第19講 函數(shù)的應(yīng)用與反函數(shù)（鞏固基礎(chǔ)+能力提升練習(xí)）解析版-2021年新高一數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義（滬教版2020）

第19講函數(shù)的應(yīng)用與反函數(shù)

(鞏固基礎(chǔ)+能力提升練習(xí))

【鞏固基礎(chǔ)】

一、單選題

1.(2021?上海上外浦東附中高一期末)函數(shù)，(x)=lnx+2x—6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【分析】函數(shù)￡6)=111)<+2*-6在其定義域上連續(xù)，同時(shí)可判斷f(2)<o,r(3)>o；

從而可得解.

【詳解】函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在其定義域上連續(xù)，

f(2)=]n2+2?2-6=ln2-2<0,

f(3)=ln3+2*3-6=ln3>0；

故函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是

關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021?上海市西南位育中學(xué)高一期末)設(shè)函數(shù)y=/(x)和y=/(/(x))的定義域都是

R.對于下列四個(gè)命題：

(1)若函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(/(x))是奇函數(shù)：

(2)若函數(shù)y=是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(/(x))是偶函數(shù)；

(3)若函數(shù)y=/(x)是嚴(yán)格減函數(shù)，則函數(shù)y=/(/(x))是嚴(yán)格增函數(shù)；

(4)若函數(shù)y=/(x)存在反函數(shù)y=尸(%),且函數(shù)y=/(x)-/T(x)有零點(diǎn)，則函

數(shù)y=也有零點(diǎn)；

其中正確的命題有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷(1)(2)的正誤；利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷(3)

的正誤；取函數(shù)〃x)=B(尤力±1)可判斷(4)的正誤.

【詳解】對于(1),若函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，則/(—￡)=—"X)，

所以,/(/(—x))=/(—/(x))=—/(/(%)),所以,函數(shù)y=/(/(x))是奇函數(shù),(1)

正確；

對于(2),若函數(shù)y="x)為偶函數(shù),則〃-x)=〃x),

所以,/(/(-%))=/(/(%)).所以,函數(shù)y=/(/(x))是偶函數(shù)，⑵正確；

對于(3),任取X1、々eH且%>/，由于函數(shù)y=/(x)是嚴(yán)格減函數(shù)，則/(N)</(%)，

所以,/(/(x,))>/(/(x2)),所以，y=/(/(x))是嚴(yán)格增函數(shù)，(3)正確；

對于(4),函數(shù)/(x)=L(xw±l)的反函數(shù)是它本身，

X

此時(shí)函數(shù)y=.f(x)―尸(切有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，但函數(shù)y=f(x)-x無零點(diǎn)，⑷錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2021?上海高一期末)已知函數(shù)y=2*+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零點(diǎn)依次為

再、Z、X3,則X|、3、/的大小關(guān)系為()

A.xt<x2<x3B.x2<xx<x}C.x2<x3<xtD.%)<x,<

【答案】D

【分析】化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，然后在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2",y=lnx,

y=lgx和函數(shù)丁=一次的圖像，根據(jù)圖象即可判斷王、々、七的大小關(guān)系.

【詳解】已知函數(shù)y=2*+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零點(diǎn)依次為』、聲、W，

即y=2f+%=0=>2*=—X],

y=Inx2+x2=0=>Inx2=-x2,

y=尼七+占=0=lg%3=一七，

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2",y=lnx,y=lgx和函數(shù)丁=一次的圖像,

由圖可知：xl<x3<x2.

故選：D

4.(2021?上海高一期末)函數(shù)y=-3的零點(diǎn)所在區(qū)間為().

【答案】B

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在原理，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、索函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)y==—).易知該函數(shù)為減函數(shù),

故選：B

5.(2020?上海市金山中學(xué)高一月考)已知函數(shù)/1)={1，則方程

O,x=O

"(x)f—2/(x)=0的不相等的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】方程"(x)f—2/(x)=0知：/(x)=O或/(x)=2,畫出圖像分別判斷交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，相加得到答案.

［詳解）方程［/（X）］2-2/（%）=0可解出/（x）=0或f⑺=2

方程"（x）F-2/（x）=0的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)即兩個(gè)函數(shù)=0或“X）=2的所有不

相等的根的個(gè)數(shù)的和，

方程的根的個(gè)數(shù)與兩個(gè)函數(shù)y=0,y=2的圖象與函數(shù)f（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，

—8—6—4—202468x

如圖：

y=2的圖象與函數(shù)“X）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)

y=0的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故方程［/（X）］2-2/（%）=0有5個(gè)解，

故選：A

6.（2020?上海市大同中學(xué)高一月考）對于函數(shù)/（X）,若/（一2＞）（5）＜0,則（）

A.函數(shù)/（X）在區(qū)間（-2,5］上一定有零點(diǎn)

B.函數(shù)/（X）在區(qū)間（-2,5］上一定無零點(diǎn)

C.函數(shù)/（x）在區(qū)間（-2,5］上一定有兩個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)/（x）在區(qū)間（-2,5］上可能無零點(diǎn)

【答案】D

【分析】若函數(shù)八》）的圖象不連續(xù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2,5］上可能無零點(diǎn)，可選出答

案.

【詳解】若函數(shù)/（力的圖象不連續(xù)，則函數(shù)/（力在區(qū)間（-2,5］上可能無零點(diǎn)，

比如，當(dāng)=L時(shí)，/（-2）-/（5）=-1xl＜0,該函數(shù)不存在零點(diǎn).

x25

所以ABC都不正確，只有D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對零點(diǎn)存在性定理的理解，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2020?上海普陀區(qū)?曹楊二中高一月考)已知函數(shù)=J尤，若方程

(X-1)2,X<2

/(x)=g有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.(1,2]B.[l,4w)C.[1,2)D.[2,-W)

【答案】B

r

_L=

【分析】先求得《2行兩個(gè)根x=l±—^再利用2有解可得答案.

x<22亡、c

(1)」J2

【詳解】因?yàn)橐?2有兩個(gè)根x=l士注，

x<22

所以，要使方程/(x)=；有三個(gè)不同的實(shí)根，

k_]_

只需?有解，

x>2

即女=工%在[2,+8)上有解，

2

因?yàn)樵赱2,+CQ)上

2

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1,”)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2020?上海南匯中學(xué)高一期末)己知/是函數(shù)/?(x)=2'+」一的一個(gè)零點(diǎn)，若

1-X

%￡(1,+00),則()

A./(尤])<B./(再)<

0,/(x2)<00,/(x2)>0

c./(x)>0，/(x2)<oD./(不)>0,/(x2)>0

【答案】B

［分析】轉(zhuǎn)化X。是函數(shù)/（x）=T+」一的一個(gè)零點(diǎn)為X。是函數(shù)y=2、與y=」一的交用

l-xx-\

的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，利用圖像判斷即可

【詳解】因?yàn)?是函數(shù)/（幻=2,+」一的一個(gè)零點(diǎn)，則%是函數(shù)"2'與＞=」一的交

1-xx-1

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，

則當(dāng)%e。,/）時(shí)，y=2;在＞=」■；?下方，即/（玉）＜0；

x-\

當(dāng)看€（Xo，+oo）時(shí)，y=2*在y=」一上方，B|J/（x,）＞0,

x—\

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想

9.（2021?上海上外浦東附中高一期末）已知函數(shù)/i（x）為函數(shù)/（幻的反函數(shù)，且函數(shù)

f（x-l）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,則函數(shù)/T（X）的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）D.（2,1）

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)/（X）的圖像必經(jīng)過點(diǎn)，然后即可求出函數(shù)/T（X）的圖像一定經(jīng)過點(diǎn).

【詳解】解：函數(shù)/。-1）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1」），則函數(shù)/（刈的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0/），

則函數(shù)/-'（x）的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)（1,0），

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題

10.(2021?上海高一期末)用“二分法”求函數(shù)/(x)=2x3-3f-18x+28在區(qū)間(1,2)

內(nèi)的零點(diǎn)時(shí)，取(1,2)的中點(diǎn)王=1.5,則/(x)的下一個(gè)有零點(diǎn)的區(qū)間是.

【答案】(1.5,2)

【分析】計(jì)算出/(1)、/(2)、/(1.5),利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.

【詳解】?."(x)=2d—3f-i8x+28,⑴=9>0,〃2)=-4<0,/(1.5)=1>0,

因此，/(x)的卜一個(gè)有零點(diǎn)的區(qū)間是(1.5,2).

故答案為：(1.5,2).

11.(2021?上海高一期末)用“二分法”求方程d+x—4=0在區(qū)間。，2)內(nèi)的實(shí)根，首

先取區(qū)間中點(diǎn)x=1.5進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是x=.

【答案】1.25

【分析】分別代入x=l，x=L5計(jì)算得V+x—4<0和V+x—4>0,所以可得方程

爐+x—4=0在區(qū)間(LL5)內(nèi)有實(shí)根，所以根據(jù)二分法，下一個(gè)取的點(diǎn)為1.25.

【詳解】當(dāng)x=l時(shí)，4=14-1-4=-2<O>x=1.5時(shí)，

33

X+A：-4=1.5+1.5-4=0.875>0.所以方程d+》一4=0在區(qū)間(LL5)內(nèi)有實(shí)根，

所以卜一個(gè)取的點(diǎn)是1.25.

故答案為：1.25

12.(2020?上海高一單元測試)函數(shù)y=4*+2川-3的零點(diǎn)是

【答案】x=Q

【分析】直接令丫=4'+21-3=0,求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】由'=4'+27—3=0得(2，+3)(2'-1)=0,所以2*=1，解得x=0.

即函數(shù)丫=4*+2Z一3的零點(diǎn)是x=0.

故答案為：x=0

13.(2021?上海市第二中學(xué)高一期末)已知函數(shù)f(x)=爐+x-l的兩個(gè)零點(diǎn)分別為七和馬，

則x^x2+x,%2的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義以及韋達(dá)定理可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（》）=爐+尤-1的兩個(gè)零點(diǎn)分別為西和々，

所以西和Z是尤2+》一1=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以％+々=一1,芯工2=-1，

所以+xixl=xlx2（xl+x2）=-lx（-l）=l.

故答案為：1

14.（2020?上海市三林中學(xué)高一月考）存在無數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)X,使得機(jī)2（1-x）=/nr+1成立，

則實(shí)數(shù)加=

【答案】-1

【分析】根據(jù)題中條件，得到〃22-1=（m2+m）》對任意工€1t恒成立，列出方程組求解,

即可得出結(jié)果.

【詳解】由加“I—X）=〃2X+1得〃，-1=（>+根）X,

因?yàn)榇嬖跓o數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)X，使得加2（1—》）=g+1成立，

即函數(shù)/（?=（>一1）一（“+加,有無數(shù)多個(gè)零點(diǎn)，

m2-1=0

所以只需｛2，解得機(jī)=—L

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求采參數(shù)的問

題，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2020?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一月考）關(guān)于x的一元二次方程/+8%+夕=0有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則夕的取值范圍是.

【答案】"16

【分析】依據(jù)題意可得A〉。，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由題可知：一元二次方程V+8x+g=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

所以△=82-4q>O=g<16

故答案為：4<16

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的個(gè)數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題.

16.(2021?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高一期末)若指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)［3,2),

則函數(shù)y=/(x)-2"x的零點(diǎn)為.

【答案】x=l

【分析】設(shè)/(x)="(a>0且awl)，山=2可求得a的值，然后解方程

/(同-2中=0即可得解.

【詳解】設(shè)/(x)=a*(a>0且),則=a?=&=2,解得。=4,

.?./(X)=4"=22\

解方程/(%)-2向=0,即22'一2'+|=0,可得2x=x+l，解得x=l.

因此，函數(shù)y=/(x)-2"i的零點(diǎn)為x=L

故答案為：x=l.

［〉〉2

17.(2021?上海市行知中學(xué)高一期末)已知函數(shù)/(x)=Jx'，若y=/(x)一乙有

x2-3,x<2

三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

【答案】(0,L)

2

【分析】根據(jù)y=/(x)-丘有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得丁=/(幻與丫="的圖象有三個(gè)不同

的交點(diǎn)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【詳解】因?yàn)閥=/(%)-kx有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以f(x)一乙=0有三個(gè)不同的根，即y=/(x)與y=H的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

畫出圖象，如圖所示

所以當(dāng)Aw(0,；)時(shí)y=f(x)與y=區(qū)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即若y=/(x)-kx仃-：

個(gè)不同的零點(diǎn)，

故答案為：(0,!)

2

18.(2021?上海曹楊二中高一期末)已知函數(shù)"X)與y=ln(x—1)是互為反函數(shù)，則

/(%)=------------

【答案】"+1，xeR

【分析】用〉表示x后可得/(x)的解析式.

【詳解】由y=ln(x-l)可得％一1="即x=ev+l，故/'(%)=，+1,工€/?,

故答案為:ex+1,x€/?.

2

19.(2021?上海市第二中學(xué)高一期末)函數(shù)y=/(x)=——,則/[3)=_____________.

x-\

【答案】I

【分析】3在反函數(shù)的定義域中，它必在原函數(shù)的值域中，因?yàn)榉春瘮?shù)與原函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

2

相反，故由3=——解得工值為所求.

x-1

2S5

【詳解】由3=——解得元=一，所以/-|(3)=—.

x-\33

故答案為：一

3

20.(2021?上海交大附中高一開學(xué)考試)若函數(shù)y=/+(a-4)x+3-a,xw[O,l]沒有

反函數(shù)，則。的取值范圍是

【答案】(2,4)

【分析】由已知可得函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性建立不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/+(a—4)x+3—a,xe[O,1]沒有反函數(shù)，

則函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，又函數(shù)的對稱軸為x=3二且，

2

所以0<4二烏<1,解得2<。<4,

2

故答案為：(2,4).

三、解答題

21.(2021?上海高一)某公司生產(chǎn)某種消防安全產(chǎn)品，年產(chǎn)量x臺(tái)(O4x41OO,xeN)時(shí)，

銷售收入函數(shù)H(X)=3OOOX—2OX2(單位：百元)，其成本函數(shù)滿足C(x)=5OOx+b(單位：

百元).已知該公司不生產(chǎn)任何產(chǎn)品時(shí)，其成本為4000(百元).

(1)求利潤函數(shù)P(x)；

(2)問該公司生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少？

(3)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對于函數(shù)f(x),我們把函數(shù)/(x+l)--(x)稱為函數(shù)/(x)的邊際函數(shù)，

記作Mf(x).對于(1)求得的利潤函數(shù)P(x),求邊際函數(shù)MP(x)；并利用邊際函數(shù)MP(x)

的性質(zhì)解釋公司生產(chǎn)利潤情況.(本題所指的函數(shù)性質(zhì)主要包括：函數(shù)的單調(diào)性、最值、零

點(diǎn)等)

【答案】(1)P(x)=—20/+500X—4000；0<x<100：(2)62或63臺(tái)，74120百元；

(3)MP(x)=T0x+2480(0<x<99，xeN),答案見解析.

【分析】(1)先由％=0得b=4000,再由P(x)=R(x)-C(x)即可得函數(shù)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

(3)根據(jù)函數(shù)定義得MP(x)=-40X+2480,從而分析函數(shù)取值即可得解.

【詳解】(1)由題意，x=O,2=4000,所以C(x)=5()0x+4()()。

P(x)=R(x)-C(x)=3000%-20x2-500x-4000=-20x2+2500%-4000,0<x<100

125

(2)P(x)=-20(x---)2+74125(0<X<100,xeN)

所以x=62或x=63

P(x)max=P(62)=尸63)=74120(百元)

(3)MP(x)=P(x+\)-P(x)=-40x+2480(0<x<99?XGN)

邊際函數(shù)為減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加,每生產(chǎn)一臺(tái)的利潤與生產(chǎn)前一臺(tái)利潤相比在減少:

當(dāng)x=0時(shí)，邊際函數(shù)取得最大值為2480,說明生產(chǎn)第一臺(tái)的利潤差最大；

當(dāng)％=62時(shí)，邊際函數(shù)為零，說明生產(chǎn)62臺(tái)時(shí)，利潤達(dá)到最大.

22.(2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高一期末)某企業(yè)在現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本了(單位：萬

元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)之間的函數(shù)關(guān)系式：y=2f+(i5—4QX+128攵+8,近年

來各部門都非常重視大氣污染防治工作，為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)

備，每噸產(chǎn)品的除塵費(fèi)用為《萬元，引進(jìn)除塵設(shè)備后，當(dāng)日產(chǎn)量x=l時(shí)，總成本為142.

(1)求I的值;

(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬元，那么引進(jìn)除塵設(shè)備后日產(chǎn)量為多少時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤

最大，最大利潤為多少？

【答案】(1)4=1;(2)元=8,每噸最大利潤為4萬元.

【分析】(D求出除塵后的函數(shù)解析式，利用當(dāng)日產(chǎn)量產(chǎn)1時(shí)，

總成本產(chǎn)142,代入計(jì)算得心1.

(2)求出每噸產(chǎn)品的利潤，利用基本不等式求解即可.

【詳解】(1)由題意，除塵后

曠=2/+(15—4人)％+120左+8+依=2/+(15—3幻％+120左+8,

當(dāng)日產(chǎn)量產(chǎn)1時(shí)，總成本尸142,代入計(jì)算得依1.

(2)由(1)y=2/+12x+128,

總利潤L=48x-(2d+12X+128)=36X-2X2-128,(X>0),

/64I~64

每噸產(chǎn)品的利潤為一=36—2(x+—)436—4jx?—=4,

xxVx

64

當(dāng)且僅當(dāng)％=——，即產(chǎn)8時(shí)取等號(hào)，

x

除塵后日產(chǎn)量為8噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為4萬元.

23.(2021?上海位育中學(xué)高一期末)某蔬菜種植基地共有甲、乙兩個(gè)蔬菜大棚，其中甲大

棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P萬元與甲大

棚的投入a萬元滿足P=80+4岳，種黃瓜的年收入Q萬元與乙大棚的投入h萬元滿足

Q=—8+120,現(xiàn)該基地準(zhǔn)備每年共投入200萬元到甲、乙兩個(gè)蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少

4

要投入20萬元，設(shè)甲大棚的投入為x萬元，每年兩個(gè)大棚的總收入為f(x)萬元.

(1)求/(5O)的值；

(2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)蔬菜大棚的投入，才能使得總收入/(幻最大？

【答案】(1)7(50)=275.5：(2)甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時(shí)，總收入

最大.

【分析】(1)分別算出甲大棚的投入為50萬元，乙大棚投入150萬元后所收入；

(2)寫出利潤函數(shù)f(x),研究函數(shù)的最值.

【詳解】(1)甲大棚的投入為50萬元，由尸=80+4疝=120萬元，

乙大棚投入200-50-150萬元，由。=1。+120=155.5萬元;

4

故/(50)=120+155.5=275.5萬元.

x>20

⑵依題意《=>xe[20,80],

200-x>20

“x)=P+Q=—++4岳+250,XG［20,180］

設(shè)/=岳，/€［2河,6加］,

MB=_［/+4f+250,fe［2廂,6廂］,

對稱軸f=16,所以力⑺在區(qū)間［2函,16］上單調(diào)遞增，在區(qū)間法［16,6瓦］上單調(diào)遞

減，

當(dāng)f=16時(shí)&⑺取最大值，所以“X)1rax="128)=282萬元.

答：甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時(shí)，總收入最大.

【能力提升】

一、單選題

1.(2021?上海市行知中學(xué)高一期末)對于函數(shù)，(%)=2兇--^—+a,有以下四個(gè)命題:

x+1

(1)對于任意實(shí)數(shù)。，〃幻為偶函數(shù)；

(2)存在實(shí)數(shù)。，使得/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

(3)f(x)的最小值為a；

(4)存在實(shí)數(shù)。，使得了。)在(-℃,-2)上是嚴(yán)格減函數(shù).

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】利用函數(shù)得單調(diào)性和奇偶性對四個(gè)命題逐一判斷正誤即得結(jié)果.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=2向一~」一+a,定義域總由

x+1

/(-X)=2H--+?=2W一一工■+a=/(x)知，/(X)為偶函數(shù)，該命題正確;

(-X)+1X+1

(2)x20時(shí)，f(x)=2'------Fa.

x+1

11

22

設(shè)0<%<當(dāng)，則2z<2修，%14-1<%2+1即-5—>1—

Xj+1x2+1

故/(%)一/(尤2)=2"----+aj-2'2-----------

I4+1)IV+1

(11A

=(2為一2血)+―一—<0,即/(%)</*2)，在［0,a)上單調(diào)遞增,

、?XI1J

由(1)知/'(X)為偶函數(shù)，故"X)在(fO,0)上單調(diào)遞減，

故尤=0時(shí)，函數(shù)/(X)取得最小值/(0)=2°一一匚+a=a,

0+1

故存在a<0時(shí)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，該命題正確；

(3)由(2)知，最小值x=0時(shí)，函數(shù)/(?取得最小值/(0)=。，該命題正確；

(4)由⑵知，對任意實(shí)數(shù)a,/(x)在(—,0)上單調(diào)遞減，在［0,+oo)匕單調(diào)遞增.

故存在實(shí)數(shù)。，使得〃x)在(-8,-2)上是嚴(yán)格減函數(shù)，也是正確的.

故正確命題有4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法

(1)取值：設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且玉<々；

(2)作差變形：即作差，即作差/(再)一/(%2)，并通過因式分解、配方、有理化等方法,

向有利于判斷符號(hào)的方向變形;

(3)定號(hào)：確定差/(再)一/(%2)的符號(hào);

(4)下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值--作差一一變形一一定號(hào)一一下結(jié)論.

2.(2021?上海華師大二附中高一期末)已知函數(shù)/(x)=<，則方程

j/(x-2),2<x<6

4(X)-1=0的解得個(gè)數(shù)是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】化簡得出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，方程獷(幻-1=0的解得個(gè)數(shù)，即方程f(x)=工的

X

實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)/(力和丫=’的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可得出答案.

X

3-x

/\11?21<x<2

【詳解】當(dāng)xW2時(shí)，/(》)=1一寸一x=:

''211+xx<l

r

x-\

/、142<x<3

當(dāng)2<xW4時(shí)，f(x)=-f(x-2)=\

25-x3<x<4

~4~

x—3

/、184cx<5

當(dāng)4<x46時(shí)，=-=<

27-x5<x<6

方程燈'(x)-l=0的解得個(gè)數(shù)，即方程/(x)=L的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

X

在同?坐標(biāo)系中作出y=/(x)與y=:的圖象，

由〃1)=1,/(2)=-，〃4)=“

如圖：

函數(shù)>=/(%)的圖象與的圖象有7個(gè)交點(diǎn).

所以函數(shù)g(x)=4(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是：7

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是得出函數(shù)函數(shù)/(X)的

表達(dá)式，作出函數(shù)，(幻的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)

X

y=/(%)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可解.

3.(2021?上海高一期末)定義在上,+€。)上的函數(shù)/(x)、g(x)是嚴(yán)格增函數(shù)，

f(.t)=g(t)=M,若對任意k>M,存在X,<x2,使得/(內(nèi))=g(x2)=k成立,則稱g(x)

是f(x)在在,+8)上的“追逐函數(shù)”,已知l(x)=d,下列四個(gè)函數(shù)：

①g(x)=x；②g(x)=lnx+l；③g(x)=2*-1；④g(x)=2

其中是了(外在口,+8)上的“追逐函數(shù)”的是()

A.①②④B.①②③C.①④D.①②

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行判斷，即判斷g(x)在［1,中刃)上嚴(yán)格遞增，f(D=g(l),且存在

X,<x2,使f(M)=g(X2)=Z.左>1且是任意的實(shí)數(shù).可作出函數(shù)圖象，作直線

>=女(攵>/(1))與它們相交，觀察可得.

【詳解】在口,口)上，f(x)與四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)g(x)都是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，且

其中x>l時(shí)，g(x)=2—：<2,因此只要左N2則不存在％<X2,使得/a)=g(w)=Z

成立，④不是［1,+8)上的“追逐函數(shù)”，

對于函數(shù)g(x)=2—l,由于y=2"與y=,在x>0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)(2,在,(4,16),因此

y=2'的圖象向下平行1個(gè)單位所得圖象與y=V的圖象仍然有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)

為(1,1),另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)設(shè)為％,顯然%>1,但/'(%)=g(Xo)，?。?不，不存在％2，

使得/(毛)=g(W)，③不是［1,+8)上的“追逐函數(shù)”，

對〉=X和y=lnx+1,作出它們的圖象，同時(shí)作出了(X)的圖象，如圖，再作直線y=k(k>l),

直線y=々與/(幻的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為再，與>=》的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為馬,滿足玉<%，同樣

直線y=左與y=lnx+l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為馬，也滿足％<七，因此①②是［1,+8)上的“追

逐函數(shù)”，

故選:D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用已學(xué)函數(shù)知識(shí)解決

新定義問題.解題方法是根據(jù)新定義的理解判斷，也可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利

用數(shù)形結(jié)合思想求解.

4.(2021?上海華師大二附中高一月考)若/(x)=2'的反函數(shù)為/T(x),且

f~'(a)+/t(%)=4,則1+1的最小值是()

ab

c111

A.2B.—C.-D.一

234

【答案】B

【分析】先求解出反函數(shù)并根據(jù)條件得到a,b的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式求解出工+■!■的

ab

最小值.

【詳解】因?yàn)閥=a*,y=log“x(a>0,a，l)是互為反函數(shù)，所以廣(x)=log2x,

又因?yàn)槭?。)+廣伍)=4,IUlog2a+log,b-log2(?Z>)=4,所以必=16且

a>(),b>0,

又J_+L=3=*>巫=L,取等號(hào)時(shí)a=b=4,

abah16162

所以L+L的最小值為

ab2

故選:B.

二、填空題

5.(2021?上海市南洋模范中學(xué))已知占是函數(shù)/(?=xlog2X-3的一個(gè)零點(diǎn)，馬是函數(shù)

g(x)=x?2”-3的一個(gè)零點(diǎn)，則%?%=.

【答案】3

33

【分析】由/(幻=。得log,x=一，同樣由g(x)=。得2、=一，然后利用函數(shù)y=log,x

XX

3

和>=2晨》=三的圖象關(guān)于直線丁=1對稱，可得百的關(guān)系.

x

33

【詳解】由題意得10g2"i=—，2出=—又y=log2%和y=2,圖象關(guān)于y=x對稱，且

%馬

y=：圖象也關(guān)于y=x對稱，不妨設(shè)AQ,log2X1),B(X2,2*),所以AB也關(guān)于y=x對

,3

稱，所以10g2玉=々，又1。82%=一,，%-々=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，即把函數(shù)的零

點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用對稱性得出結(jié)論.這是解決

方程根的分布和函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題中的常用方法.

6.（2021?上海閔行區(qū)?高一期末）若函數(shù)y=與y=2%g小7的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)人的取值范圍為

【答案】{4}

【分析】化簡函數(shù)丁=2豌2（*+4的解析式，作出函數(shù)y=2現(xiàn)式X+4與函數(shù)丁=左國的圖象，考

查射線y=—丘（x<o）與函數(shù)>的圖象相切，求出人的值，然后分左=4、后>4、

0<A<4三種情況討論，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】函數(shù)y=2版（則的定義域?yàn)椋═”），且尸2岷式“叫」三尸一1<“<°,

x+l,x>0

作出函數(shù)y=2>喝（則?與函數(shù)y=%W的圖象如下圖所示:

考慮射線曠=一日（x<0）與函數(shù)y=￡的圖象相切，

1化工0

由一日=一；，可得Ar+日+1=0，則〈人...八，解得左=4.

x+l[△=—2—4%=0

由圖可知，當(dāng)4=4時(shí)，函數(shù)y=2隨式”句與函數(shù)y=%W的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)人>4時(shí)，函數(shù)丁=2儂式則與函數(shù)y=%W的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；

當(dāng)0〈左<4時(shí)，函數(shù)y=2隨式砌與函數(shù)y=^x|的圖象至多一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)％的取值范圍是{4}.

故答案為：{4}.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：己知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決：

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

7.（2021?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高一期末）已知函數(shù)/（x）=|2、-1],若函數(shù)

8。）=/2（乃+布'（幻+_1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)卬的取值范圍為.

4

【答案】（一：一1）

【分析】令r=/（x）,畫出/（幻=|2'-1|的函數(shù)圖象，可得0</<1,得出戶+/川+；=0

在fe（O,l）有2個(gè)解，即可求出.

【詳解】

令f=/(x),要使g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則/(x)=f有2個(gè)解,

畫出/(x)=|2、一1|的函數(shù)圖象，

則g(%)有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/+加+(=0在^(0,1)有2個(gè)解,

A=in2-4x—>0

4

02+0+->0

4

則《解得—<根<—1,

4

I2+/?!+—>0

4

m

0<——<1

2

所以0的取值范圍為(一，一1)

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用〃x)的函數(shù)圖象得出

*+,而+；=0在fw(O,l)有2個(gè)解.

8.(2021?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高一期末)函數(shù)片Ax)(矛〈0)的反函數(shù)為y=/T(X),且

/(x)x<0

函數(shù)g(x)=1；/八c是奇函數(shù)，則不等式尸*)2-2的解集為____.

log2(x+l)x>0

【答案】［―log23,0)

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)得出，T(X)=1-2一'，x<0,再解指數(shù)不等式

得出解集.

【詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，則一x>0,g（-x）=log2（l-x）=-g（x）

即y=/（x）=g（x）=-log2（l-x），x<0

由x=-log2（l-y）,y<0,解得y=l—2-*,由1一2一*<0，解得x<0

即尸（幻=]_2一，x<0

不等式r'（x）>-2可化為l-2-x>-2'解得一log23Kx<0

故答案為：[―log23,0）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的奇偶性結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)得出了（X）的反函數(shù)解

析式，最后解不等式得出解集.

三、解答題

9.（2021?上海市西南位育中學(xué)高一期末）經(jīng)市場調(diào)查，某商品在過去的100天內(nèi)銷售量（單

位：件）和價(jià)格（單位：元）均為時(shí)間M單位：天）的函數(shù)，且銷售量滿足

60+tl<t<60

/?)=1(reN),價(jià)格滿足g(r)=200-r(lwrwioo),teN).

150—/61<t<100

2

（1）求該種商品的日銷售額〃（。與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系;

（2）若銷售額超過16000元，商家認(rèn)為該商品的收益達(dá)到理想程度，請判斷該商品在哪幾

天的收益達(dá)到理想程度？

-『+140f+12000,1<r<60,reTV

【答案】（1）K）=52-250/+30000,61</<100,ze/V(2)41<r<64,

【分析】（1）利用〃（/）—/（r>g（。，通過t的范圍求出函數(shù)的解析式;

(2)令〃(。>16000解吐"的范圍即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴由題意知，當(dāng)lvt?60,teN時(shí),/(r)-g(r)(60+r).(200-r)

-/+140,+12000，

當(dāng)614此1()0/€義時(shí)，力(。/(r).g(r)^150-1t^(200-t)-250r+30000,

-t2+140/+12000,1</<60,

所求函數(shù)關(guān)系人(。=gf2-250f+30000,61?Y100,teN

(2)當(dāng)lWf460,feN時(shí)，A(r)=-r2+140/+12000=-(/-70)2+16900,

函數(shù)力⑺在［1,60］上單調(diào)遞增，71(60)=16800(元)，

1I9

當(dāng)61WfW100,feN時(shí)，h(t)=-t2-250^+30000=-(r-250)^-1250,

.?.函數(shù)力?)在［61,100］上單調(diào)遞減，.\/?(r)-/i(64)-16048(元).

若銷售額超過16000元，當(dāng)61100時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故只有第61到64天滿足條件.

當(dāng)1W/W60時(shí)，經(jīng)計(jì)算力(41)=16059滿足條件，又函數(shù)在［1,60］上單調(diào)遞增，.?.第

41,42,--60天，滿足條件，即滿足條件的天數(shù)為第41,42,…63,64天，共24天.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)晴：在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用，注意自變量在不同范圍內(nèi)對應(yīng)的解析式.

10.(2021?上海閔行區(qū)?高一期末)由于人們響應(yīng)了政府的防控號(hào)召，2020年的疫情得到

了有效的控制，生產(chǎn)生活基本恢復(fù)常態(tài)，某賞花園區(qū)投資了30萬元種植鮮花供市民游賞，

據(jù)調(diào)查，花期為30天，園區(qū)從某月1號(hào)至30號(hào)開放，每天的旅游人數(shù)f(x)與第x天近似

Q

地滿足/(x)=8+-(千人)，且游客人均消費(fèi)g(x)近似地滿足g(x)=143-|x-22似元),

x

1<x<30,xeN.

(1)求該園區(qū)第*天的旅游收入P(x)(單位：千元)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)記(1)中p(x)的最小值為加，若以0.3加(千元)作為資金全部用于回收投資成本，

試問該園區(qū)能否收回投資成本？

8x+——+976l<x<22,xeN*

【答案】(1)pQ)={[；(2)相=爪30)=1116千

-8x+^^+131222<x<30,xeN*

元，能收回投資成本.

【分析】(1)旅游收入山旅游人數(shù)/(X)與游客人均消費(fèi)g(x)的乘積求解.

(2)由(1)的結(jié)果，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，分lWx?22和22<xW30,利用基本不等

式和函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】(1)p(x)=/(x)?g(x)=f8+1j(143-1x-221),

968cr/

o8x4----+9761<X<22,XGN"

x

-8元+”絲+1312

22<x<30,xeN

X

p(x)=8x+^^+976>2

(2)當(dāng)lWx<22時(shí),+976=1152,

當(dāng)且僅當(dāng)8x=%,即x=ll時(shí)取等號(hào)，此時(shí)p(x)最小值為1152,

入

1320

當(dāng)22<xW30時(shí)，〃(x)=-8x+——+1312是減函數(shù),

x

1320

當(dāng)X=30時(shí)，〃(x)n)in=—8x30+上，+1312=1116,

30

所以1116<1152,

所以〃7=I116，

所以m=p(30)=1116千元，.?.0.3加=33.48萬元＞30萬元，能收回投資成本.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式:

(2)設(shè)變量時(shí)?般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);

(3)解應(yīng)用題時(shí)，要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍;

(4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

11.(2021?上海閔行區(qū)?高一期末)已知/(x)=f-2ar+5,aeR.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，作出函數(shù)y=|/(x)|的圖象，若關(guān)于x的方程|/(x)|=①有四個(gè)解，直接

寫出加的取值范圍;

(2)若y=/(x)的定義域和值域均為口,“】，求實(shí)數(shù)。的值；

(3)若丁=/(力是(一叱2]上的嚴(yán)格減函數(shù)，且對任意的西總

/(X2)|<4,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)圖象見解析，me(0,4)；(2)a=2；(3)2<a<3.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，直接作出函數(shù)圖象，由圖象，即可得出用的取值范圍；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出y=/(x)在xe[l,a]的值域，由值域和定義域相同，列出

方程求解，即可得出結(jié)果；

(3)先由函數(shù)單調(diào)性，得