2024-2025學(xué)年宜春市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年宜春市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為，則該扇環(huán)的外弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)對(duì)任意滿足，，且，則等于（

）A．1 B．0 C．2 D．4．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．已知均為銳角，若則p是q的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)圖象為，為了得到函數(shù)的圖象，只要把上所有點(diǎn)（

）A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．先將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意總有.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則（

）A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4 B．這組數(shù)據(jù)的極差為3C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.5 D．這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為110．若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則11．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．該半正多面體的表面積為B．與平面所成角的正弦值為C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點(diǎn)，分別在線段，上，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．.13．如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的最小值為.

14．如圖，蓮花縣荷塘鄉(xiāng)重陽(yáng)木古樹已有800年左右的歷史，該古樹枝繁葉茂，以優(yōu)美的形狀挺立在文塘村，幾百年來歷經(jīng)風(fēng)霜守護(hù)村民繁衍生息.小明為了測(cè)量該古樹高度，在古樹旁水平地面上共線的三點(diǎn)，，處測(cè)得古樹頂點(diǎn)的仰角分別為45°，45°，30°，若米，則該古樹的高度為米.四、解答題（本大題共5小題）15．已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且不等式的解集為.(1)求的解析式；(2)設(shè)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．在如圖所示的多面體中.四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，平面，，.點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求多面體的體積.17．甲、乙兩人組成“九章隊(duì)”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強(qiáng)大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率；(2)求“九章隊(duì)”在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率．18．在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，向量，，且.(1)求；(2)若，，的平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng).19．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“友函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“友向量”.(1)記的“友函數(shù)”為，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)，其中，求的“友向量”模長(zhǎng)的最大值；(3)已知點(diǎn)滿足，向量的“友函數(shù)”在處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.參考答案1．【答案】C【分析】計(jì)算得到，再根據(jù)定義判斷即可.【詳解】由知，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)，在第三象限.故選：C.2．【答案】C【分析】設(shè)該扇環(huán)的內(nèi)弧的半徑為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)該扇環(huán)的內(nèi)弧的半徑為，則外弧的半徑為，圓心角，所以，即，解得，所以該扇環(huán)的外弧長(zhǎng).故選：C3．【答案】B【分析】首先分析函數(shù)的周期，再利用對(duì)稱性求值.【詳解】，所以函數(shù)的周期為4，由，知，則.故選：B4．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，在上的投影向量為：.故選：A5．【答案】B【分析】以互為條件，舉反例或利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷兩者關(guān)系.【詳解】先證不成立：令，則滿足，但不滿足，所以不成立；再證成立：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故成立；綜上：p是q的必要而不充分條件.故選：B.6．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變化求解即可.【詳解】先將函數(shù)圖象上每點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.故選C.7．【答案】A【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到，進(jìn)而得到，然后利用正弦定理和三角恒等變換，由求解.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，則，所以或，即或（舍去），則，所以解得，則．所以，，，即的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是得到，從而利用確定角B的范圍，由此得解.8．【答案】C【分析】先分析、、時(shí)的函數(shù)解析式以及值域，再根據(jù)函數(shù)的倍增性和偶函數(shù)圖象特征作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定出符合條件的的范圍即得的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，,則即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由題意，,則即當(dāng)時(shí)，；同理，當(dāng)時(shí)，.又為定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故當(dāng)時(shí)，，如圖所示.當(dāng)時(shí)，恒成立，即，，而由圖象知，，則，當(dāng)取最大值時(shí)，必有，且，由時(shí)，，可得，則得，或，由圖知應(yīng)舍去.故當(dāng)，時(shí)，取得最大值.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，屬于難題.本題以分段函數(shù)為媒介，采用數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使繁難問題得到簡(jiǎn)化.常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).9．【答案】BD【分析】利用眾數(shù)、極差、平均數(shù)與百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，1，1，2，2，4，4.對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，極差為，故B正確；對(duì)于C，平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤：對(duì)于D，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1，故D正確.故選：BD.10．【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)ABC：利用基本不等式化簡(jiǎn)整理求解即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)D：利用作差法判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，由基本不等式得，即，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，，即，由基本不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，又，得，所以，所以選項(xiàng)D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的多面體，利用正四面體的性質(zhì)、線面角的定義、球的截面圓的性質(zhì)，以及多面體的側(cè)面展開圖，結(jié)合棱錐的表面積公式、球的表面積公式逐項(xiàng)判斷，即可得解.【詳解】解：該半正多面體的表面積為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，該半正多面體的所在的正四面體邊長(zhǎng)為，可求得高為，

，設(shè)點(diǎn)在平面的射影為，如上圖，由比例關(guān)系可得，設(shè)與平面所成角為，則，選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C中，該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，如上圖，記球心為，半徑為，的中心為，連接、、、，由等邊的邊長(zhǎng)為，可得，在正四面體中，可得，所以，，設(shè)，因?yàn)?，可?即，解得，即，所以，故該半正多面體外接球的表面積為，選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D中，該半正多面體的展開圖如上圖所示，，，，，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12．【答案】2【分析】利用正切的兩角和公式將展開整理可得.【詳解】因?yàn)椋淼?，所?故答案為：213．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，，所以，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，由圖可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.

故答案為：14．【答案】28；【分析】設(shè)古樹高度為，表示出，利用，結(jié)合余弦定理列方程求解．【詳解】設(shè)古樹高度為，則，由得，由余弦定理得，解得，即為28米．故答案為：28．15．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，即可求出函數(shù)解析式；（2）首先表示出，從而確定其對(duì)稱軸，依題意得到或，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋院蜑殛P(guān)于的方程的兩根，且二次函數(shù)的開口向上，則可設(shè)，，即，由的圖象過點(diǎn)，可得，解得，所以，即.（2）因?yàn)?，?duì)稱軸，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)函數(shù)，所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.16．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明四邊形為矩形，求出，結(jié)合勾股定理和線面垂直的判定定理即可證明；（2）證出平面，由，利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】（1）連接.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以四邊形為矩形，則.因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，，所以.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以.又平面，所以平面.（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平?因?yàn)?，所以?因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以，則.故多面體的體積.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式計(jì)算即可；（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對(duì)，分四種情況計(jì)算可得答案.【詳解】（1）設(shè)甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞為事件，.（2）設(shè)事A＝“甲第一輪猜對(duì)”，B＝“乙第一輪猜對(duì)”，C＝“甲第二輪猜對(duì)”，D＝“乙第二輪猜對(duì)”，E＝““九章隊(duì)”猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞”，所以，則，由事件的獨(dú)立性與互斥性，得，故“九章隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率為．18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角公式可得，再根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化可得解；（2）由余弦定理可得，再利用等面積法可得角分線的長(zhǎng)度.【詳解】（1）由，則，即，再由正弦定理可知，即，則，又，則，所以，，又，所以；（2）由，，則，即，解得，又為的平分線，則，所以，即，所以，解得.19．