2024屆河南省高考考前模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省2024屆高考考前模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知復(fù)數(shù)的模長為1，則的模長是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，又z2所以.故選：A.2.把函數(shù)fx=cos5x的圖象向左平移A.y=cos5x+1C.y=cos5x-1〖答案〗A〖解析〗由題意新函數(shù)〖解析〗式為y=cos故選：A．3.下面四個數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，即，所以，，故B，C錯誤；又，所以.故選：D.4.從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時，有種；數(shù)字為1，3，5時，有種；數(shù)字為2，3，4時，有種；數(shù)字為3，4，5時，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D.5.若等差數(shù)列的前n項和為S，且滿足，對任意正整數(shù)，都有則的值為（）A.21 B.22 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗依題意，，則，又，則，，等差數(shù)列的公差，因此數(shù)列單調(diào)遞減，，且，即任意正整數(shù)，恒成立，所以對任意正整數(shù)，都有成立的.故選：C.6.已知的內(nèi)角的對邊分別為若面積則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又由a2+b所以.所以所以，又因為在中，，所以.故選：A.7.橢圓的離心率為e，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）A.必在圓內(nèi) B.必在圓上C.必在圓外 D.與圓的關(guān)系與e有關(guān)〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題目條件有，e=ca由和是方程的兩個根，故由韋達定理得，x1x2=-c從而x=a這表明點Px1,x2一定在圓內(nèi)，A8.古希臘數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù).已知與交于點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系，由題意得，則，.因為，故，因為，所以（負值舍去），所以，故.又，則，因為，所以，解得，所以，故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.M=B.M=C.M=D.M=〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對于A，顯然，故A正確；對于B，M=x∣-1<x<1,N={x∣x>-1}，則M?N，故對于C，M=x∣x>0,N=y∣y>5，則，故C正確；對于D，M=x,y∣y=x則，故D正確.故選：ACD.10.如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對出人車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動桿與橫桿組成，為橫桿的兩個端點．在道閘抬起的過程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點為原點，水平方向為軸正方向建立平面直角坐標系．若點距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動桿的長度為1.6米，橫桿的長度為2米，繞點在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，與水平方向所成的角（）A.則點運動的軌跡方程為（其中）B.則點運動的軌跡方程為（其中）C.若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D.若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則點運動軌跡的長度為米〖答案〗BC〖解析〗對于A：點P的軌跡顯然是以O(shè)為原點，OP為半徑的圓，故點P運動軌跡方程為（其中），故A錯誤；對于B：設(shè)，因為PQ平行于x軸，所以，所以，又因為在加圓上，所以點Q的運動軌跡是以為圓心，1.6為半徑的圓，所以點Q的軌跡方程為（其中），故B正確；對于C：若OP繞點O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，橫桿PQ達到最高點，此時橫桿PQ距水平地面的高度為，故C正確；對于D：因為繞點O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，故繞點轉(zhuǎn)動的角度與點繞點轉(zhuǎn)動的角度一樣為，所以點Q運動軌跡的長度即為圓（其中）的弧長，等于，故D錯誤.故選：BC.11.同余關(guān)系是數(shù)論中的重要概念，在我國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中就對同余除法有了較深的研究.設(shè)a，b，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為.則下列選項中正確的是（）A.若，則B.C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗若，則或，故，故A正確；因為，所以被3除得的余數(shù)為1，56被除得的余數(shù)為2，故B錯誤；由得，由得，，被m除得余數(shù)為2，而被m除得的余數(shù)為3，故C錯誤；若，則，，，所以，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，則，取切點為，則斜率為，又，則切線方程為：，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.13.已知，，，，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，，∴，，∴．14.數(shù)學家高斯在各個領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時，他在他的著作《算術(shù)研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學?密碼學以及大數(shù)分解等各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對于正整數(shù)，若存在一個整數(shù)，使得整除，則稱是的一個二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個整數(shù)中隨機抽取一個整數(shù)，記事件與12互質(zhì)”，是12的二次非剩余”，則___________；___________.〖答案〗〖解析〗在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據(jù)定義，對于整數(shù)的x不存在，則a是12的二次非剩余數(shù)，顯然，當a=1時，x=11；當a=13時，x=7；當a=5，7，11，17，19時，x不存在；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.古希臘的數(shù)學家海倫在其著作《測地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：，這個公式常稱為海倫公式.其中，.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：，這個公式常稱為“三斜求積”公式.（1）利用以上信息，證明三角形的面積公式；（2）在中，，，求面積的最大值.解：（1）因為，即，可得，且，則，所以（2）因為，由題意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，面積，因為，當且僅當時，等號成立，則，所以面積的最大值為.16.已知為正實數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．（1）解：因為，所以，又因為，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知曲線在點處的切線方程為，所以，解得(負值舍去)，所以.（2）證明：由第1問可知，.要證，即要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以.17.如圖所示，四邊形為梯形，，，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個結(jié)論：如果兩個平面所成二面角為，其中一個平面內(nèi)的圖形在另一個平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學利用甲的這個結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點，使得．請你對乙同學發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行證明．（1）證明：如圖所示的等腰梯形中，過點，分別作，，垂足為，，則為矩形，，在中，，，所以，則，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可知平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則A3,0,0，，，，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，又平面的一個法向量為，所以，因，，所以，設(shè)平面與平面所成的角為，則，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在線段上存在點，使得.18.為保護森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機監(jiān)測器對指定區(qū)域進行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但監(jiān)測器認為有珍稀動物活動的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進行獨立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.（1）若.（i）在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到0.001）；（2）若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動物活動時，該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動物活動時，該區(qū)域確實沒有珍稀動物活動的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）記事件為“監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動”，事件為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動物活動”，（i）；（ii），則；（2），，由題意可得，即，令，，得，，故，，即，即，則，因為，所以，所以，故，即，所以，故.19.閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：（1）已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；（2）已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.解：（1）因為橢圓過點P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點P對應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點Q的坐標為(,)，因為點Q在直線上運動，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓，與點Q(,)對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因為定點T的坐標與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.當時，T是線段MN的中點，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當時，直線MN的方程為，即.河南省2024屆高考考前模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知復(fù)數(shù)的模長為1，則的模長是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，又z2所以.故選：A.2.把函數(shù)fx=cos5x的圖象向左平移A.y=cos5x+1C.y=cos5x-1〖答案〗A〖解析〗由題意新函數(shù)〖解析〗式為y=cos故選：A．3.下面四個數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，即，所以，，故B，C錯誤；又，所以.故選：D.4.從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時，有種；數(shù)字為1，3，5時，有種；數(shù)字為2，3，4時，有種；數(shù)字為3，4，5時，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D.5.若等差數(shù)列的前n項和為S，且滿足，對任意正整數(shù)，都有則的值為（）A.21 B.22 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗依題意，，則，又，則，，等差數(shù)列的公差，因此數(shù)列單調(diào)遞減，，且，即任意正整數(shù)，恒成立，所以對任意正整數(shù)，都有成立的.故選：C.6.已知的內(nèi)角的對邊分別為若面積則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又由a2+b所以.所以所以，又因為在中，，所以.故選：A.7.橢圓的離心率為e，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）A.必在圓內(nèi) B.必在圓上C.必在圓外 D.與圓的關(guān)系與e有關(guān)〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題目條件有，e=ca由和是方程的兩個根，故由韋達定理得，x1x2=-c從而x=a這表明點Px1,x2一定在圓內(nèi)，A8.古希臘數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù).已知與交于點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系，由題意得，則，.因為，故，因為，所以（負值舍去），所以，故.又，則，因為，所以，解得，所以，故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.M=B.M=C.M=D.M=〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對于A，顯然，故A正確；對于B，M=x∣-1<x<1,N={x∣x>-1}，則M?N，故對于C，M=x∣x>0,N=y∣y>5，則，故C正確；對于D，M=x,y∣y=x則，故D正確.故選：ACD.10.如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對出人車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動桿與橫桿組成，為橫桿的兩個端點．在道閘抬起的過程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點為原點，水平方向為軸正方向建立平面直角坐標系．若點距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動桿的長度為1.6米，橫桿的長度為2米，繞點在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，與水平方向所成的角（）A.則點運動的軌跡方程為（其中）B.則點運動的軌跡方程為（其中）C.若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D.若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則點運動軌跡的長度為米〖答案〗BC〖解析〗對于A：點P的軌跡顯然是以O(shè)為原點，OP為半徑的圓，故點P運動軌跡方程為（其中），故A錯誤；對于B：設(shè)，因為PQ平行于x軸，所以，所以，又因為在加圓上，所以點Q的運動軌跡是以為圓心，1.6為半徑的圓，所以點Q的軌跡方程為（其中），故B正確；對于C：若OP繞點O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，橫桿PQ達到最高點，此時橫桿PQ距水平地面的高度為，故C正確；對于D：因為繞點O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，故繞點轉(zhuǎn)動的角度與點繞點轉(zhuǎn)動的角度一樣為，所以點Q運動軌跡的長度即為圓（其中）的弧長，等于，故D錯誤.故選：BC.11.同余關(guān)系是數(shù)論中的重要概念，在我國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中就對同余除法有了較深的研究.設(shè)a，b，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為.則下列選項中正確的是（）A.若，則B.C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗若，則或，故，故A正確；因為，所以被3除得的余數(shù)為1，56被除得的余數(shù)為2，故B錯誤；由得，由得，，被m除得余數(shù)為2，而被m除得的余數(shù)為3，故C錯誤；若，則，，，所以，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，則，取切點為，則斜率為，又，則切線方程為：，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.13.已知，，，，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，，∴，，∴．14.數(shù)學家高斯在各個領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時，他在他的著作《算術(shù)研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學?密碼學以及大數(shù)分解等各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對于正整數(shù)，若存在一個整數(shù)，使得整除，則稱是的一個二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個整數(shù)中隨機抽取一個整數(shù)，記事件與12互質(zhì)”，是12的二次非剩余”，則___________；___________.〖答案〗〖解析〗在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據(jù)定義，對于整數(shù)的x不存在，則a是12的二次非剩余數(shù)，顯然，當a=1時，x=11；當a=13時，x=7；當a=5，7，11，17，19時，x不存在；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.古希臘的數(shù)學家海倫在其著作《測地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：，這個公式常稱為海倫公式.其中，.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：，這個公式常稱為“三斜求積”公式.（1）利用以上信息，證明三角形的面積公式；（2）在中，，，求面積的最大值.解：（1）因為，即，可得，且，則，所以（2）因為，由題意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，面積，因為，當且僅當時，等號成立，則，所以面積的最大值為.16.已知為正實數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．（1）解：因為，所以，又因為，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知曲線在點處的切線方程為，所以，解得(負值舍去)，所以.（2）證明：由第1問可知，.要證，即要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以.17.如圖所示，四邊形為梯形，，，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個結(jié)論：如果兩個平面所成二面角為，其中一個平面內(nèi)的圖形在另一個平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學利用甲的這個結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點，使得．請你對乙同學發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行證明．（1）證明：如圖所示的等腰梯形中，過點，分別作，，垂足為，，則為矩形，，在中，，，所以，則，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可知平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則A3,0,0，，，，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，又平面的一個法向量為，所以，因，，所以，設(shè)平面與平面所成的角為，則，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在線段上存在點，使得.18.為保護森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機監(jiān)測器對指定區(qū)域進行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但監(jiān)測器認為有珍稀動物活動的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進行獨立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.（1）若.（i）在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到0.001）；（2）若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動