專題02全等模型-一線三等角（K字）模型

專題02全等模型一線三等角（K字）模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等。【常見模型及證法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等例1．（2022·河南濮陽市·八年級期末）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）DE＝BD＋CE．理由見詳解【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABD≌△CAE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點都在直線m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）DE＝BD＋CE．理由如下：如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運用所學知識解決問題．例2．（2022·綿陽市·八年級課時練習）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據(jù)直線，直線得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷；（2）利用，則，得出，然后問題可求證；（3）由題意易得，由（1）（2）易證，則有，然后可得，進而可證，最后問題可得證．【詳解】（1）證明：直線，直線，，，，，，在和中，，；解：（2）成立，理由如下：，，，在和中，，；（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴（SAS），∴，∴，∴△DFE是等邊三角形．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河北張家口·八年級?？计谥校┤鐖D1，在長方形中，，，點在線段上以的速度由向終點運動，同時，點在線段上由點向終點運動，它們運動的時間為.【解決問題】若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，回答下面的問題：(1)；(2)此時與是否全等，請說明理由；(3)求證：；【變式探究】若點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，請直接寫出相應(yīng)的的值；若不存在，請說明理由.

【答案】解決問題（1）1；（2）全等；（3）見解析；變式探究：1或.【分析】解決問題（1）當t=1時，AP的長=速度×時間；（2）算出三角形的邊，根據(jù)全等三角形的判定方法判定；（3）利用同角的余角相等證明∠DPQ=90°；變式探究：若與全等，則有兩種情況：①≌②≌，分別假設(shè)兩種情況成立，利用對應(yīng)邊相等求出t值.【詳解】解：解決問題（1）∵t=1，點P的運動速度為，∴AP=1×1=1cm；（2）全等，理由是：當t=1時，可知AP=1，BQ=1，又∵AB=4，BC=3，∴PB=3，在△ADP與△BPQ中，，∴△ADP≌△BPQ（SAS）（3）∵△ADP≌△BPQ，∴∠APD=∠PQB，∵∠PQB+∠QPB=90°，∴∠APD+∠QPB=90°，∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ.變式探究①若≌，則AP=BQ，即1×t=x×t，x=1；

②若≌，AP=BP，即點P為AB中點，此時AP=2，t=2÷1=2s，AD=BQ=3，∴x=3÷2=cm/s.綜上：當與全等時，x的取值為1或.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，注意在運動中對三角形全等進行分類討論，從而得出不同情況下的點Q速度.例4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.【分析】（1）利用鄰補角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°∠B∠ADB=180°115°40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°∠ADB∠ADE=25°，∴∠DEC=180°∠EDC∠C=115°，∴∠AED=180°∠DEC=180°115°=65°；（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【點睛】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】異側(cè)型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等例1．（2023春·廣西·七年級專題練習）問題1：在數(shù)學課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由．【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．【詳解】解：（1）AD＝EC；證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已證△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【點睛】此題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．例2．（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖1一直角三角板，，，過點C的直線l不經(jīng)過三角形內(nèi)部，過點A、B作，，垂足分別為D，E．(1)請你在圖1中寫出一對全等三角形：___________(2)請證明你所寫結(jié)論．(3)嘗試探究：若，；①圖1中四邊形的面積為：________（用含a，b的代數(shù)式表示，）②圖2中過點C的直線l經(jīng)過三角形內(nèi)部，其它不變，則四邊形的面積為：___________（用含a，b的代數(shù)式表示，）?！敬鸢浮?1)(2)見解析(3)①，②或【分析】（1）由圖可知；（2）利用可證；（3）①利用梯形面積公式可解；②同（2）可證，四邊形的面積為和面積之和；【詳解】（1）解：和是一對全等三角形，故答案為：；（2）證明：，，，，，在和中，，；（3）解：①由（2）知，，，四邊形的面積為：；②同（2）可證，，，，四邊形的面積為：，故答案為：，；【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形中的垂線模型．例3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）①由垂直關(guān)系可得，則由即可證明；②由的性質(zhì)及線段和的關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）由垂直可得，則由可證明，由全等三角形的性質(zhì)及線段差的關(guān)系即可證得結(jié)論；（3）由垂直可得，則由可證得，由全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可得到三線段間的關(guān)系．【詳解】（1）如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，所滿足的等量關(guān)系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，互余的性質(zhì)等知識，證明兩個三角形全等是問題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，垂足為D，E．若，求DE的長．【答案】7cm【分析】利用一線三垂直模型證明得到即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·綿陽市八年級課時練習）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，點D，E分別在AB，BC上，且∠CDE＝90°．當BE＝2AD時，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．小明通過探究發(fā)現(xiàn)，過點E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將解決問題．請回答：（1）小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是．（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】（1）DE；（2）見解析.【分析】（1）、（2）：如圖2，作EF⊥AB，垂足為F．由題意可證得△ACD≌△DFE，由此可得CD=DE，故小明分析的與CD相等的線段是線段DE.【詳解】（1）DE；故答案為DE；（2）證明：作EF⊥AB，垂足為F．則∠BFE＝∠DFE＝90°═∠A═∠CDE．∵∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝∠DFE+∠FED，∴∠ADC＝∠FED．∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，∴BE＝2FE．∵BE＝2AD，∴FE＝AD．在△FED和△ADC中，∴△FED≌△ADC（ASA）．∴DE＝CD【點睛】本題考查了30°的直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握靈活運用30°的直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì).4.（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立(2)AFBF=2CE【分析】（1）過B作BH⊥CE于點H，可證△ACE≌△CBH，通過線段的等量代換可得結(jié)論；（2）過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，△ACE≌△CBG，通過線段的等量代換可得答案．（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過B作BH⊥CE于點H，∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．（2）解：不成立，線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AFBF=2CE證明：如圖，過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，∴AFBF=AE+EFBF=CG+EFGE=CE+EF=2EC．【點睛】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）通過對數(shù)學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到；[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案；[深入探究]過點D作于P，過點E作交的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，進而求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，則，故答案為：50；[深入探究]過點D作于P，過點E作交AG的延長線于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：63．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東廣州·八年級校考階段練習）已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．【答案】（1）①EF=BEAF；②∠α+∠BCA=180°，理由見解析；（2）不成立，EF=BE+AF，證明見解析【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論；②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論;（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系：EF=BEAF，證明：當α=90°時，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°,∴∠BCE＋∠ACF=90°,∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF,∵CF=CE＋EF,∴EF=CFCE=BEAF；②∠α與∠BCA關(guān)系：∠α+∠BCA=180°當∠α+∠BCA=180°時，①中結(jié)論仍然成立;理由是：如題圖2，∵∠BEC=∠CFA=∠α,,∠α+∠ACB=180°,又∵∴∠CBE=∠ACF,在△BCE和△CAF中∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CFCE=BEAF;故答案為:∠α+∠BCA=180°；（2）EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系:EF=BE+AF，理由如下∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°,∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°,∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中∴△ABE≌△CFA(AAS)∴AF=CE，BE=CF∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△BCE≌△CAF是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海浦東新·八年級?？计谥校┰谥?，，，點在直線上（，除外），的垂線與的垂線交于點，研究和的數(shù)量關(guān)系.（1）在探究，的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學思想，發(fā)現(xiàn)當點是的中點時，只需要取邊的中點（如圖），通過推理證明就可以得到的數(shù)量關(guān)系，請你按照這種思路直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：_______________。（2）當點是線段上（，除外）任意一點（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？證明你的結(jié)論；（3）點在線段的延長線上，上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？在下圖中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）AE=EF；（2）成立，證明見詳解；（3）成立，畫圖、證明見詳解.【分析】（1）證△AGE≌△EBF即可；（2）在AC上截取點G使AG=EB，再證△AGE≌△EBF即可；（3）在AC延長線上截取點G使AG=EB，再證△AGE≌△EBF即可.【詳解】證明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分別是AC、BC的中點∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°∵AB⊥BF∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°∠AGE=180°－∠CGE=135°∴∠EBF=∠AGE∵AE⊥EF∴∠AEC＋∠FEB=90°∵∠CAE＋∠AEC=90°∴∠FEB=∠CAE在△AGE和△EBF中∴△AGE≌△EBF∴AE=EF（2）成立；在AC上截取點G使AG=EB，∵AB=AC，∠C=90°AG=BE∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°∵AB⊥BF∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°∠AGE=180°－∠CGE=135°∴∠EBF=∠AGE∵AE⊥EF∴∠AEC＋∠FEB=90°∵∠CAE＋∠AEC=90°∴∠FEB=∠CAE在△AGE和△EBF中∴△AGE≌△EBF∴AE=EF（3）成立，如下圖：在AC延長線上截取點G使AG=EB∵AB=AC，∠C=90°AG=BE∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°∵AB⊥BF∴∠EBF=90°－∠CBA=45°∴∠CGE=∠EBF∵AE⊥EF∴∠AEC＋∠FEB=90°∵∠CAE＋∠AEC=90°∴∠FEB=∠CAE在△AGE和△EBF中∴△AGE≌△EBF∴AE=EF【點睛】此題考查的是全等三角形的判定，讀懂材料構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.8．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立(2)AFBF=2CE【分析】（1）過B作BH⊥CE于點H，可證△ACE≌△CBH，通過線段的等量代換可得結(jié)論；（2）過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，△ACE≌△CBG，通過線段的等量代換可得答案．（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過B作BH⊥CE于點H，∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．（2）解：不成立，線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AFBF=2CE證明：如圖，過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，∴AFBF=AE+EFBF=CG+EFGE=CE+EF=2EC．【點睛】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022·河南商丘市·九年級期末）如圖（1），已知中，，；是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于，于．（1）求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請給予證明．（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明；（4）根據(jù)以上的討論，請用簡潔的語言表達直線在不同位置時與，的位置關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）；（4）當，在的同測時，；當，在的異側(cè)時，若，則，若，則【分析】（1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形對應(yīng)邊相等，進而通過線段之間的轉(zhuǎn)化，可得出結(jié)論；（2）由題中條件同樣可得出△BAD≌△AEC，得出對應(yīng)線段相等，進而可得線段之間的關(guān)系；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．（4）利用（1）（2）（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC，∴BD=DE+CE（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC∴BD=DECE，（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC，在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE=BD+CE，∴BD=DECE．（4）歸納：由（1）（2）（3）可知：當B，C在AE的同側(cè)時，若BD>CE,則BD=DE+CE,若BD>CE,則BD=DE+CE,若BD<CE,則BD=CEDE.【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性質(zhì)，線段的和差，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知為等腰三角形，，直線過點（不經(jīng)過點），過點作于點，過點作于點．(1)如圖1，當點位于直線的同側(cè)時，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點位于直線的兩側(cè)，①（1）的結(jié)論是否還能成立，請說明理由；②設(shè)與交于點，當時，判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)；理由見解析(2)①成立，理由見解析；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“”證明即可得出結(jié)論；（2）①仍然根據(jù)“”證明即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及題意證明，進而得出，則結(jié)論可得．【詳解】（1）解：，理由如下：∵為等腰三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）（2）①成立，同理可得，∴；②，理由如下：∵，，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握“一線三等角”模型證明全等是解本題的關(guān)鍵．11．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS證得△AEC≌△CDB，即可；（2）分別過點E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）可證得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，從而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，從而得到EI=IG，即可求證；（3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②過點C作CP⊥AD交AD延長線于點P，過點E作EQ⊥AD交AD延長線于點Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，從而得到DP=EQ，然后根據(jù)兩平行線間的距離，可得AP=BC，進而得到PD=1，即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）證明：分別過點E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中點；（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CDCE，∴ED=EA－BD；故答案為：ED=EA－BD②如圖，過點C作CP⊥AD交AD延長線于點P，過點E作EQ⊥AD交AD延長線于點Q，根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，∵BC=3，∴AP=BC=3，∵AD=2，∴DP=APAD=1，∴EQ=1，∴△ADE的面積為．故答案為：1【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，平行間的距離，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行間的距離，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．12．（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計算即可．【詳解】（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點為BC中點；（3）當點E在CB的延長線上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴AG=CG+AC=5.5，∴，同理，當點E在線段BC上時，AG=ACCG+=2.5，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·八年級課時練習）在綜合實踐課上，李老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數(shù)學活動．已知，在等腰紙片中，，，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺（，）按如圖所示放置，頂點在線段上滑動（點不與，重合），三角尺的直角邊始終經(jīng)過點，并與的夾角，斜邊交于點．（1）當時，______°；（2）當?shù)扔诤沃禃r，？請說明理由；（3）在點的滑動過程中，存在是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角的大??；若不存在，請說明理由．【答案】（1）50；（2）=5時，，理由見詳解；（3）當α＝45°或90°或0°時，△PCD是等腰三角形【分析】（1）先求出∠B=30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)CA＝CB，且∠ACB度數(shù)，求出∠A與∠B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到α＝∠APD，根據(jù)AP＝BC，利用ASA即可得證；（3）點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分別求出夾角α的大小即可．【詳解】解：（1）∵，，∴∠B=（180°120°）÷2=30°，∵，∴180°100°30°=50°，故答案是：50；（2）當AP＝5時，，理由為：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，又∵∠APC是△BPC的一個外角，∴∠APC＝∠B＋＝30°＋，∵∠APC＝∠DPC