第六章氣體動(dòng)理論

第二

篇熱學(xué)

熱學(xué):研究熱現(xiàn)象宏觀規(guī)律及微觀本

質(zhì)。

熱力學(xué)系統(tǒng):大量粒子（如原子、分子）

組成的物質(zhì)體系。

熱力學(xué):不注重物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，只根

據(jù)觀察和實(shí)驗(yàn)所得熱力學(xué)規(guī)

律，

用邏輯推理方法研究系統(tǒng)在

物態(tài)變化過(guò)程中有關(guān)熱功轉(zhuǎn)

換等。

（可檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)微觀

理論正確性）

氣體動(dòng)理論:從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，依

據(jù)力學(xué)規(guī)律，用統(tǒng)計(jì)方

法來(lái)推求宏觀量與

微觀量統(tǒng)計(jì)平均值間的關(guān)系，解釋宏

觀熱現(xiàn)象及有關(guān)規(guī)律的

微觀本質(zhì)。

（可揭示微觀機(jī)制使熱

力學(xué)理論獲得更深刻的

意義）

第六章氣體動(dòng)理

論

本章以理想氣體為研究對(duì)象，從氣體

分子無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng)出發(fā)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法研

究大

量氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律，給出微觀

模型解釋。

基本要求

*從宏觀和統(tǒng)計(jì)意義上理解壓強(qiáng)、溫

度、內(nèi)能等概念。

*理解理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公

式，推導(dǎo)氣體壓強(qiáng)公式，

了解從模型、統(tǒng)計(jì)平均、宏觀量與

微觀量到宏觀量的微觀本質(zhì)。

*了解玻耳茲曼能量分布律，麥克斯韋

速率分布律及速度分布函數(shù)

和速率分布曲線的物理意義。

*了解氣體分子平均碰撞頻率及平均

自由程。

教學(xué)內(nèi)容

§6-1理想氣體物態(tài)方程

§6-2理想氣體的壓強(qiáng)和溫度

§6-3能量均分定理和理想氣體的

內(nèi)能

§6-4分子的速率分布和能量分布

§6-5氣體分子的碰撞

作業(yè)

6-02）、6-04）、6-06）、6-08）、6-10）

6-13）>6-15）、6-16）、6-18）、6-19）、

6-23）、6-26）、6-29）、6-31）、6-33）。

助教

§6-1理想氣體物

態(tài)方程

一氣體的狀態(tài)參量

對(duì)一定量氣體，其宏觀狀態(tài)可用氣體體

積V、壓強(qiáng)P、溫度T來(lái)描述，這三個(gè)

物

理量稱為氣體的狀態(tài)參量。

1體積：

盛氣體容器的容積，

SI制：米3(m,常用：升(L)

1m3=1000L

2壓強(qiáng)：

大量氣體分子頻繁碰撞容器壁產(chǎn)

生的平均效果的宏觀表現(xiàn)，

與分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的頻繁程度

和劇烈程度有關(guān)。

國(guó)際單位制:帕斯卡（Pa）,常用：

厘米汞高、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓等，

IcmHg（厘米汞高）=

1.333X103Pa

latm（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）=

76cmHg=1.013X105Pa

3溫度：

*熱力學(xué)第零定律:

設(shè)系統(tǒng)A和B原處在各自的平衡

態(tài)，讓它們互相接觸，熱傳遞，最

后必達(dá)到一

個(gè)共同熱平衡態(tài)。

當(dāng)A和B分別與系統(tǒng)C處于熱平

衡，那么A和B必處于熱平衡。

*溫度：處于同一熱平衡態(tài)的所有

熱力學(xué)系統(tǒng)都具有某種共同的宏觀性

質(zhì)，描述這

個(gè)宏觀性質(zhì)的物理量就是

溫度。

*國(guó)際單位制:開(kāi)爾文，符號(hào)K（熱

力學(xué)溫標(biāo)）

*攝氏溫標(biāo)與熱力學(xué)溫標(biāo)的關(guān)系:

7^273.15

二平衡態(tài)

氣體的狀態(tài)參量不隨時(shí)間而變化，這

樣的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。

平衡態(tài)是一理想的熱動(dòng)平衡狀態(tài)。

三理想氣體物態(tài)方程

1.理想氣體的微觀模型：分子沒(méi)有大

小，可看成彈性質(zhì)點(diǎn)，除碰撞外分子間

沒(méi)有作

用力，由這種運(yùn)動(dòng)著的彈性分子組

成的氣體叫做理想氣體。

2.理想氣體物態(tài)方程：

一定量的理想氣體處于平衡態(tài)

時(shí)，狀態(tài)參量滿足

PV=vRT

(6-1)

上式稱為理想氣體物態(tài)方程。

式中：R=8.31J?moL?父1為

普適氣體常量，

—mN

v一立一瓦為氣體的摩爾數(shù)，

其中:3為氣體質(zhì)量，M為氣體摩

爾質(zhì)量，N為氣體分子數(shù)，

NA=6.02X1023mol-i為阿

伏加德羅常量。

可寫成：

P=-

VNA

或：

P=rrkT(6-2)

N

式中："=歹稱為氣體分

子的數(shù)密度；

"一=1.38X10-23J?KT為玻耳茲

曼常量。

注意：

1.理想氣體的宏觀模型：密度不太高、

溫度不太低，壓強(qiáng)不太大時(shí)，相當(dāng)

好地遵從

氣體實(shí)驗(yàn)定律（玻意耳定律、查理定

律和蓋-呂薩克定律）的氣體叫理想氣

體。

實(shí)際上，這兩種模型是一致的。

2.理想氣體物態(tài)方程的適用條件：（1）

理想氣體（2）處于平衡態(tài)

3.摩爾定義為：（1）摩爾是一物系的

物質(zhì)的量，該物系中所包含的結(jié)構(gòu)

粒子與

12克碳12的原子數(shù)目相等。（2）在

使用摩爾時(shí)應(yīng)指明結(jié)構(gòu)粒子，它可以

是

原子、分子、離子、電子以及其它

粒子，或是這些粒子的特定組合體。

由此

可見(jiàn)，物質(zhì)的量實(shí)際上就是粒子數(shù),

更確切地講，它是以12克碳中原子的

數(shù)

目（其測(cè)量值即阿伏加德羅常數(shù)）

為單位表示的粒子數(shù)。

§6-2理想氣體壓強(qiáng)公式

和溫度公式

一統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本特征

大量的偶然無(wú)序的分子熱運(yùn)動(dòng)包含著

一種規(guī)律性—統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律例子：

*擲骰子：每次擲出的數(shù)字都是隨機(jī)

的，大量投擲時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)各種數(shù)

值出

現(xiàn)的比率，會(huì)隨投擲次數(shù)

的增加而逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定的分

布。

*電子單縫衍射實(shí)驗(yàn)：

加速的電子垂直射向一條細(xì)縫的

擋板，使電子一個(gè)一個(gè)不連續(xù)地通過(guò)單

縫到達(dá)底板上，當(dāng)電子數(shù)目很少

時(shí)，顯示電子位置的感光點(diǎn)將是分散的

和毫無(wú)規(guī)則的；隨電子數(shù)目增多,

感光點(diǎn)分布逐漸顯現(xiàn)一定規(guī)律性--電子

衍射條紋。

2.統(tǒng)計(jì)平均值和分布函數(shù)（統(tǒng)計(jì)規(guī)律描

述常用）：

理想氣體壓強(qiáng)公式和溫度公式及能

量均分定理等用統(tǒng)計(jì)平均值描述。

麥克斯韋分子速率分布律等是用統(tǒng)

計(jì)分布函數(shù)來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

3.兩個(gè)常用的平均值計(jì)算公式

f+g=f+g

（物理量的和的平均值等于物

理量的平均值之和）

cf=cf

（物理量與常數(shù)積的平均值等

于物理量平均值與常數(shù)之積）

二理想氣體的微觀模

型和統(tǒng)計(jì)性假設(shè)

1.理想氣體的微觀模型

*分子永不停息地?zé)o規(guī)運(yùn)動(dòng)，頻繁碰

撞；

*分子體積可忽略不計(jì)，采用質(zhì)點(diǎn)模

型；

*除碰撞瞬間外，分子與容器壁及分

子間相互作用力忽略不計(jì)；

*碰撞屬于完全彈性碰撞。

2.氣體的平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)性假設(shè)-----等概率

原理和各向同性

平衡態(tài)下：(1)在容器內(nèi)任意位置

處，單位體積內(nèi)分子數(shù)目相同。

(2)向各方向運(yùn)動(dòng)氣體

分子數(shù)相同，即分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的

概率相同，具有運(yùn)

動(dòng)各向同性。

3.氣體分子速度分量的方均值

據(jù)假設(shè)推斷分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的速

度分量的各種平均值應(yīng)相等。

例如:沿X、產(chǎn)2方向速度分量的方均

值應(yīng)相等。

速度分量的方均值定義為該方向

上速度分量平方的平均值，為:

文Z姿z

_一=1Z=1

-7V-

有：

22

--TZ---1Z

y-n

由：

22,2,22,2,2

V=Vx+Vy+Vz=Vx+Vy+Vz

有:

叱2

=叱2=叱2

:yn3

理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)

如圖討論S面上所受到的壓強(qiáng)。

設(shè)氣體共有N個(gè)分子，分子的質(zhì)量均

m

為o

設(shè)分子/以速度｛"*%,匕2｝運(yùn)動(dòng)

（匕%>0）并與S面碰撞，

一次碰撞中一個(gè)分子給s面的沖量為

2mvix.

碰撞周期為，頻率為2x;

單位時(shí)間內(nèi)給S面的沖量為：

vmv2

2"tiz?<=——工

IX

2xx

氣體的N個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)給S面

的沖量一平均沖

力廣為：

N2N

Vmv^=mv2

i=l%%,=1

>NV2

i=l

按N以及

v2

|72

3,

平均沖力為:

壓強(qiáng)為:

FFmN，mN，

P=

~Syz3xyz3V

是氣體

的分子數(shù)密度）

即：

P=—nmv2

3

(6-3)

由平均平動(dòng)動(dòng)能

2

7t=-rny=-rm^

’22,可得:

P=—rb￡

3-t

(6-4)

—理

想氣體的壓強(qiáng)公式

注意：

(1)公式的物理意義

由公式可知，P正比于n和J，由于務(wù)

具有統(tǒng)計(jì)平均的物理意義，公式不是

單純的力學(xué)規(guī)律，具有力學(xué)規(guī)律和統(tǒng)

計(jì)規(guī)律的雙重特性。

(2)壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)

氣體壓強(qiáng)產(chǎn)生的原因，不是因?yàn)闅怏w

分子有重量，而是由于氣體分子作無(wú)規(guī)

則

熱運(yùn)動(dòng)，與器壁不斷碰撞而產(chǎn)生的(即

所有分子單位時(shí)間施于單位器壁面積的

總平均沖量)

(3)公式適用條件

氣體壓強(qiáng)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，是大量

分子對(duì)時(shí)間、對(duì)面積的一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值,

因此對(duì)個(gè)別分子或少量分子不能說(shuō)產(chǎn)

生的壓強(qiáng)有多大，也不能用此公式。公

式

只適用于大量分子組成的系統(tǒng)，而大

量分子集體行為遵守統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

(4)在公式推導(dǎo)過(guò)程中，并沒(méi)有考慮

氣體分子之間的碰撞，也沒(méi)有考慮氣體

分

子與器壁分子之間的相互作用力，如

考慮這些因素，對(duì)所得結(jié)果沒(méi)有影響。

壓強(qiáng)公式的結(jié)果與推導(dǎo)時(shí)所采用容器

的形狀無(wú)關(guān)。

例6—1某理想氣體壓強(qiáng)尸=1.00X10

-3atm,密度『=1.24XI。一

3kg/m3,

求：氣體分子的方均根速率（即

方均速率的平方根）。

若該氣體為雙原子理想氣

體，且溫度為t=0℃,

問(wèn)該氣體是何種氣體？

Q2

解：按壓強(qiáng)公式尸=5mmz，方

均根速率為：

不[3P

nm

氣體密度P與分子數(shù)密度n

和分子質(zhì)量&的關(guān)系為：

p=nm

將其代入上式，即得：

K府3x1.00x1。-3x1,13x12:495口

VP\1.24x10-3

由理想氣體的物態(tài)方程

m

pV=——RT

M,可得：

RT_pV_p

Mmp

故氣體的摩爾質(zhì)量為：

M=也

p

1.24X10~3X8.31X273

=---------------------七28x

1.00X10~31.013X105

所以，該氣體是N2或CO。

四理想氣體的溫度公式

2——

由尸=三〃巴和

P=nkT(玻耳茲曼常量)

消去壓強(qiáng)P,可得：

—￡=—3k…T

't2

(6-5)

—平衡態(tài)下理想

氣體的溫度公式

注意：

(1)氣體溫度的統(tǒng)計(jì)意義

公式表明宏觀溫度的本質(zhì)是與微觀分

子的平均平動(dòng)動(dòng)能相聯(lián)系的，是大量分

子平均

平動(dòng)動(dòng)能的量度。溫度是分子無(wú)規(guī)熱

運(yùn)動(dòng)的劇烈程度的宏觀標(biāo)志，

(2)由于0是物質(zhì)內(nèi)部大量分子熱運(yùn)動(dòng)

的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)平均的物理意義,

所以

溫度對(duì)個(gè)別分子是無(wú)意義的，對(duì)個(gè)別

分子也無(wú)法求得它的平均平動(dòng)動(dòng)能，公

式對(duì)象是

由大量分子組成的理想氣體，對(duì)少量

分子不成立。

例6-2溫度姑=300K的氣體分子的平

均平動(dòng)動(dòng)能為多少電子伏特？

解:按照溫度公式(6-5)

一33

—左T=—xL38xW23x300(J)

3x1.38x10-23*300

2

二一0B—(eV)=3.88xl0(eV)

2x1.6x10

(只有百分之幾個(gè)電子

伏特)

§6-3能量均分定理和理

想氣體的內(nèi)能

—3

溫度公式仃表明平衡態(tài)下分子

平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系。

實(shí)際氣體分子都有一定的結(jié)構(gòu)，除平

動(dòng)外，還存在轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)等，

都具有相應(yīng)的能量。

一自由度

確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立

坐標(biāo)數(shù)，叫做這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)自由度數(shù)。

單原子分子

平動(dòng)自由度-3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度廣。總

自由度

剛性雙原子分子

平動(dòng)自由度-3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度42,總

自由度/=5;

非剛性雙原子分子

平動(dòng)自由度-3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度42,振

動(dòng)自由度s=l，總自由度i=6;

剛性多原子分子

平動(dòng)自由度t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度尸3,總

自由度1=6。

非剛性多原子分子（設(shè)有n個(gè)原子組

成，則有3n個(gè)自由度）

平動(dòng)自由度—3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度廠為振

動(dòng)自由度s=%-6,總自由度i=3n;

二能量均分定理

*一個(gè)分子的平動(dòng)動(dòng)能為:

心=!帆匕2/（云+琮+丈

*大量分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為:

—121,222\12

8=

t—Cmv=—ml\vxr+vyv+z)1=—、mvxv+

由于

22y2

分配）

按1=2上7,可得每個(gè)自由

度的平均平動(dòng)動(dòng)能為：

r1

工2工2工2,7T

—mv^——mv,=—mv,=—KT

22yy22

*推廣:

推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)，分子運(yùn)動(dòng)每個(gè)

1

自由度都均分萬(wàn)人丁平均動(dòng)能。

能量按自由度均分定理（可由經(jīng)典

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)證明）：在溫度為T的平衡狀

態(tài)下，物質(zhì)（氣體、液體或固體）分

子的每一個(gè)自由度都具有相同的平

1,一

均動(dòng)能，其大小等于萬(wàn)^7。

注意:

（1）能量均分定理是關(guān)于分子熱運(yùn)動(dòng)的

統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是對(duì)大量分子進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平

均所得結(jié)果，對(duì)個(gè)別分子是不適用

的。只有大量分子才能通過(guò)無(wú)規(guī)則熱運(yùn)

動(dòng)

所引起的碰撞來(lái)實(shí)現(xiàn)能量按自由

度均分。

(2)分子平均動(dòng)能

若某氣體分子有t平動(dòng)、r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)、

s個(gè)振動(dòng)自由度，

分子的平均動(dòng)能=

t+r+SkT

2(6-6)

(3)分子的平均能量

分子的平均能量=分子的平均

動(dòng)能+分子中原子的平均振動(dòng)勢(shì)能

由振動(dòng)學(xué)知：在一個(gè)周期內(nèi)，諧振

動(dòng)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能是相等的。

因此若分子的平均振動(dòng)動(dòng)能為

kT

2,則平均振動(dòng)勢(shì)能也等于

—kT

2。

分子的平均能量

t+r+2skT=-KT

22

其中

i=t+r+2s

三理想氣體的內(nèi)能

氣體的內(nèi)能=所有分子的平均能量

+所有分子間的相互作用勢(shì)能。

理想氣便不考慮分子間相互作用和

分子中原子的振動(dòng)，因此

理想氣體內(nèi)能=所有分子的平均能

量之和。

一個(gè)分子的平均動(dòng)能=

t+r+sI—

------------kl

2

一個(gè)分子的平均能量=

t+r+2skT=-KT

22

一摩爾理想氣體的內(nèi)能=

t+r+2si

NA-----------------

iyA2kT=—2RT

m千克理想氣體的內(nèi)能E=

ffiiii

------RT=v—RT=—PV

M222

(6-7)

理想氣體的內(nèi)能只取決于溫度，即

內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。

內(nèi)能的變化

ZLE=x^—RAT

2(6-8)

或記作

*

▲石=PV)

(與狀態(tài)變化所經(jīng)歷

的具體過(guò)程無(wú)關(guān))

例6-3一容器內(nèi)有理想氣體氧氣，p=

l.OOatm,t=27.0℃,V=

2.00m3o

求：⑴氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

(2)氧分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)

能J；

(3)氧氣的內(nèi)能。

解氧分子為雙原子分子，自由度》=

5,其中，平動(dòng)自由度,=3,

轉(zhuǎn)動(dòng)自由度尸=2。

由能量均分定理和理想氣體的內(nèi)能

公式可得：

(1)氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與為：

-33”

￡t=—xl.38xio-23x(2

22

=6.21X10-21J=3.88xlO-2eV

(2)氧分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能卻為：

—22—01

￡Y=—kr=—￡t=4.14x10—21)二

23

⑶容器內(nèi)氧氣的內(nèi)能為：

??二

E=v—RT=—pV=—x1.013x105x2.00=5

222

例6—4一摩爾的水蒸氣分解成同溫

度的氫氣和氧氣，

求：分解前后的平均平動(dòng)動(dòng)能

比和內(nèi)能比。

（設(shè)分解前后的氣體均為

剛性理想氣體分子）

M：由化學(xué)方程式2H2。-2H2+O2

Imol的水蒸氣將分解成Imol的

氫氣和0.5mol的氧氣。

H2O（多原子分子）自由度,

=6,

凡和。2（雙原子分子）自由度

，=5O

（1）因分解后氣體的溫度未變，平動(dòng)

自由度r=3也未變，

故分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為

It=—kT/?、

2（不變）

分解前后：

N土2

（2）分解前，水蒸氣的總內(nèi)能為:

?J

E^v—RT^lx—RT^3RT

}22

分解后，氫氣和氧氣的總內(nèi)能

為：

55r

E2=EH2+石Q=lx—^+0.5x—^

故分解前后的內(nèi)能比為：

El3RT丑

石215RT5

4

§6-4分子的速

率分布和能量分布

理想氣體的壓強(qiáng)、溫度、分子平均平

動(dòng)動(dòng)能等物理量都屬于統(tǒng)計(jì)平均值，

下面將用分布函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)

規(guī)律，具體討論分子的速率分布。

一分子的速率分布

用分布函數(shù)表示統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律

有：

離散值的方式（例如：擲骰子中

的統(tǒng)計(jì)規(guī)律）；

連續(xù)值的方式（例如：氣體分子

速率分布規(guī)律）。

（1）擲骰子描述

假設(shè)擲了N次，其中出現(xiàn)匕值次數(shù)

有M次（，可取1,2,3,4,5,6）,

比率為：

叱=乂

'N

當(dāng)N充分大時(shí)，這個(gè)比率趨于一

個(gè)穩(wěn)定值—數(shù)值1的分布函數(shù)。

意義：

擲出數(shù)值5的次數(shù)”占總投

擲次數(shù)N的比率；

任意投擲一次，擲出數(shù)值為上

的概率。

只要N充分大，出現(xiàn)各為的概

率肯定是無(wú)限接近，

且滿足歸一化條件：

畢鵬;r\(6.10)

(即全部事件的總概率是

1)

(2)分子速率分布函數(shù)

反映一定質(zhì)量的理想氣體在熱平衡

狀態(tài)下，分布在各個(gè)速率附近單位速率

區(qū)間內(nèi)

的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率的規(guī)

律叫做速率分布律。

假設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為N,在速率

o?Hdo之間的分子數(shù)為dN,

則：v-v+dv間的分子數(shù)占系統(tǒng)總分

子數(shù)的比率或概率為：

,dN

ClW---

N

它的含義也可表為：任意一個(gè)分子，

它的速率處于0?o+do之間的概率。

由于〃川和改成正比，通常用

dw_dN

蘇=而反映速率分布，定義：

速率分布函數(shù)：

、dwdN

f(v)==-----

dvNdv(6-H)

/(v)物理意義：任意一個(gè)分子，它的

速率出現(xiàn)在速率。處單位速率區(qū)間內(nèi)的

概率。

或者說(shuō)在速率。附近，單

位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)在總分子數(shù)中的

比率。

*分子速率分布函數(shù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

1）v~v+dv區(qū)間的分子數(shù):

dN=A5r

v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)

dN

=fMdv

中的比率

幾何意義：/.）曲線下一個(gè)

微元矩形的面積。

2）匕?「2區(qū)間的分子數(shù):

AN=J平（v”v

V2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中

的比率為：

夕=r/（->

NJvi

（幾何意義為：八口曲線下

Vl-V2區(qū)間的面積）

3）歸一化條件:

令匕=°,%=00則：

AN=N

故有：

（6-⑵

（幾何意義為：,（叱）曲線下

的總面積為1)

二統(tǒng)計(jì)平均速率

計(jì)平均町面討論用統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)求統(tǒng)

為假定某量有?個(gè)測(cè)量值,測(cè)量結(jié)果

值為勺的有M

個(gè)，為*2

個(gè)，……為居的有名

的有能

*該量的個(gè),

全部加起來(lái)，再除了測(cè)量總次數(shù)N,

就可得”;

k

2）與W/，?意味每一種測(cè)量值先乘以

它出現(xiàn)的概率，再把每一種測(cè)量值

與它對(duì)應(yīng)的概率的乘積加起來(lái)得

至！I%o

（兩種方法計(jì)算的結(jié)果一

樣）

*同理，該量測(cè)量的方均值（先平方后

再求平均值）為：

k

kNk

”—I

?Az—叱

Ni=l

(6-14)

（對(duì)于總分子數(shù)％很大的平衡態(tài)氣

體）

1.分子的平均速率:

?OO

Nv?dNjv.Nf(v)dv

i=i10

Ev二-------------------

NNN

(6-15)

2.方均速率與方均根速率:

?OOc

2

|v?dN_「v?.Nf{y}d?

v2o

~~NN

=J7/?f(v)dv

(6-16)

Vv^=JJV2-f(v)dv

(6-17)

3.最概然速率(速率分布函數(shù)的峰

值速率)：

根據(jù)求極值的方法，令：

d

--f(v)=O

av

(6-18)

即可求出PO

(?、

的特征速率)

例6-5由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，平衡

態(tài)下粒子速率分布曲線如圖。

試求:(1)速率分布函數(shù)；

(2)速率在O-Vo/2范

圍內(nèi)的粒子數(shù)；

(3)粒子的平均速率、

方均根速率和最概然速率。

伍）

解:（1）按圖示的速率分布曲線形狀,

有：

kv(v<v)

/（V）=o

O(v>vo)

由速率分布函數(shù)的歸一化條件:

?OO/*VQ

f(y)dv=Ikvdv=5牖=1

0Jo

可得:

^=4

V。

故速率分布函數(shù)為:

2y

/Ci)

o

（2）由dN=Nf（y）dv,速率在

0~v。

2范圍內(nèi)的分子數(shù)為:

Jo%

2Nf(v)dv=J2N-^-dv=J

AN=

oo

vyf

⑶由o和

/?OO

2

二IVy（v）＜s/v

Jo,可得:

*平均速率為：

-「心2v2

=~vo

v。3

*方均速率為：

__V7

2f°22VVQ

JoVQ2

*方均根速率為：

幣=與丫0

*最概然速率“P（川）具有最大

值，由圖中的速率

分布曲線可得）：

Vp=%）

三麥克斯韋速率分布

1.由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理理論，可導(dǎo)出平衡

態(tài)理想氣體分子速率分布函數(shù)

m

/”)=4TT(2V矢

2jvkT

(6-19)

麥克斯韋速率分布函數(shù)

式中：T為熱力學(xué)系統(tǒng)的溫度，

a為氣體分子的質(zhì)量，

A為玻耳茲曼常量。

（不僅是速率0的函數(shù)，還與分子質(zhì)量a

和溫度丁有關(guān)）

/(v)

3)同種氣體,不同溫度(b)同一溫

度,不同氣體(c)三種速率的比較

圖6-6麥克斯韋速

率分布曲線

2.由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得平衡

態(tài)下理想氣體：

*最概然速率:

(6-20)

*平均速率:

—_\3kT8RT

V7UTIy

(6-21)

*方均根速率:

3kT3RT

V-3m~VM

(6-22)

可見(jiàn):

1)三個(gè)特征速率

和"成正比，和M成反比。

當(dāng)溫度7和摩爾質(zhì)量"相同

時(shí)，有：

:V：口=1.41：1.60:1.73

2）應(yīng)用：

在討論速率分布時(shí)用最概

然速率；

在計(jì)算平均自由程時(shí)用平

均速率；

在計(jì)算平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用

方均根速率。

3）麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

（1956年密勒一庫(kù)什實(shí)驗(yàn)）：

S是熾熱的牡分子射線源，C是

可繞中心軸旋轉(zhuǎn)的鋁合金圓柱體，

S'是根據(jù)電離計(jì)原理制成的分子射

線探測(cè)器，

可通過(guò)短分子電離空氣產(chǎn)生電

流大小，測(cè)出進(jìn)入探測(cè)器鉉分子射線強(qiáng)

度。

實(shí)驗(yàn)表明:

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與麥克斯韋速率分

布符合得相當(dāng)好！

例6-6對(duì)于給定的理想氣體，

試求：v二寸，2Vp和3Vp的速

率附近與最概然速率，的

附近相比，在△。相同

的速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比。

解由"=可9)小，可得任意

v?v+Av速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

pv+Av

△N=Nf(v)dv

Jv

當(dāng)很小時(shí)，/(V)在該速率

區(qū)間內(nèi)近似不變，

可將上式簡(jiǎn)化為：

A7V=7\5f(v)Av

因而，當(dāng)速率分別為。和即時(shí)，

由乙。相同，有：

NN=<(v)Av=f(v)

"Nf(vp)Av"/(Vp)

理想氣體的分子速率，遵守麥克

斯韋速率分布，

由

可得:

7TZV2

2

A7V=JO)_ve2仃

7TZV2

"P/(小2

ve2仃

p

[2kT

以最概然速率。1匕丁代入上

式，又有：

<\2—

1——

A7V_(y]2「<PJ

zVZVp[vpJ

vD

V=-----2"p和3Vp代

分別以2,

入上式，可以算出：

_vp

時(shí),

3

==53%

必4

v=2vP時(shí),

=4e-3=19.9%

v=3vp時(shí),

8=0.302%

必

顯然，速率越偏離最概然速率,

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少。

（注意：麥克斯韋分子速率分布沒(méi)有

涉及力場(chǎng)對(duì)氣體分子的影響）

四玻耳茲曼能量分布

將麥克斯韋速率分布函數(shù)

T1

「/、..TYI、3/22—二

/“)=4H)1ve

2成1

代入dN=Nf

得：

m)3%』/仃4郎2d

dN=N(lz

2兀kT

(6-23)

式中：

121/222x

=-mv=-m(yx+v+vz}

22

為分子的動(dòng)能。

在保守力場(chǎng)，有動(dòng)能和勢(shì)能，式中

應(yīng)用粒子總能量￡=4+%

代替。

而：動(dòng)能是速率的函數(shù)

4=4⑺，

勢(shì)能是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)

玻耳茲曼運(yùn)用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本原理

得：

分子速度處于匕?匕+"匕，

?匕?匕+4匕區(qū)間，

坐標(biāo)處于x~x+dx,y?y+dy,

z~z+dz的空間體積元dv=dxdydz內(nèi)的

分子數(shù)為；

2k+￡夕

m

dN=%()3/2/F-dvA

0271kl"

或：

m

-引kTdVdVdv(

dN=%(/e汽yyz

2欣T

(6-24)

—麥克斯韋一玻耳茲曼能

量分布律(簡(jiǎn)稱玻耳茲曼能量分布律)

式中：為表示在勢(shì)能處

單位體積內(nèi)所含各種速度的分子數(shù)。

討論:

1）對(duì)位置積分可回到麥克斯韋速率

分布：

麥克斯韋速率分布是玻耳茲曼能

量分布律的一個(gè)直接結(jié)果。

2）當(dāng)溫度給定時(shí)在確定速度區(qū)間和

坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)，

-slkT

分子數(shù)只取決于因子e-

一概率因子。

說(shuō)明:能量越大，概率因子越小，

分子數(shù)就越少。

氣體分子占據(jù)能量較低狀態(tài)

概率，比占據(jù)能量較高狀態(tài)概率大。

占據(jù)基態(tài)概率比占據(jù)激發(fā)態(tài)

概率大得多。

3）氣體分子在重力場(chǎng)中按高度分布的

規(guī)律

根據(jù)玻耳茲曼能量分布律，可以

推出:

mgh/kT

n=noe-

(6-25