江西省新干縣第二中學等四校2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

江西省新干縣第二中學等四校2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.52．拋物線的準線方程是（）A. B.C. D.3．命題“”為真命題一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.4．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.105．等差數列中，，，則（）A.1 B.2C.3 D.46．設數列、都是等差數列，若，則等于（）A. B.C. D.7．設，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.8．若，則（）A.1 B.2C.3 D.49．記等差數列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.4110．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.11．函數是偶函數且在上單調遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.12．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線m，n，直線m與橢圓交于A，B兩點，直線n與橢圓交于C，D兩點，若．則下列方程①；②；③；④．其中可以作為直線AB的方程的是______（寫出所有正確答案的序號）14．若圓心坐標為圓被直線截得的弦長為，則圓的半徑為______.15．設空間向量，且，則___________.16．已知等比數列的前項和為，若，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構通過調查，從參與調查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，求X的分布列和數學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（12分）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值19．（12分）已知直線，，，其中與交點為P（1）求過點P且與平行的直線方程；（2）求以點P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程20．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點D到平面EMC的距離21．（12分）已知為各項均為正數的等比數列，且，（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列前n項和22．（10分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關系，并證明你的結論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.2、D【解析】將拋物線的方程化為標準方程，可得出該拋物線的準線方程.【詳解】拋物線的標準方程為，則，可得，因此，該拋物線的準線方程為.故選：D.3、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項B符合題意故選：B4、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項5、B【解析】根據給定條件利用等差數列性質直接計算作答.【詳解】在等差數列中，因，，而，于是得，解得，所以.故選：B6、A【解析】設等差數列的公差為，根據數列是等差數列可求得，由此可得出，進而可求得所求代數式的值.【詳解】設等差數列的公差為，即，由于數列也為等差數列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數列為常數列，對任意的，，因此，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數列基本量的求解，通過等差數列定義列等式求解公差是解題的關鍵，另外，在求解有關等差數列基本問題時，可充分利用等差數列的定義以及等差中項法來求解.7、C【解析】根據直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經檢驗，滿足題意.故選：C8、C【解析】由二項分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.9、A【解析】設等差數列的公差為d，首先根據題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設等差數列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.10、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D11、D【解析】分析可知函數在上為增函數，且有，將所求不等式變形為，可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為函數是偶函數且在上單調遞減，則該函數在上為增函數，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.12、A【解析】由三角函數的單調性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當時，利用正弦函數的單調性知；當時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數性質，意在考查基本判斷方法，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】①②結合橢圓方程得到與橢圓參數的關系，即可判斷；③④聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求，即可判斷.【詳解】由題設，且右焦點為，①時直線，故，則符合題設；②時，同①知：符合題設；③時直線，聯(lián)立直線AB與橢圓方程并整理得：，則，同理可得，則，不合題設；④時，同③分析知：，不合題設；故答案為：①②.14、【解析】利用垂徑定理計算即可.【詳解】設圓的半徑為，則，得.故答案為：.15、1【解析】根據，由求解.【詳解】因為向量，且，所以，即，解得.故答案為：116、【解析】設等比數列的公比為，根據已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應的概率，從而得到分布列與數學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關.【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、、、，由得點的坐標為，，，因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問2詳解】解：設，則，，因為平面，所以，所以，得，且，即，所以，，設平面的法向量為，由，取，可得，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為19、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交點坐標，根據的斜率，應用點斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據弦心距、弦長、半徑的關系求圓的半徑，結合P的坐標寫出圓的方程.【小問1詳解】聯(lián)立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，∴所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為平面，所以，所以平面，因為平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因為平面，面，所以平面平面，平面平面,過點作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點D到平面EMC的距離為.考點：直線與平面的位置關系及運用【易錯點晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點到直線的距離問題．解答時,證明問題務必要依據判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行,敘述時一定要交代面外的線和面內的線,這是許多學生容易忽視的問題,也高考閱卷時最容易扣分的地方,因此在表達時一定要引起注意21、（1）（2）【解析】(1)利用基本量法，求出首項和公比，即可求解.(2)利用錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】設等比數列公比為【小問2詳解】22、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結合