專題08全等三角形證明方法一線三等角模型-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（北師大版）（原卷版）

專題08全等三角形證明方法——一線三等角模型基本模型：（1）條件：如圖，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C的一條直線，，E、F分別是直線上的兩點(diǎn)，且，，，結(jié)論：.（2）條件：如圖，直線經(jīng)過(guò)的外部，，E、F分別是直線上的兩點(diǎn)，且，，結(jié)論：①；②.（3）條件：如圖，，，，結(jié)論：①；②.

（4）條件：如圖，，，，結(jié)論：①；②.（5）條件：如圖，，，，，結(jié)論：.例題精講：例1．【一線三等角模型】如圖1：點(diǎn)A、B、C在一條直線上，，當(dāng)時(shí)，有．理由：∵，∴，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣請(qǐng)將全等證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【模型運(yùn)用】如圖2：，，，求的面積；【能力提升】如圖3：在等邊中，A，C分別為、邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，以為邊在內(nèi)作等邊，連接，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，的度數(shù)變化嗎？如不變請(qǐng)求出它的度數(shù)，如變化，請(qǐng)說(shuō)明它是怎樣變化的？

例2．在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①；②；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的等量關(guān)系．例3．如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），連接，作，交線段于點(diǎn)E．（1）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，求證：．例4．已知和，，．連接、，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)線段交于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)①請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例5．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，在直線l上方，．（1）如圖1，，過(guò)點(diǎn)B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：；（2）如圖2，D，A，E三點(diǎn)在直線l上，若（為任意銳角或鈍角），猜想線段、、有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作直線l上的垂線，垂足為F，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作，使得，連結(jié)，．直線l與交于點(diǎn)G．求證：G是的中點(diǎn)．

專練過(guò)關(guān)：1．如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點(diǎn)P在上，已知，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．2．如圖，在中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，若，，求的長(zhǎng)．3．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，先將三角板角的頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合，平放三角板，再繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，三角板角的兩邊分別與邊、交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，如圖（2）所示．求證：．4．如圖，把一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線上，在中，，，試回答下列問(wèn)題：（1）若把三角尺繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，度；（2）在三角尺繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，分別作于M，于N，若，，求．（3）三角尺繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則、與之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．已知：在中，，直線l過(guò)點(diǎn)A．（1）如圖1，，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線l的垂線段，，垂足分別為D，E．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)，作，點(diǎn)D，E在直線l上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．6．已知，在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且，（1）如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為，與的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段，與的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持，，點(diǎn)A在線段上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有，且滿足．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F為平分線上的一點(diǎn)，且，分別連接，，，，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

8．如圖所示，在中，，點(diǎn)D是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰．連接，且．（1）