專題28.1銳角三角函數(shù)-2020-2021學年九年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)題典

20202021學年九年級數(shù)學下冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題28.1銳角三角函數(shù)姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2020?河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A．512 B．125 C．513 【分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【解析】如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=52∴sinB=AC故選：D．2．（2019秋?玉環(huán)市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA=45，則A．125 B．165 C．203 【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關系得出答案．【解析】如圖所示：∵∠C＝90°，AB＝4，cosA=4∴cosA=AC故AC=16故選：B．3．（2020?普陀區(qū)一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1A．cosB=13 B．cotA=13 C．tanA=22【分析】利用同角三角函數(shù)的關系解答．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，則cosA、cosB＝sinA=1B、cotA=cosAsinA=C、tanA=sinAD、cotB＝tanA=2故選：A．4．（2018秋?樅陽縣期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA=13，則sinA．13 B．23 C．33 【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關系就可以求解．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，則sinB＝cosA=1故選：A．5．（2018秋?市中區(qū)校級期中）已知α為銳角，且tanα=13，則sinA．23 B．105 C．31010【分析】根據(jù)tanα=13，設出關于兩邊的代數(shù)表達式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達式，即可推出sin【解析】設在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，則sinα=ac，tanα=ab，a2+b2∵tanα=1∴可設a＝x，則b＝3x，∴c=a2∴sinα=a故選：D．6．（2020?岳麓區(qū)模擬）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，則tan∠BAC的值是（）A．45 B．43 C．34 【分析】過點B作BD⊥AC，交AC延長線于點D，利用正切函數(shù)的定義求解可得．【解析】如圖，過點B作BD⊥AC，交AC延長線于點D，則tan∠BAC=BD故選：C．7．（2019秋?港南區(qū)期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A．35 B．74 C．45或74 D【分析】因為原題沒有說明哪個角是直角，所以要分情況討論：①AB為斜邊，②AC為斜邊，根據(jù)勾股定理求得AB的值，然后根據(jù)余弦的定義即可求解．【解析】當△ABC為直角三角形時，存在兩種情況：①當AB為斜邊，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB=AC∴cosA=AC②當AC為斜邊，∠B＝90°，由勾股定理得：AB=AC2∴cosA=AB綜上所述，cosA的值等于45或7故選：C．8．（2019?崇川區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為m，∠A＝35°，則直角邊BC的長是（）A．msin35° B．mcos35° C．msin35° D．【分析】根據(jù)正弦定義：把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解析】sin∠A=BC∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝msin35°，故選：A．9．（2017?費縣模擬）如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則sinα＝（）A．12 B．55 C．52 【分析】過D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易證△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，從而得出sin∠CDF，即可求sinα．【解析】過D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，∴EF和l2，l3，l4的夾角都是90°，即EF與l2，l3，l4都垂直，∴DE＝1，DF＝2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADE+∠CDF＝90°，又∵∠α+∠ADE＝90°，∴∠α＝∠CDF，∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝1，∴在Rt△CDF中，CD=CF∴sinα＝sin∠CDF=CF故選：B．10．（2009?黑河）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為32，AC＝2，則sinBA．23 B．32 C．34 【分析】求角的三角函數(shù)值，可以轉化為求直角三角形邊的比，連接DC．根據(jù)同弧所對的圓周角相等，就可以轉化為：求直角三角形的銳角的三角函數(shù)值的問題．【解析】連接DC．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ACD＝90°．根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠B＝∠D．∴sinB＝sinD=AC故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2019?杭州模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA=35，則斜邊AB邊上的高CD的長為【分析】作CD⊥AB于D，如圖，在Rt△ACB中利用正弦的定義可計算出BC=125，再利用勾股定理計算出AC=16【解析】作CD⊥AB于D，如圖，在Rt△ACB中，∵sinA=BC∴BC=35×∴AC=A∵12CD?AB=12AC∴CD=16即斜邊上的高為4825故答案為：482512．（2018?閔行區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝4sinαtanα．（用銳角α的三角比表示）【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∴∠BCD＝∠A＝α，∴CD＝AC?sinα＝4sinα，∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．故答案為：4sinαtanα．13．（2020?鐵東區(qū)三模）如圖，將∠BAC放置在5×5的正方形網(wǎng)格中，如果頂點A、B、C均在格點上，那么∠BAC的正切值為1．【分析】連接BC，先利用勾股定理逆定理證△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)的定義可得．【解析】如圖所示，連接BC，則AB＝BC=12+32=∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，則tan∠BAC＝1，故答案為：1．14．（2017秋?藍田縣期末）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=45，AB＝15，則AC的值是12【分析】由sinB=ACAB得AC＝ABsin【解析】在Rt△ABC中，∵sinB=AC∴AC＝ABsinB＝15×45=故答案為：12．15．（2019?武侯區(qū)模擬）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA=23，則sinB＝5【分析】根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)的定義進行解答即可．【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=23，即設CB＝2x，則AB＝3x，根據(jù)勾股定理可得：AC=5x∴sinB=AC故答案為：5316．（2019?咸寧模擬）如圖，P（12，a）在反比例函數(shù)y=60x圖象上，PH⊥x軸于H，則tan∠POH的值為5【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義求解，tan∠POH為∠POH的對邊比鄰邊，求出即可．【解析】∵P（12，a）在反比例函數(shù)y=60∴a=6012∵PH⊥x軸于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH=5故答案為：51217．（2018?云夢縣一模）如圖，在Rt△ABD中，∠A＝90°，點C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D=23，則CDCA=【分析】由tan∠D=ABAD=23可設AB＝2x、AD＝3x，根據(jù)∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x【解析】在Rt△ABD中，∵tan∠D=AB∴設AB＝2x，AD＝3x，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2x，則CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，∴CDCA故答案為：1218．（2018?即墨區(qū)自主招生）已知三角函數(shù)的變換公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，則下列說法正確的序號是②③④．①cos（﹣30°）=-3②cos75°=6③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；④cos2x＝cos2x﹣sin2x．【分析】根據(jù)已知中的定義以及特殊角的三角函數(shù)值即可判斷．【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°=3②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°=3③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命題正確；④cos2x＝cosx?cosx﹣sinx?sinx＝cos2x﹣sin2x，命題正確；故答案為：②③④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2019秋?昌平區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=13，BC＝2，求【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關系，求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AB．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tanA=BC∵BC＝2，∴2AC=13，∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB=21020．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC=5（1）求sinA的值．（2）你能通過sinA的值求sin∠CBD的值嗎？若能，請求出sin∠CBD的值，若不能，請說明理由．【分析】（1）利用正弦的定義求解；（2）利用等角的余角相等證明∠A＝∠CBD，從而得到sin∠CBD＝sinA．【解析】（1）在Rt△ABC中，sinA=BC（2）能．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴sin∠CBD＝sinA=521．（2018秋?無錫月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A=35，求BC的長和tan∠【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義可得BCAB=35，再代入AB的值可得【解析】∵sin∠A=3∴BCAB∵AB＝15，∴BC＝9；∴AC=AB∴tan∠B=AC22．（2017秋?寶山區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tanC=125，求：邊AB的長和∠【分析】過B作BF⊥AC于F，則∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根據(jù)勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sinA即可．【解析】過B作BF⊥AC于F，則∠AFB＝∠BFC＝90°，在△BFC中，tanC=BF設BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，解得：k=21即BF=25213，CF∵AC＝13，∴AF＝13-105在△AFB中，由勾股定理得：AB=(252在△AFB中，sinA=BF23．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）點E在AB上，且BE＝2AE，過E作EF⊥BC，垂足為點F，求DE的長．【分析】（1）先利用等腰三角形三線合一的性質求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)sinB=AD（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BEAB=EFAD=【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC=12BC＝∴AB=AD2∴sinB=AD（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴BEAB∴EF=23AD=23×6＝4，BF=2∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE=EF24．（2020?福州模擬）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB邊上一點，連接CD，E是CD上一點，且∠AED＝45°．（1）如圖1，若AE＝DE，①求證：CD平分∠ACB；②求ADDB（2）如圖2，連接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）①想辦法證明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解決問題．②如圖1中，過點D作DT⊥BC于T．證明DA＝DT，BD=2DT（2）如圖2中，連接BE，過點C作CT⊥AT交AE的延長線于T．證明△ABE≌△CAT（AAS）可得結論．【解答】（1）①證明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝2