2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元評估檢測二第四章文含解析北師大版

PAGE12-單元評估檢測(二)(第四章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.如圖,角α的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn),半徑為1)交于其次象限的點(diǎn)Pcosα,35,則cosA.15 B.-15 C.75【解析】選B.由隨意角三角函數(shù)的定義知sinα=35,又α是其次象限角,所以cosα=-1-sin因此cosα+sinα=-152.(2024·榆林模擬)若角α的終邊過點(diǎn)A(2,1),則sin32A.-255 C.55 D.【解析】選A.由三角函數(shù)定義,cosα=25=255,sin32π3.(2024·榆林模擬)函數(shù)f(x)=tanωx(ω>0)的圖像的相鄰兩支截直線y=2所得線段長為π2,則fπ6A.-3 B.33 C.1 D.【解析】選D.由題意可知該函數(shù)的周期為π2所以πω=π2,ω=2,f(x)=tan所以fπ6=tanπ3=4.(2024·全國卷Ⅰ)tan255°= ()A.-2-3 B.-2+3 C.2-3 D.2+3【解析】選D.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-5.(2024·威海模擬)函數(shù)y=sin2x+π3的圖像可由y=cos2xA.向左平移π12B.向右平移π12C.向左平移π6D.向右平移π6【解析】選B.y=sin2xcos2x+=cos2x-π12,所以把y=cos2x的圖像向右平移π12個單位,6.下列函數(shù)中,是周期函數(shù)且最小正周期為π的是 ()A.y=sinx+cosx B.y=sin2x-3cos2xC.y=cos|x| D.y=3sinx2cos【解析】選B.對于A,y=sinx+cosx=2sinx+π4的最小正周期是2π,不符合題意;對于B,y=sin2x-3cos2x=12(1-cos2x)-32(1+cos2x)=1-32-1+32cos2x的最小正周期是π,符合題意;對于C,y=cos|x|=cosx的最小正周期是2π,不符合題意;對于D,函數(shù)y=3sinx27.(2024·淮南模擬)已知sin2α=13,則cos2α-πA.-13 B.13 C.-23【解析】選D.cos2α-π4=1+cos2α-π22=12+12sin8.(2024·洛陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4),則sinα-A.-45 B.-35 C.35【解析】選C.因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4),所以sinα=45,cosα=3所以sinα-2=sinα+π2=cosα9.(2024·銅川模擬)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊.若bsinA=3csinB,a=3,cosB=23,則b= (A.14 B.6 C.14 D.【解析】選D.因?yàn)閎sinA=3csinB?ab=3bc?a=3c?c=1,所以b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×23=6,所以b=610.已知直線2x-y-1=0的傾斜角為α,則sin2α-2cos2α= ()A.25 B.-65 C.-45【解析】選A.由已知tanα=2,所以sin2α-2cos2α=2sinαcosα-2【變式備選】已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,則cos2α+1A.35B.-35C.-3【解析】選A.由sinα+3cosα3cosα-sinα=5得tanα+33-tanα=5,解得tanα=2,所以cos11.(2024·西安模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α,β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為35,45和-45,A.-2425 B.-725 C.0 【解析】選A.由三角函數(shù)定義得cosα=35,sinα=45,cosβ=-45,sinβ=35,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin12.函數(shù)f(x)=2x-sinx在區(qū)間[-10π,10π]上的零點(diǎn)的個數(shù)是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.10 B.20 C.30 【解析】選A.畫出函數(shù)y=2x和y=sinx的部分圖像,依據(jù)圖像可得函數(shù)f(x)=2x-sinx在區(qū)間[-10π,10π]上的零點(diǎn)的個數(shù)是10,所以選A.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.(2024·蚌埠模擬)化簡:sin235【解析】sin235°-1答案:-114.如圖,某人在山腳P處測得甲山山頂A的仰角為30°,乙山山頂B的仰角為45°,∠APB的大小為45°,山腳P到山頂A的直線距離為2km,在A處測得山頂B的仰角為30°,則乙山的高度為【解析】假設(shè)甲山底部為C,乙山底部為D,過A作AE⊥BD于點(diǎn)E.由題意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2所以AC=AP·sin30°=1(km),DE=AC=1設(shè)BD=hkm,則DP=BD=hkm,BE=(h-1)km,所以BP=2hkm.因?yàn)椤螧AE=30°,所以AB=2BE=(2h-2)km.在△ABP中,由余弦定理得:cos45°=AP2+BP2-AB2答案:215.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的平均氣溫最高,為28℃,12月份的平均氣溫最低,【解析】由已知,a=28+182=23,A=28-182=5,所以y=23+5cosπ6(x答案:20.516.(2024·安康模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,則sinB=,c=.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】由正弦定理asinA=得sinB=ba·sinA=27×32由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得7=4+c2-4c×cos60°,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).答案:217三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2024·嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)=sinxsin(x+φ),φ∈[0,π].(1)若fπ6=34,求φ(2)當(dāng)φ=3π4時(shí),求f(x)在區(qū)間0【解析】(1)fπ6=sinπ6sinπ6+φ=34,sinπ6+φ=32,由φ∈[0,(2)f(x)=22(sinxcosx-sin2=12sin2x+π4-24所以2x+π4∈π4,5π4,即sin2x+π18.(12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)閍>b,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=所以b的值為13,sinA的值為313(2)由(1)及a<c,得cosA=21313,所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+19.(12分)(2024·蕪湖模擬)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sin(A+C)=4sin2B2(1)求cosB.(2)若b=2,△ABC面積為2,求a+c的值.【解析】(1)由題設(shè)及A+B+C=π,得sinB=4sin2B2,所以sinB=2(1-cos上式兩邊平方,整理得5cos2B-8cosB+3=0,解得cosB=1(舍去),cosB=35(2)由cosB=35,得sinB=4又S△ABC=12acsinB=2,則由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=(a+c)2-16=4.所以a+c=25.(負(fù)值舍去)20.(12分)(2024·遵義模擬)已知銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2a-bc(1)求角C的大小.(2)求函數(shù)y=sinA+sinB的值域.【解析】(1)由2a-bc=cosBcosC及正弦定理得2sinAcosC-sin即2sinAcosC=sin(C+B)=sinA,因?yàn)閟inA≠0,所以cosC=12,因?yàn)镃∈0,π2,(2)y=sinA+sinB=sinA+sinπ-π3-A=sinA+32cosA+12sinA=3sinA+π6,因?yàn)锳+B=2π3,0<A<π2,0<B<π2,所以π6<A<π2,所以π3<A+π21.(12分)(2024·湖南師大附中模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=34,B=2A,b=3. (1)求a;(2)已知點(diǎn)M在邊BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面積.【解析】(1)由0<A<π,cosA=34,得sinA=74,所以sinB=sin2sinAcosA=2×74×34=378,(2)cosB=cos2A=2cos2A-1=2×342-1=18,在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得2c2-c-10=0,解得c=5S△ABC=12bcsinA=15因?yàn)镾△ACMS△ABM=|CM|所以S△ABM=511S△ABC=511×15722.(12分)如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)打算在濕地內(nèi)建立一個觀景臺P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角為120°的馬路(長度均超過2千米),在兩條馬路AB,AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M,N,從觀景臺P到M,N建立兩條觀光線路PM,PN,測得AM=2千米,AN=2(1)求線段MN的長度.(2)若∠MPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.【解題指南】(1)在△AMN中,利用余弦定理得到MN.(2)設(shè)∠PMN=α,得到∠PNM=120°-α,利用正弦定理將PM+PN用α表示,結(jié)合三角函數(shù)的有界性求最值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos120°=22+22-2×2×2×-1所以MN=23(2)設(shè)∠PMN=α,因?yàn)椤螹PN