｛0,1,2,3｝

三、解答題

13.口袋中有A(〃6N*)個(gè)白球，3個(gè)紅球，依次從口袋中任取一球，如果取到紅

球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球.記取球

7

的次數(shù)為了若尸(才=2)=右，求：

(DA的值；

(2)二的分布列.

解析(1)由尸(1=2)=看知己'乂薩=擊，

.*.90/7=7(/?+2)(/?+3).

".n=l.

(2)￥=1,2,3,4

777

且。(/三口二行，/?(Z=2)=—,/(￥=3)=訴,

1UOUJL乙U

1

尸(淤=4)=

120,

...1的分布列為

X1234

7771

P

1030120T20

14.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè).從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)

小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用乃表示取出的

3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：

(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)隨機(jī)變量乃的分布列；

⑶計(jì)分介于20分到40分之間的概率.

解析(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為4則尸儲(chǔ))=

您555乙

%=§,

⑵由題意知，乃有可能的取值為2,3,4,5,取相應(yīng)值的概率分別為.

Cc；+cC1

尸(X=2)=Cio-30；

c；cl+c：c；2

產(chǎn)(1=3)=--^15;

z^2z>l?

十3

產(chǎn)(￥=4)=

10;

(X+CC8

產(chǎn)(1=5)=F—=i5-

15.在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50

元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng).某

顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張，求：

（1）該顧客中獎(jiǎng)的概率；

⑵該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值才元的概率分布列.

解析（1）該顧客中獎(jiǎng)，說明是從有獎(jiǎng)的4張獎(jiǎng)券中抽到了1張或2張，由于是

等可能地抽取，所以該顧客中獎(jiǎng)的概率

C：C；+C：302

=后=亍

（或用間接法,即-Ai-iH）

（2）依題意可知，C的所有可能取值為0,10,20,50,60（元），且

..C簿1C；C；2

=

p(.x^s)=c?=[>戶(1=10)="CT=5,

/、C；1/、C]Ce2

戶(尸20)=武=^m=50)=豆=西

C；C：'1

產(chǎn)(1=60)=

所以1的分布列為:

才010205060

12121

P

35151515

【點(diǎn)評(píng)】概率、隨機(jī)變量及其分布列與實(shí)際問題的結(jié)合題型在新課標(biāo)高考中經(jīng)

常出現(xiàn)，其解題的一般步驟為：，第一步：理解以實(shí)際問題為背景的概率問題的

題意，確定離散型隨機(jī)變量的所有可能值；，第二步：利用排列、組合知識(shí)或互

斥事件，獨(dú)立事件的概率公式求出隨機(jī)變量取每個(gè)可能值的概率；，第三步：畫

出隨機(jī)變量的分布列；，第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論；

16.某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參

加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則

就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的

概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)1的分布列，

并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.

解析X的取值分別為1,2,3,4.

￥=1,表明李明第一次參加駕照考試就通過了，

故尸(才=1)=0.6.

1=2,表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，

故.(1=2)=(1—0.6)X0.7=0.28.

1=3,表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，

故尸(￥=3)=(1—0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.

片=4,表明李明第一、二、三次考試都未通過，

故戶(1=4)=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)=0.024.

.?.李明實(shí)際參加考試次數(shù)￥的分布列為

1234

P0.60.280.0960.024

李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為

1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.9976.

12.5二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

一、選擇題

1.甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)的紀(jì)錄知，一年中下雨天甲市占

20%,乙市占18%,兩市同時(shí)下雨占12%則甲市為