數(shù)學(xué)同步測控：常用曲線的極坐標(biāo)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基,我達(dá)標(biāo)1。在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=4cos（θ—)關(guān)于（）A.直線θ=對稱B。直線θ=對稱C。點(diǎn)（2，）中心對稱D。極點(diǎn)中心對稱解析：由曲線方程知，它是以（2，)為圓心，2為半徑的圓。所以C正確.答案：C2。下列方程各表示什么曲線？（1）y=a，答_______________；（2)ρ=a，答_______________；(3)θ=α,答_______________.解析：方程表示什么樣的曲線,主要看清楚方程的形式，找到方程中的變量之間的關(guān)系。當(dāng)然,我們首先得熟悉直角坐標(biāo)系下的特殊曲線方程。(1)在直角坐標(biāo)系下,y=a表示與x軸平行或重合的直線；(2)在極坐標(biāo)系下,ρ=a表示圓心在極點(diǎn)，半徑為a的圓；(3）在極坐標(biāo)系下,θ=α表示過極點(diǎn)，傾斜角為α的射線.答案：(1）與x軸平行的直線（2）圓心在極點(diǎn)，半徑為a的圓（3）過極點(diǎn)且傾斜角為α的射線3。在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsinθ=3,則點(diǎn)(2，）到直線l的距離為_______________解析：l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=3，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為y=3。點(diǎn)（2,）的直角坐標(biāo)為(，1).∴點(diǎn)（2,）到l的距離為2。答案：24。畫出極坐標(biāo)方程為（θ-)ρ+（—θ）sinθ=0的圖形.解析：若所給曲線的極坐標(biāo)方程比較復(fù)雜時,可將其方程分解因式，分解成幾個常見曲線方程連乘積的形式，然后分別作出圖形，合并在一起即為所求方程的曲線。解:將原方程分解因式，得(θ—）（ρ-sinθ）=0,∴θ-=0或ρ-sinθ=0。θ=時，為一條射線；ρ-sinθ=0時，為一個圓（如圖）。5.求出下列直線的極坐標(biāo)方程.（1）過兩個定點(diǎn)P1（ρ1,θ1）和P2（ρ2,θ2）;（2)過定點(diǎn)M（ρ0，θ0），關(guān)于極軸的傾角為α;(3)過定點(diǎn)M（ρ0,θ0），且與直線θ=θ0垂直。思路分析：在所給直線上任取一點(diǎn)P（ρ,θ），建立關(guān)于ρ、θ的一個方程即可。解：（1）若θ1=θ2+nπ，則P1、P2與極點(diǎn)共線，方程為θ=θ1；現(xiàn)設(shè)θ1≠θ2+nπ（n∈Z），P（ρ,θ)為直線P1P2上任意一點(diǎn)（如圖），則S△OP2P1=S△OPP1+S△P2PO，即ρ1ρ2sin（θ1-θ2)=ρ1ρsin(θ1-θ)+ρ2ρsin（θ-θ2)。由于θ1≠θ2+nπ（n∈Z)，則直線不過極點(diǎn)，即ρρ1ρ2≠0，故（2)設(shè)P（ρ,θ）為直線上任意一點(diǎn)（如圖），且記∠OPM=∠1，∠OMP=∠2，則∠1=α—θ，∠2=π—（α-θ0）。在△OMP中應(yīng)用正弦定理，有，即ρ=ρ0·=ρ0·，即直線方程為ρsin(θ-α）=ρ0sin（θ0—α)。（3)設(shè)P（ρ，θ）為直線上任意一點(diǎn)（如圖)，由△OMP為直角三角形,顯然有ρcos（θ—θ0)=ρ0。這就是所求的直線方程.6.求圓心在點(diǎn)(a，)處且過極點(diǎn)的圓的方程。思路分析：∵ρ=a,θ0=,又∵r=a,∴可以直接代入圓的極坐標(biāo)方程，也可以數(shù)形結(jié)合求圓的方程。解：如圖,OP⊥Ox于點(diǎn)P,在圓上任取一點(diǎn)M(ρ,θ),連結(jié)OM和MP,則OM⊥MP。在Rt△OMP中,ρ=2acos（—θ）=2asinθ,故該圓的方程為ρ=2asinθ,0≤θ≤π。7。已知雙曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=，過極點(diǎn)作直線與它交于A、B兩點(diǎn)，且｜AB|=6，求直線AB的極坐標(biāo)方程.思路分析：直線和圓錐曲線的相交問題，通常采用設(shè)而不求的方法優(yōu)化解題過程，即設(shè)出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo),根據(jù)內(nèi)在聯(lián)系解決問題。解：設(shè)直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=θ1,則A（ρ1，θ1)，B(ρ2,θ1+π），ρ1=,ρ2=?！鄚AB|=｜ρ1+ρ2｜=|｜=｜｜.∴=±6.∴cosθ1=0或cosθ1=±.故直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=,或θ=,θ=.我綜合，我發(fā)展8。極坐標(biāo)方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個圓的圓心距是（)A.2B。C。1D.解析：本題有兩種解法.第一種解法直接在極坐標(biāo)系中，根據(jù)給定的方程判斷出兩圓心的極坐標(biāo)分別是（，0)和(，），這兩點(diǎn)間的距離是。第二種解法是將方程化為直角坐標(biāo)方程,因為ρ不恒為0,可以用ρ分別乘方程兩邊，得ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ,極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程為x2+y2=x和x2+y2=y，它們的圓心分別是(，0)，（0,)，圓心距是.答案:D9.兩條直線ρcos（θ—α）=a與ρsin（θ—α）=a的位置關(guān)系是（θ為極角，α為常量）()A。平行B。垂直C。重合D。平行或重合解析：可以化為直角坐標(biāo)方程,然后判斷位置關(guān)系。答案：B10。直線ρcosθ=2關(guān)于直線θ=對稱的直線方程為（）A.ρcosθ=—2B.ρsinθ=2C。ρsinθ=—2解析：數(shù)形結(jié)合，直線ρcosθ=2表示過（2，0）且與極軸垂直的直線;θ=表示一、三象限的角平分線.答案：B11。直線ρ=與圓ρ=2c·cosθ（c〉0）相切的條件是______________。解析：先化成直角坐標(biāo)方程,然后由圓心到直線的距離等于半徑，得出結(jié)論.答案:b2c2+2ac12.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+）=，求證：極點(diǎn)到直線l的距離是。思路分析:數(shù)形結(jié)合，由直線的極坐標(biāo)方程的意義得出結(jié)論.證明：已知直線l：ρsin（θ+）=可看作是直線l′：ρsinθ=繞極點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，因此極點(diǎn)到直線l的距離等于極點(diǎn)到直線l′的距離。而極點(diǎn)到直線l′的距離為,所以極點(diǎn)到直線l的距離為。我創(chuàng)新，我超越13。點(diǎn)A、B在橢圓上，O為原點(diǎn)，OA⊥OB.(1)求證:為定值；（2）求△AOB面積的最大值和最小值.思路分析:此題看起來與極坐標(biāo)方程沒有什么關(guān)系，但是當(dāng)我們把橢圓方程化為極坐標(biāo)方程后，可以發(fā)現(xiàn)OA與OB長度的關(guān)系就很容易找到了；在△AOB中利用正弦定理的面積公式我們也容易找到其面積的最大值和最小值.（1）證明：橢圓長半軸為a，短半軸為b，以O(shè)為極點(diǎn)，長軸一端與點(diǎn)O的射線為極軸，建立坐標(biāo)系。將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入橢圓方程，得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,∴=====,即.設(shè)點(diǎn)A的極角為α,則點(diǎn)B的極角為+α,且|OA|=ρ1,|OB｜=ρ2,∴===.∴+=為定值.(2）解:設(shè)A的極坐標(biāo)為（ρ1,α），則B（ρ2，α+)，點(diǎn)A、B滿足方程=，,∵OA⊥OB,∴S△OAB=ρ1ρ2。而=這里ρ1ρ2與同時取得最大值和最小值。故當(dāng)sin2θ=0時,有最大值，ρ1ρ2有最大值,（S△OAB）max=;當(dāng)sin2θ=±1時，有最小值，ρ1ρ2有最小值，（S△OAB)min=。14.在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng),據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O（如右圖）的東偏南θ（θ=arccos）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動。臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大.問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？（試用極坐標(biāo)的思想解決）思路分析：這道題的解決方法，我們大部分同學(xué)都是建立直角坐標(biāo)系來求解的。利用兩點(diǎn)間的距離公式,使得城市與臺風(fēng)中心的距離小于等于圓形區(qū)域半徑,該城市受到臺風(fēng)的侵襲，從而建立不等式，求出侵襲的時間。該題的求解還可以采用極坐標(biāo)方程來進(jìn)行。我們只要準(zhǔn)確把握基本概念,較容易得出結(jié)果。只要極徑小于或等于圓形區(qū)域的半徑，建立不等式,也可以求出臺風(fēng)侵襲的時間來。解：如圖,建立極坐標(biāo)系,以O(shè)為原點(diǎn),正東方向為x軸正向。此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(300,-θ),當(dāng)臺風(fēng)以20km/h的速度向西偏北45°方向移動時，臺風(fēng)中心點(diǎn)的極徑長設(shè)為ρ,若在t時刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲,則有ρ≤r(t),其中r(t)=10t+60。又在△OP