數學同步測控：參數方程的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基，我達標1.已知動圓x2+y2-2axcosθ—2bysinθ=0（a、b是正常數，且a≠b，θ為參數，θ∈［0，2π）），則圓心的軌跡是（）A．直線B．圓C．拋物線的一部分D．橢圓解析：把圓的方程化為標準方程：(x—acosθ)2+(y—bsinθ）2=a2cos2θ+b2sin2θ，其圓心坐標為（acosθ，bsinθ），于是動圓圓心的軌跡方程為消去參數θ,可得＝1，軌跡為橢圓．答案：D2。直線（t為參數)和圓x2+y2=16交于A、B兩點，則AB的中點坐標為（)A．(3,-3）B．（—,3)C．（,-3）D．（3，-)解析：(1+t）2+（-3+t)2=16，得t2—8t+12=0.∴t1+t2=8,=4,中點為即答案：D3。過點（1，1),傾斜角為135°的直線截橢圓所得的弦長為（）A。B。C。D。解析：由題意，可設直線的參數方程為代入橢圓方程中，整理得到5t2+6t＋1＝0，｜t1-t2|=，故所求弦長為|t1—t2|=．答案：B4.拋物線x2-2y-2mx+m2＋２＝6m的頂點的軌跡方程是_______________．解析：拋物線方程可化為(x-m）2=2(y+3m-1），設其頂點坐標為（x，y），則滿足消去參數m，可得y=—3x+1，即3x+y－１＝0．答案：3x+y－１＝05.求橢圓的內接矩形的最大面積．思路分析：恰當選擇參變量,把橢圓內接矩形面積用參數表示出來，再利用函數的性質求解．解法一：橢圓的參數方程為（參數t∈［0，2π）），設第一象限內橢圓上一點M(x，y），由橢圓的對稱性，知內接矩形的面積為S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t．當t=時，面積S取得最大值40．此時x=5cos=，y=4sin=2．因此,矩形在第一象限的頂點為（,2）時，內接矩形的面積最大為40．解法二：設點M（x，y）是橢圓上第一象限內的點,則=1，且x＞０，y＞０，即１＝（)2+（)2≥2××，∴xy≤10，當且僅當時取等號．由橢圓的對稱性知內接矩形的面積為S=4xy≤40，也就是內接矩形的面積的最大值為40．6.求橢圓上的點到直線3x+4y－64＝０的最大、最小距離．思路分析:利用參數方程，將圓錐曲線上的點的坐標設為參數形式,這樣減少曲線上點的坐標所含變量的個數，將二元函數的問題轉化為一元函數的問題．解：將橢圓普通方程化為參數方程（０≤θ<2π)，則橢圓上任一點P的坐標可設為P(5cosθ，9sinθ),于是點到直線3x+4y－６４＝０的距離為，其中tanφ=,∴dmax=，此時sin（θ+φ)＝－１;dmin＝５，此時sin(θ+φ）＝１．7.如圖，已知點P是圓x2+y2＝16上的一個動點，點A是x軸上的定點，坐標為(12，0)，當點P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡是什么?思路分析：由于點M為線段PA的中點，點A的坐標已知，點P在已知圓上,故而點P的坐標可以用參數θ表示，所以點M的坐標也就可以表示了，由此便可以求出線段PA的中點M的軌跡方程,進而知道其軌跡．解:設點M的坐標為（x，y）．由于圓的參數方程為（參數θ∈［0，2π）），故可設點P的坐標為（4cosθ，4sinθ)．由線段中點的坐標公式,得點M的軌跡參數方程為(參數θ∈［0,2π）).∴線段PA的中點的軌跡是以點（６，０)為圓心、２為半徑的圓．我綜合,我發(fā)展8.已知A、B分別是橢圓的右頂點和上頂點，動點C在該橢圓上運動，求△ABC的重心G的軌跡方程．思路分析：△ABC的重心G取決于△ABC的三個頂點的坐標，為此需要把動點C的坐標表示出來，可考慮用參數方程的形式．解：由題意知A（6,0）、B（0，3).由于動點C在橢圓上運動，故可設動點C的坐標為（6cosθ，3sinθ)，點G的坐標設為(x，y)，由三角形重心的坐標公式可得即消去參數θ得到+(y-1）2＝1。9.過點P(,0）作傾斜角為α的直線與曲線x2+12y2=1交于點M、N，求｜PM｜·｜PN｜的最大值及相應的α的值．思路分析：設出直線的參數方程，把|PM|·｜PN|表示成α的函數．解：設直線為(t為參數)，代入曲線x2+12y2=1中,整理得（1+11sin2α）t2+(cosα）t+=0，于是|PM｜·|PN|=｜t1t2|=．所以當sin2α=0，即α=0時,｜PM|·|PN｜的最大值為，此時α=0．10。已知點P(x,y）是圓x2+y2=2y上的動點，（1）求2x+y的取值范圍；（2）若x+y+a≥0恒成立，求實數a的取值范圍．思路分析：因為所求問題中涉及到圓x2+y2=2y上動點P的坐標x與y的關系，而二者的關系可用參數θ表示出來，故可設出圓的參數方程，從而把（1)求2x+y取值范圍的問題轉化為求關于θ的函數的值域問題;對于(2)x+y+a≥0恒成立a≥—(x+y）恒成立a≥max{—（x+y)｝.解：（1）x2+y2=2y化為標準方程為x2+（y—1)2=1.設圓的參數方程為（參數θ∈[0,2π））,則2x+y=2cosθ+sinθ+1=sin（θ+φ）+1,其中tanφ=2．∵－1≤sin(θ+φ)≤1，∴—+1≤sin(θ+φ)+1≤+1．∴2x+y的取值范圍為［—+1,+1]．(2）x+y+a≥0恒成立a≥—（x+y)恒成立a≥max{-（x+y)}．而—（x+y)=-（cosθ+sinθ)-1=-sin（θ+）-1，∵－1≤sin（θ+)≤1,∴--1≤-sin(θ+）—1≤—1，即—(x+y）的最大值為—1．由a≥—(x+y）恒成立，可知a≥—1．11.已知點A（１，２），過點（５，－２）的直線與拋物線y2=4x交于另外兩點B、C，試探討△ABC的形狀．思路分析:直線與圓錐曲線的相交問題常常設出交點坐標，利用整體代入法解決問題．解：由拋物線的參數方程,可設B(t2，2t),C（s2，2s），s≠t，s≠１，t≠1，則直線BC的斜率為,方程為y—2t=(x—t2)．因直線BC過點(5，－2），代入上式，并整理得到(s+1）（t＋１）＝－４．因為kAB·kAC=·==—1,所以AB⊥AC，從而△ABC是直角三角形．12.直線l：y=2x+b與橢圓交于A、B兩點，當b變化時，求線段AB中點M的軌跡．解：設AB中點M(x0，y0),直線l的方程為(tanθ＝２，t為參數）．代入橢圓方程,有＝１，可得(2cos2θ+3sin2θ）t2+2(2x0cosθ+3y0sinθ）t+2+3—6=0。設A、B對應的參數值分別為t1、t2，則有t1+t2＝０。又∵t1+t2=∴2x0cosθ+3y0sinθ＝０．又∵tanθ＝２，∴２x0＋６y0＝０,即x+3y＝０．∴M點的軌跡是直線x+3y＝０在橢圓＝１內部的一條線段．13。已知橢圓方程為，橢圓長軸的左、右頂點分別為A1、A2，P是橢圓上任一點，引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P，且A1Q與A2Q的交點為Q，求點Q的軌跡方程．解:設橢圓的參數方程為(θ為參數，且0≤θ〈2π），則P點坐標為（acosθ，bsinθ），由題意知cosθ≠1,sinθ≠0．∵=，=，∴==，==．∴A1Q的方程為y=，①A2Q的方程為y=(x—a）。②①×②得y2=．化簡整理得＝１即為所求的軌跡方程．我創(chuàng)新，我超越14。當s和t取遍所有實數時，(s+5-3｜cost｜）2+(s-2|sint|）2所能達到的最小值是多少？思路分析：觀察所求式的結構，可以把它看作點（s＋５，s）與點（3|cost|,2｜sint｜）的距離的平方，而這兩個點的軌跡都可以用參數方