黑龍江省哈爾濱六中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱六中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.122．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件3．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.4．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則的通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.5．已知直線l：過橢圓的左焦點(diǎn)F，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q為線段PF的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.47．已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.8．已知橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.9．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.810．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.11．若在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.12．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對(duì)任意， D.對(duì)任意，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為___________.14．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長為2，該圓柱的表面積為.15．橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.16．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)的和為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）要設(shè)計(jì)一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計(jì)才能使得總成本最低？18．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）21．（12分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和22．（10分）隨著生活條件的改善，人們健身意識(shí)的增強(qiáng)，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價(jià)可以獲得最大利潤，現(xiàn)對(duì)這種健身器械進(jìn)行試銷售.統(tǒng)計(jì)后得到其單價(jià)x（單位：百元）與銷量y（單位：個(gè)）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：單價(jià)x（百元/個(gè)）3035404550日銷售量y（個(gè)）1401301109080（1）已知銷量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每個(gè)健身器械的成本為25百元，試銷售結(jié)束后，請(qǐng)利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價(jià)為多少百元時(shí)，銷售利潤最大？（結(jié)果保留到整數(shù)），附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個(gè)正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B2、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.3、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯(cuò)誤；若，則，與題意矛盾，故C錯(cuò)誤；若，則，符合題意.故選：D.5、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結(jié)合，可推得是等邊三角形，可得，計(jì)算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：6、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B7、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯(cuò)誤.故選：C.8、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B9、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.10、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.11、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線的一個(gè)方向向量故選：D12、D【解析】特稱命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，即可知正確答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，知：原命題的否定為：對(duì)任意，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過F作，利用點(diǎn)到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.14、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.15、【解析】根據(jù)橢圓定義求出其長半軸長，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】因橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則該橢圓長半軸長，而半焦距，于是得短半軸長b，有，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：16、-3033【解析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項(xiàng)法求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-3033三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進(jìn)而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時(shí)成本最小.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價(jià)為元，由題意得：，則，表面積造價(jià)，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.18、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出a的值；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可由函數(shù)的變化情況可知，要函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，只要函數(shù)在內(nèi)的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式組可得答案【詳解】解：（1）在處取得極值，∴，∴．經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，在處取得極值（2）由（1）知，∴極值點(diǎn)為2，.將x，，在內(nèi)的取值列表如下：x024/-0+/b極小值由此可得，在內(nèi)有零點(diǎn)，只需∴19、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項(xiàng)公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個(gè)區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個(gè)區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個(gè)區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個(gè)區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為.21、（1）或（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等