2024屆福建省南平市建陽區(qū)高三預(yù)測絕密卷模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市建陽區(qū)2024屆高三預(yù)測絕密卷模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故，所以在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第一象限.

故選：A．2.已知全集，集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，則或，由，得，所以，又，所以，解得．故選：D．3.已知為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由為直角三角形，及雙曲線的對稱性知，且，則的漸近線方程為，即，由的面積為4，得，解得，又，因此，所以的方程為.故選：B．4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故C，D項(xiàng)錯(cuò)誤；又，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，可得，解得，所以，可得，所以?dāng)時(shí)，取得最小值故選：D.6.某雕刻師在切割玉料時(shí)，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測得在此三棱錐中，側(cè)面底面，且，該雕刻師計(jì)劃將其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，所以，且，又?cè)面底面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，又，所以，因?yàn)?，所以．?dāng)球形玉珠為三棱錐的內(nèi)切球時(shí)，球形玉珠的直徑最大．設(shè)三棱錐的表面積為，內(nèi)切球的半徑為，則，又，，故，所以，所以磨成的球形玉珠的直徑的最大值為．故選：C.7.盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個(gè)球中有白球”，則（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗依題意得，，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，0，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，0恒成立，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以．即；設(shè)，而，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，即．綜上，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.2023年10月全國多地醫(yī)院出現(xiàn)較多的支原體肺炎感染患者，患者多以兒童為主．某研究所在某小學(xué)隨機(jī)抽取了46名兒童，得到他們是否接種流感疫苗和是否感染支原體肺炎的情況的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示，則（）感染情況接種情況感染支原體肺炎未感染支原體肺炎合計(jì)接種流感疫苗未接種流感疫苗合計(jì)46附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.B.C.認(rèn)為是否接種流感疫苗與是否感染支原體肺炎有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)的概率不大于0.1D.沒有充分的證據(jù)推斷是否接種流感疫苗與是否感染支原體肺炎有關(guān)聯(lián)〖答案〗AD〖解析〗由表中數(shù)據(jù)易得，對于A,．故A正確；對于B,，故B錯(cuò)誤；對于C，D，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷是否接種流感疫苗與是否感染支原體肺炎有關(guān)聯(lián)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．10.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件C.若不等式的解集為且，則的極小值為D.若是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則滿足，所以為奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則，則恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正確；對于B中，當(dāng)時(shí)，，可得，所以為增函數(shù)；由，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，，所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，若不等式的解集為且，則在上先增后減再增，則，解得，故，可得，令，解得或，當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞減；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，所以C正確．對于D中，由，因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，聯(lián)立方程組，可得，解得或，所以D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則（）A.若的圖象向右平移個(gè)單位長度后與的圖象重合，則的最小值為1B.若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為5C.若函數(shù)的最小正周期為，則D.當(dāng)時(shí)，若的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則方程有無窮多個(gè)解〖答案〗BC〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，，又，所以的最小值?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，，又，所以的最小值為，故B項(xiàng)正確.對于C項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期為，所以，解得，故C項(xiàng)正確.對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，方程.令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，所以（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，，即，無解.綜上，無解，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在展開式中，的系數(shù)為______．〖答案〗240〖解析〗，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，其中的展開式中不含的項(xiàng)，含的項(xiàng)為，所以的展開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為240．13.已知圓臺(tái)的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺(tái)的表面積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，故軸截面周長為，解得，所以上、下底面圓的面積分別為，圓臺(tái)側(cè)面積，所以圓臺(tái)的表面積為14.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會(huì)聚的作用，它經(jīng)常被用來制作精密的光學(xué)儀器的部件．橢球面鏡是以橢圓的長軸為旋轉(zhuǎn)軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)形成的立體圖形，其內(nèi)表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處．從橢球面鏡的焦點(diǎn)射出的兩條光線，經(jīng)橢球面鏡上的兩點(diǎn)反射后匯聚于焦點(diǎn)，若，且，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離心率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，短軸長為，則，由橢圓的定義得，所以，因?yàn)?，所以，又，所以為橢圓的短軸端點(diǎn)．設(shè)為橢圓的中心，因?yàn)?，所以，又在Rt中，，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某大型商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場對天氣溫度和飲料的銷售量進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：1015202530354041664256204840968192經(jīng)分析，可以用作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；（2）若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺(tái)飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為，在商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺(tái)，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.解：（1）設(shè)，由，可得，因?yàn)?，，，所以，由表中的?shù)據(jù)可得，則，所以，則，可得，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，可得，，，，所以變量的分布列為3456P所以，期望為16.如圖，在四棱錐中，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：因?yàn)?，，所以，，所以，，又，所以四邊形為菱形，所以，，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，故四邊形為正方?不妨設(shè)正方形的邊長為2，的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又平面，又平面平面，且平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且，，由，得，即，解得，，，所以，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，可取.設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，解得或（舍去），所以在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且.17.已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切．（1）求的方程；（2）點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別與交于兩點(diǎn)，求面積的最小值．解：（1）因?yàn)闇?zhǔn)線與圓相切，所以，即，所以的方程為；（2）由（1）知準(zhǔn)線的方程為，因?yàn)?，所以直線的斜率均存在，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，由題意得，設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為則，化簡得，，則，所以．，又，所以，令，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，故面積的最小值為．18.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的根．(i)求的取值范圍；(ii)證明：．解：（1）由題意得，，則，由，解得．顯然，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．（2）（i）由，得，設(shè)，由(1)得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的根，故的取值范圍是．（ii）不妨設(shè)，則，且．解法一：當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，．設(shè)則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，故，所以，得證．解法二：設(shè)，，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以，即．又，所以，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．所以，即，又，所以，得證．19.對于，，不是10的整數(shù)倍，且，則稱為級十全十美數(shù).已知數(shù)列滿足：，，.（1）若為等比數(shù)列，求；（2）求在，，，…，中，3級十全十美數(shù)的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)的公比為，則，即，由，可得，解得或，所以或.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的個(gè)位數(shù)為1或9，的個(gè)位數(shù)不可能為0；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，要想末尾3個(gè)數(shù)字為0，需滿足被整除，當(dāng)時(shí)，均不符合題意；當(dāng)時(shí)，，自，以后各項(xiàng)均可被125整除，故只需考慮能否被125整除，其中不是5的倍數(shù)，故若原式能被整除，需為偶數(shù)且能被整除，即需是50的倍數(shù)，在1，2，3，…，2024中，50的倍數(shù)有40個(gè)：50，100，150，…，2000，故在，，…，中，3級十全十美數(shù)的個(gè)數(shù)為40.福建省南平市建陽區(qū)2024屆高三預(yù)測絕密卷模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故，所以在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第一象限.

故選：A．2.已知全集，集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，則或，由，得，所以，又，所以，解得．故選：D．3.已知為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由為直角三角形，及雙曲線的對稱性知，且，則的漸近線方程為，即，由的面積為4，得，解得，又，因此，所以的方程為.故選：B．4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故C，D項(xiàng)錯(cuò)誤；又，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，可得，解得，所以，可得，所以?dāng)時(shí)，取得最小值故選：D.6.某雕刻師在切割玉料時(shí)，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測得在此三棱錐中，側(cè)面底面，且，該雕刻師計(jì)劃將其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，所以，且，又?cè)面底面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，又，所以，因?yàn)?，所以．?dāng)球形玉珠為三棱錐的內(nèi)切球時(shí)，球形玉珠的直徑最大．設(shè)三棱錐的表面積為，內(nèi)切球的半徑為，則，又，，故，所以，所以磨成的球形玉珠的直徑的最大值為．故選：C.7.盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個(gè)球中有白球”，則（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗依題意得，，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，0，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，0恒成立，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以．即；設(shè)，而，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，即．綜上，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.2023年10月全國多地醫(yī)院出現(xiàn)較多的支原體肺炎感染患者，患者多以兒童為主．某研究所在某小學(xué)隨機(jī)抽取了46名兒童，得到他們是否接種流感疫苗和是否感染支原體肺炎的情況的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示，則（）感染情況接種情況感染支原體肺炎未感染支原體肺炎合計(jì)接種流感疫苗未接種流感疫苗合計(jì)46附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.B.C.認(rèn)為是否接種流感疫苗與是否感染支原體肺炎有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)的概率不大于0.1D.沒有充分的證據(jù)推斷是否接種流感疫苗與是否感染支原體肺炎有關(guān)聯(lián)〖答案〗AD〖解析〗由表中數(shù)據(jù)易得，對于A,．故A正確；對于B,，故B錯(cuò)誤；對于C，D，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷是否接種流感疫苗與是否感染支原體肺炎有關(guān)聯(lián)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．10.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件C.若不等式的解集為且，則的極小值為D.若是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則滿足，所以為奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則，則恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正確；對于B中，當(dāng)時(shí)，，可得，所以為增函數(shù)；由，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，，所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，若不等式的解集為且，則在上先增后減再增，則，解得，故，可得，令，解得或，當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞減；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，所以C正確．對于D中，由，因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，聯(lián)立方程組，可得，解得或，所以D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則（）A.若的圖象向右平移個(gè)單位長度后與的圖象重合，則的最小值為1B.若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為5C.若函數(shù)的最小正周期為，則D.當(dāng)時(shí)，若的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則方程有無窮多個(gè)解〖答案〗BC〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，，又，所以的最小值?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，，又，所以的最小值為，故B項(xiàng)正確.對于C項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期為，所以，解得，故C項(xiàng)正確.對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，方程.令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，所以（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，，即，無解.綜上，無解，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在展開式中，的系數(shù)為______．〖答案〗240〖解析〗，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，其中的展開式中不含的項(xiàng)，含的項(xiàng)為，所以的展開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為240．13.已知圓臺(tái)的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺(tái)的表面積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，故軸截面周長為，解得，所以上、下底面圓的面積分別為，圓臺(tái)側(cè)面積，所以圓臺(tái)的表面積為14.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會(huì)聚的作用，它經(jīng)常被用來制作精密的光學(xué)儀器的部件．橢球面鏡是以橢圓的長軸為旋轉(zhuǎn)軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)形成的立體圖形，其內(nèi)表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處．從橢球面鏡的焦點(diǎn)射出的兩條光線，經(jīng)橢球面鏡上的兩點(diǎn)反射后匯聚于焦點(diǎn)，若，且，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離心率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，短軸長為，則，由橢圓的定義得，所以，因?yàn)?，所以，又，所以為橢圓的短軸端點(diǎn)．設(shè)為橢圓的中心，因?yàn)椋?，又在Rt中，，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某大型商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場對天氣溫度和飲料的銷售量進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：1015202530354041664256204840968192經(jīng)分析，可以用作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；（2）若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺(tái)飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為，在商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺(tái)，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.解：（1）設(shè)，由，可得，因?yàn)?，，，所以，由表中的?shù)據(jù)可得，則，所以，則，可得，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，可得，，，，所以變量的分布列為3456P所以，期望為16.如圖，在四棱錐中，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：因?yàn)?，，所以，，所以，，又，所以四邊形為菱形，所以，，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，故四邊形為正方?不妨設(shè)正方形的邊長為2，的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又平面，又平面平面，且平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且，，由，得，即，解得，，，所以，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，可取.設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，解得或（舍去），所以在棱上存在