數學同步測控：參數方程中曲線欣賞-平擺線、圓的漸開線

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基，我達標1.關于漸開線和擺線的敘述，正確的是(）A。只有圓才有漸開線B。漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才能得到不同的圖形C。正方形也可以有漸開線D。對于同一個圓，如果建立的直角坐標系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同解析：本題主要考查漸開線和擺線的基本概念．不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線,漸開線和擺線的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實質是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同．對于同一個圓不論在什么地方建立直角坐標系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同．答案：C2。給出下列說法:①圓的漸開線的參數方程不能轉化為普通方程；②圓的漸開線也可以轉化為普通方程，但是轉化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標之間的關系，所以常使用參數方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的擺線和漸開線方程時,如果建立的坐標系原點和坐標軸選取不同，可能會得到不同的參數方程;④圓的漸開線和x軸一定有交點而且是惟一的交點．其中正確的說法有(）A.①③B。②④C.②③D。①③④解析:本題主要考查漸開線和擺線的有關概念和參數方程的問題．對于一個圓,只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇體系的不同，其在坐標系中的位置也會不同，相應的參數方程也會有所區(qū)別，至于漸開線和坐標軸的交點要看選取的坐標系的位置．答案：C3。已知圓的漸開線的參數方程是（θ為參數)，則此漸開線對應的基圓的直徑是___________，當參數θ＝時，對應的曲線上的點的坐標為_____________。解析：圓的漸開線的參數方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2．求當θ=時對應的坐標只需把θ=代入曲線的參數方程，得x＝＋,y＝－，由此可得對應的坐標為（＋，－).答案：2（＋，－）4。已知一個圓的擺線方程是（θ為參數），求該圓的面積和對應的圓的漸開線的參數方程.思路分析:首先根據所給出的擺線方程判斷出圓的半徑為4，易得圓的面積,再代入漸開線的參數方程的標準形式即可得圓的漸開線的參數方程。解:首先根據漸開線的參數方程可知圓的半徑為4，所以面積是16π，該圓對應的漸開線的參數方程是(θ為參數）.5。已知圓C的參數方程是(α為參數，α∈[0,2π））和直線l對應的普通方程是x—y—=0。(1）如果把圓心平移到原點O，請問平移后圓和直線是什么關系？(2）寫出平移后圓的擺線方程.（3)求擺線和x軸的交點.思路分析:首先根據條件，可知圓的半徑是6，平移后的圓心為O（0，0），根據圓心O到直線的距離可以判斷出直線和圓的位置關系．再由圓的半徑寫出圓的擺線方程．求擺線和x軸的交點只需令y＝0，求出對應的參數θ，再代入求出x值。解：（1)圓C平移后圓心為O（0，0），它到直線x-y-6=0的距離為d=＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的．(2)由于圓的半徑是6，所以可得擺線方程是（θ為參數)．(3）令y＝0,得6—6cosθ＝0cosθ=1，所以θ＝2kπ（k∈Z).代入x=6θ—6sinθ，得x=12kπ（k∈Z），即圓的擺線和x軸的交點為（12kπ，0）(k∈Z）。我綜合，我發(fā)展6.已知一個圓的參數方程為(θ為參數，θ∈［0，2π））,那么圓的擺線方程中與參數θ＝對應的點A與點B（，2）之間的距離為（）A.—1B.C.D。解析:根據圓的參數方程，可知圓的半徑為3，那么它的擺線的參數方程為（θ為參數）,把θ＝代入參數方程中可得即A（3（-1），3),∴｜AB｜＝。答案：C7。如圖，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE、EF、FG、GH、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接,則曲線AEFGH的長是（）A。3πB.4πC.5πD。6π解析：根據漸開線的定義，可知是半徑為１的圓周長，長度為；繼續(xù)旋轉可得是半徑為２的圓周長，長度為π；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為４的圓周長,長度為2π。所以，曲線AEFGH的長是5π。答案：C8。漸開線（θ為參數）的基圓的圓心在原點，把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）,得到的曲線的焦點坐標為_____________.解析:根據圓的漸開線方程,可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2+y2＝36，把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）,得到的曲線的方程為(x)2+y2＝36,整理可得＝1，這是一個焦點在x軸上的橢圓．c=，故焦點坐標為（6，0)和(-6，0）.答案：（6，0）和(-6，0)9.我們知道關于直線y＝x對稱的兩個函數互為反函數,則圓的擺線（θ為參數）關于直線y＝x對稱的曲線的參數方程為____________。解析：關于直線y＝x對稱的函數互為反函數，而求反函數的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換．所以,要寫出擺線方程關于直線y＝x的對稱曲線方程，只需把其中的x與y互換即可。答案:（θ為參數）10。求擺線(０≤t≤2π)與直線y＝２的交點的直角坐標。思路分析:本題考查交點坐標的求法,可利用代入法求解．解:當y＝2時,有2（1-cost)＝2，∴cost＝０.又０≤t≤2π，∴t＝或t＝.當t＝時,x＝π－２；當t＝時，x＝3π+2.∴擺線與直線y＝２的交點為(，π—2），（，3π+2）。我創(chuàng)新，我超越11。星形線的參數方程一軸承的剖面如圖所示,小圓表示滾球,半徑為r,大圓表示軸瓦，半徑為a＝4r。設想大圓固定,而小圓在大圓內無滑動地滾動．小圓上的一定點M在運動中的軌跡為一條曲線，稱為星形線．試推導它的參數方程。思路分析：解實際應用題，一般先建立適當的坐標系，然后根據條件轉化為數學問題。解：取大圓圓心為坐標原點，設小圓的定點M開始時位于點A處,x軸正方向為向量的方向。小圓滾動α角后，圓心在C點,與大圓切點為B,小圓上的定點M的位置如題圖所示．因為是無滑動的滾動，所以＝。記θ＝∠AOB,由＝rα，＝aθ＝4rθ得rα＝4rθ。由此知α＝４θ。作CD平行于x軸，則∠BCD＝θ，得∠DCM＝∠BCM－∠BCD＝α－θ＝3θ。由此知CM與x軸正向形成的任意角為—3θ.由｜OC｜＝a－r＝3r，用向量的坐標表達式，得＝（3rcosθ，3rsinθ)，＝（rcos（—3θ）,rsin(—3θ））＝(rcos3θ，-rsin3θ）。因此有＝（3rcosθ＋rcos3θ，3rsinθ—rsin3θ)。用三角函數的三倍角公式cos3θ＝4cos3θ-3cosθ，