2024屆廣東省深圳市高三下學期三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市2024屆高三下學期三模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，畫出圖，并將條件中的集合標在圖中，如圖，集合．故選：C．2.若復數(shù)的實部大于0，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，代入，得，解得：，所以.故選：D.3.已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（）A.、、三點共線 B.、、三點共線C.、、三點共線 D.、、三點共線〖答案〗C〖解析〗對A，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故A錯誤；對B，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故B錯誤；對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；對D，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故D錯誤.故選：C．4.已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列為等差數(shù)列，則（）A.10 B.40 C.100 D.103〖答案〗D〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以．故選：D.5.如圖，已知長方體的體積為是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中點，連接，易知，所以平面與交點為.設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則.平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為.故選：A.6.已知橢圓，直線與交于兩點，且．則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，記，設(shè)中點為，所以，由題意可知，中點是直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，另一方面，聯(lián)立，得．易知，由韋達定理得，解得，所以，故離心率．故選：B.7.某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（）A.2025種 B.4050種 C.8100種 D.16200種〖答案〗B〖解析〗先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，余下名男選手和名女選手各有種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，故共有．故選：B．8.設(shè)函數(shù)．若實數(shù)使得對任意恒成立，則（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，依題意，對任意的恒成立，即對恒成立，因此對恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.平行六面體中，各個表面的直角個數(shù)之和可能為（）A.0 B.4 C.8 D.16〖答案〗ACD〖解析〗平行六面體的六個面都是平行四邊形，且相對的平行四邊形全等，所以六個平行四邊形中的矩形個數(shù)可能為，所以各個表面的直角個數(shù)之和可能為.故選：ACD．10.已知函數(shù)有最小正零點，，若在上單調(diào)，則（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗，故，，故，故，，故或，當時，，，故，，，有最小正零點，，，，故，，故，，當，，函數(shù)不單調(diào)，排除；當時，，，故，，或，或，，故，，故，，驗證滿足條件，此時．綜上，AD錯誤，BC正確.故選：BC．11.如圖，三棱臺的底面為銳角三角形，點D，H，E分別為棱，，的中點，且，；側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺的體積最大值為，則下列說法可能但不一定正確的是（）A.該三棱臺的體積最小值為 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，，可得點的軌跡為橢圓，如圖則橢圓方程，由于則，又因為為銳角三角形，則且，所以，，所以，由于，所以，設(shè)，則，設(shè)三棱臺的高為，則，因為該三棱臺的體積最大值為，，所以，由于無最小值，故該三棱臺的體積無最小值，故A不正確；對于三棱臺有側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，則如圖，以為原點，在平面上作面，在面作面，則，設(shè)，則，，，所以，由于，，所以，又，故B可能正確；同理，又，故D可能正確；如圖，將三棱臺補成三棱錐，設(shè)點到平面的距離為，則，又，所以，故C一定正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，則，取切點為，則斜率為，又，則切線方程為：，即.13.兩個連續(xù)隨機變量X，Y滿足，且，若，則______．〖答案〗0.86〖解析〗因為，所以，因為，所以，即又，所以，，所以，所以.14.雙曲線的左右焦點分別為，，以實軸為直徑作圓O，過圓O上一點E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗2或〖解析〗記與漸近線的交點為，當一條漸近線斜率大于1時，根據(jù)題意，作圖如下：，，故；則在△中，設(shè)，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦點到直線的距離，即，又，故，則在圓上，即與圓相切；顯然，則，又，又，故可得，根據(jù)對稱性，，故，故三點共線，點是唯一的，根據(jù)題意，必為雙曲線右頂點；此時顯然有，故雙曲線離心率為；同理，當一條漸近線斜率大于0小于1時，必為，此時有一條漸近線的傾斜角為，離心率為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)列中，，，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．解：（1）因為，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項為，于是，則，，，，，所以，所以；而符合該式，故.（2）由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號，因為，所以當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；綜上，當時，；當時，.16.如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從數(shù)軸點1的位置出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，設(shè)每次向右移動的概率為．（1）當時，求后質(zhì)點移動到點0的位置的概率；（2）記后質(zhì)點的位置對應(yīng)的數(shù)為，若隨機變量的期望，求的取值范圍．解：（1）后質(zhì)點移動到點0的位置，則質(zhì)點向左移動了3次，向右移動了2次，所求概率為：．（2）所有可能的取值為，且，，，，由，解得，又因為，故的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點在上，點為的中點，且平面．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接交與點，連接，可得平面與平面的交線為，因為平面，平面，所以，又因為為的中點，所以點為的中點，取的中點，連接，可得且，又因為為的中點，可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，且平面，所以平面．（2）解：取的中點，連結(jié)，因為，可得，且，又因為，且，所以，所以，又因為，且平面，所以平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，因為為的中點，為的中點，可得，則，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以；設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知雙曲線經(jīng)過橢圓的左、右焦點，設(shè)的離心率分別為，且．（1）求的方程；（2）設(shè)為上一點，且在第一象限內(nèi)，若直線與交于兩點，直線與交于兩點，設(shè)的中點分別為，記直線的斜率為，當取最小值時，求點的坐標．解：（1）依題意可得，得，由，得，解得，故的方程為的方程為．（2）易知，設(shè)，直線的斜率分別為，則，，在，即有，可得為定值．設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得恒成立，設(shè)，則有，可求得，設(shè)直線的方程為：，同理可得，則由可得：，點在第一象限內(nèi)，故，當且僅當，即時取等號，而，故等號可以取到．即當取最小值時，，聯(lián)立，可解得，故的方程為：的方程為：，聯(lián)立可解得，即有．19.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．（1）根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；（2）由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明；（3）設(shè)，證明：．解：（1）令，則，，，，故，，，，，，由麥克勞林公式可得，故.（2）結(jié)論：，證明如下：令，令，故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，，即證得，即．（3）由（2）可得當時，，且由得，當且僅當時取等號，故當時，，，而，即有，故，而，即證得.廣東省深圳市2024屆高三下學期三模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，畫出圖，并將條件中的集合標在圖中，如圖，集合．故選：C．2.若復數(shù)的實部大于0，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，代入，得，解得：，所以.故選：D.3.已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（）A.、、三點共線 B.、、三點共線C.、、三點共線 D.、、三點共線〖答案〗C〖解析〗對A，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故A錯誤；對B，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故B錯誤；對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；對D，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故D錯誤.故選：C．4.已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列為等差數(shù)列，則（）A.10 B.40 C.100 D.103〖答案〗D〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以．故選：D.5.如圖，已知長方體的體積為是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中點，連接，易知，所以平面與交點為.設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則.平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為.故選：A.6.已知橢圓，直線與交于兩點，且．則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，記，設(shè)中點為，所以，由題意可知，中點是直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，另一方面，聯(lián)立，得．易知，由韋達定理得，解得，所以，故離心率．故選：B.7.某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（）A.2025種 B.4050種 C.8100種 D.16200種〖答案〗B〖解析〗先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，余下名男選手和名女選手各有種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，故共有．故選：B．8.設(shè)函數(shù)．若實數(shù)使得對任意恒成立，則（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，依題意，對任意的恒成立，即對恒成立，因此對恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.平行六面體中，各個表面的直角個數(shù)之和可能為（）A.0 B.4 C.8 D.16〖答案〗ACD〖解析〗平行六面體的六個面都是平行四邊形，且相對的平行四邊形全等，所以六個平行四邊形中的矩形個數(shù)可能為，所以各個表面的直角個數(shù)之和可能為.故選：ACD．10.已知函數(shù)有最小正零點，，若在上單調(diào)，則（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗，故，，故，故，，故或，當時，，，故，，，有最小正零點，，，，故，，故，，當，，函數(shù)不單調(diào)，排除；當時，，，故，，或，或，，故，，故，，驗證滿足條件，此時．綜上，AD錯誤，BC正確.故選：BC．11.如圖，三棱臺的底面為銳角三角形，點D，H，E分別為棱，，的中點，且，；側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺的體積最大值為，則下列說法可能但不一定正確的是（）A.該三棱臺的體積最小值為 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，，可得點的軌跡為橢圓，如圖則橢圓方程，由于則，又因為為銳角三角形，則且，所以，，所以，由于，所以，設(shè)，則，設(shè)三棱臺的高為，則，因為該三棱臺的體積最大值為，，所以，由于無最小值，故該三棱臺的體積無最小值，故A不正確；對于三棱臺有側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，則如圖，以為原點，在平面上作面，在面作面，則，設(shè)，則，，，所以，由于，，所以，又，故B可能正確；同理，又，故D可能正確；如圖，將三棱臺補成三棱錐，設(shè)點到平面的距離為，則，又，所以，故C一定正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，則，取切點為，則斜率為，又，則切線方程為：，即.13.兩個連續(xù)隨機變量X，Y滿足，且，若，則______．〖答案〗0.86〖解析〗因為，所以，因為，所以，即又，所以，，所以，所以.14.雙曲線的左右焦點分別為，，以實軸為直徑作圓O，過圓O上一點E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗2或〖解析〗記與漸近線的交點為，當一條漸近線斜率大于1時，根據(jù)題意，作圖如下：，，故；則在△中，設(shè)，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦點到直線的距離，即，又，故，則在圓上，即與圓相切；顯然，則，又，又，故可得，根據(jù)對稱性，，故，故三點共線，點是唯一的，根據(jù)題意，必為雙曲線右頂點；此時顯然有，故雙曲線離心率為；同理，當一條漸近線斜率大于0小于1時，必為，此時有一條漸近線的傾斜角為，離心率為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)列中，，，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．解：（1）因為，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項為，于是，則，，，，，所以，所以；而符合該式，故.（2）由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號，因為，所以當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；綜上，當時，；當時，.16.如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從數(shù)軸點1的位置出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，設(shè)每次向右移動的概率為．（1）當時，求后質(zhì)點移動到點0的位置的概率；（2）記后質(zhì)點的位置對應(yīng)的數(shù)為，若隨機變量的期望，求的取值范圍．解：（1）后質(zhì)點移動到點0的位置，則質(zhì)點向左移動了3次，向右移動了2次，所求概率為：．（2）所有可能的取值為，且，，，，由，解得，又因為，故的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點在上，點為的中點，且平面．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接交與點，連接，可得平面與平面的交線為，因為平面，平面，所以，又因為為的中點，所以點為的中點，取的中點，連接，可得且，又因為為的中點，可得