專題04 三角函數(shù)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第INET：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．四、兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（冪）公式知識(shí)點(diǎn)四：半角公式七、輔助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱中心對(duì)稱軸方程無(wú)注：正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離；九、與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（4）對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．【三角函數(shù)常用結(jié)論】1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、兩角和與差正切公式變形；．4、降冪公式與升冪公式；．5、其他常用變式．6、拆分角問(wèn)題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為一、單選題1．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】展開(kāi)并同時(shí)平方，結(jié)合二倍角的正弦公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】展開(kāi)得，兩邊同時(shí)平方有，即，解得，故選：B.2．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B3．（2024·重慶·三模）已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)和同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得或舍，則故選：C4．（2024·浙江·三模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式展開(kāi)，即可得到，再兩邊同除，最后結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，兩邊同除可得，所?故選：C5．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系，解出，再結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以．故選：B.6．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由，可得，可得則，因?yàn)?，所以與異號(hào)，可得為第二或第四象限，當(dāng)為第二象限角時(shí)，可得；當(dāng)為第四象限角時(shí)，可得.故選：C.7．（2024·山東青島·三模）為了得到的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】，由誘導(dǎo)公式可知：又則，即只需把圖象向右平移個(gè)單位.故選：A8．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于（1），由，所以不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，所以（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2）中，由，所以不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，所以（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3）中，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以在內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以（3）正確；對(duì)于（4）中，由，可得，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以（4）錯(cuò)誤.故選：A.9．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】借助對(duì)已知化簡(jiǎn)，可求出的值，再由可解.【詳解】因?yàn)?，即，所以，整理得，變形得，所?故選：C10．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由圖像以及題意求出的解析式，從而得，，進(jìn)而依據(jù)它們的角的關(guān)系結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.【詳解】由圖可知，由可知，故，又由圖，故由圖，①，由圖，②，又，結(jié)合①②可得，故，所以.故.故選：D.11．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由得，即，所以，故選：D12．（2024·江西九江·三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則原等式可化為，化簡(jiǎn)后求出即可.【詳解】令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.13．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B．是的一個(gè)對(duì)稱中心C．在上值域?yàn)镈．將的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為【答案】C【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)由函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.【詳解】由函數(shù)，對(duì)于A中，當(dāng)，可得，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，所以，所以，即，所以C正確；對(duì)于D中，將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為，所以D錯(cuò)誤.故選：C.14．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在區(qū)間恰有3條對(duì)稱軸，所以，解得，故選：D.15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則周期的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)求出零點(diǎn)的表達(dá)式，結(jié)合已知條件，求出的最大值，從而可求周期的最小值．【詳解】，令得，所以，，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以，只需且，解得，令得，得，因?yàn)?，所以的取值范圍，所以周期的最小值是，故選：．二、多選題16．（2024·山東威海·二模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱C．在上有兩個(gè)零點(diǎn)D．【答案】BCD【分析】由可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，可判斷AB；整體代入法求出函數(shù)零點(diǎn)即可判斷C；求出，結(jié)合周期可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由上知，的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，由得函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，所以，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，所以因?yàn)榈淖钚≈抵芷?，所以，D正確.故選：BCD17．（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) D．在單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】由最小正周期大于，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，可知，對(duì)于，直接代入函數(shù)解析式求解即可；對(duì)于，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；對(duì)于，通過(guò)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為，求得的值，并判斷左右兩端函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于，通過(guò)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷诖笥?，所以，即，又關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，由且是全體實(shí)數(shù)，所以是偶函數(shù)，故正確；對(duì)于，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故正確；對(duì)于，由，，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確.故選：.18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．不等式的解集為D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】對(duì)于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解，對(duì)于B，由，可求出對(duì)稱軸方程判斷，對(duì)于C，由求解即可，對(duì)于D，先由求出的遞增區(qū)間，再由為函數(shù)增區(qū)間的子集可求出的取值范圍.【詳解】對(duì)于A，的最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，不等式可化為，則，解得，因此原不等式的解集為，故C正確；對(duì)于D，由，，解得.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，故D正確.故選：BCD19．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．方程的解為，【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期及、、，進(jìn)而求出解析式，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，由，所以，因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，則，所以，故B正確；對(duì)于C，，由，得，而，即時(shí)，沒(méi)有意義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，方程，得，即，即，所以或，因?yàn)?，，所以或，解得或，故D正確.故選：ABD.20．（2024·河南·三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的圖象可由的圖象平移得到B．在上單調(diào)遞增C．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．圖象的一條對(duì)稱軸為直線【答案】BD【分析】先由輔助角公式和周期公式計(jì)算得到，由圖象平移的性質(zhì)可得A錯(cuò)誤；由整體代入結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；代入可得C錯(cuò)誤；整體代入結(jié)合余弦函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)可得D正確；【詳解】，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，A：由以上解析式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最小值，所以圖象的一條對(duì)稱軸為直線，故D正確；故選：BD.21．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若，則D．將的圖象往右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到函數(shù)的圖象【答案】AD【分析】對(duì)于A，利用周期公式直接計(jì)算判斷，對(duì)于B，將代入函數(shù)驗(yàn)證，對(duì)于C，由求出，再將代入函數(shù)計(jì)算，對(duì)于D，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷.【詳解】對(duì)于A，的最小正周期為正確.對(duì)于B，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，錯(cuò)誤.對(duì)于C，由，得，所以，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，將的圖象往右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到函數(shù)的圖象，D正確.故選：AD22．（2024·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)； B．是周期為的周期函數(shù)；C．在上單調(diào)遞增； D．的最小值為.【答案】AD【分析】利用偶函數(shù)的定義可判定A，利用周期的定義可判定B，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判定C，根據(jù)周期性及單調(diào)性可判定D.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；易知，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；易知，所以是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)，時(shí)，則的最小值為，故D正確.故選：AD23．（2024·安徽蕪湖·三模）已知，下面結(jié)論正確的是（

）A．時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若，且的最小值為，則C．若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】CD【分析】利用把相位看成一個(gè)整體，通過(guò)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可以做出各選項(xiàng)的判斷.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，而在不單調(diào)，故A是錯(cuò)誤的；對(duì)于B，，由的最小值為，則函數(shù)周期為，所以，解得，故B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦曲線可知，，解得：，故C是正確的；對(duì)于D，由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到：，由它關(guān)于軸對(duì)稱，可知：，解得：，當(dāng)時(shí)，，故D是正確的；故選：CD.三、填空題24．（2024·全國(guó)·二模）已知，則.【答案】/0.28【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式計(jì)算即可.【詳解】，得，解得或（舍）所以.故答案為：.25．（2024·安徽合肥·三模）已知，則.【答案】【分析】利用兩角和差的正切公式計(jì)算，再使用二倍角的正切公式即可.【詳解】由，且，得，整理得，解得（舍）或，所以．故答案為：.26．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所?故答案為：.27．（2024·黑龍江·三模）已知，則.【答案】/【分析】已知，由兩角和的余弦公式求得，再由兩角和的余弦公式求，倍角公式求.【詳解】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故答案為：.28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，則．【答案】3【分析】先結(jié)合二倍角的正切與兩角和的正切公式及角的取值范圍，得到，再利用倍角公式把轉(zhuǎn)化為齊次式求解.【詳解】由，得，即，又，所以，從而．故答案為：329．（2024·北京·三模）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則；若圓面恰好覆蓋圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)共3個(gè)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性分析可知，即可得結(jié)果；結(jié)合對(duì)稱性可知圓面在y軸右側(cè)僅覆蓋1個(gè)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，結(jié)合周期性列式求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，且，所以；可得，設(shè)的最小正周期為，因?yàn)楹途P(guān)于y軸對(duì)稱，可知圓面在y軸右側(cè)僅覆蓋圖象的1個(gè)最低點(diǎn)，對(duì)于，令，解得（不妨只考慮y軸右側(cè)，舍負(fù)）；可得，解得，且，則，解得，所以的取值范圍是，故答案為：；.30．（2024·河北衡水·三模）已知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個(gè)對(duì)稱中心，則的