實戰(zhàn)演練02 三次函數(shù)的圖像與性質（4大?？键c歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練02三次函數(shù)的圖像與性質①三次函數(shù)的零點②三次函數(shù)的極值、極值點③三次函數(shù)的切線④三次函數(shù)的對稱性一、三次函數(shù)概念定義：形如fxf'x=當Δ>0時，令f二、三次函數(shù)的圖像及單調性注：三次函數(shù)要么無極值點，要么有兩個，不可能只有一個！系數(shù)關系式fxf'fxaf'fx在Rfxaf'fx在Rfxa增區(qū)間?∞，減區(qū)間xfx極大值fx1a增區(qū)間x減區(qū)間?∞，fx極大值fx2三、三次函數(shù)的零點個數(shù)若三次函數(shù)fx性質三次函數(shù)圖像說明aa零點個數(shù)三個bf兩個極值異與圖像與x軸有三個交點兩個bf有一個極值為0圖像與x軸有兩個交點存在極值時一個bf不存在極值時，函數(shù)單調，與x軸有一個交點四、三次函數(shù)的韋達定理設fx=a(1)x(2)x(3)x(4)1五、三次函數(shù)的對稱性結論1三次函數(shù)fx=ax3+b結論2已知三次函數(shù)fx=ax3+結論3若y=fx圖像關于點m，n點對稱函數(shù)的導數(shù)是軸對稱函數(shù)，軸對稱函數(shù)的導數(shù)是點對稱函數(shù)奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)①三次函數(shù)的零點一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間內有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，依題意可得，解得即可.【詳解】因為，所以當或時，即在，上單調遞增，當時，即在上單調遞減，根據(jù)題意可得，即，解得.故選：A2．（2024·湖南長沙·一模）函數(shù)有3個零點的充分不必要條件是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】由題意可得函數(shù)有3個零點的充要條件為且，逐個選項分析其是否為且的充分不必要條件即可得.【詳解】，有，若有三個零點，則有且，故函數(shù)有3個零點的充要條件為：且，對A：，且，則當時，有，不符，故A錯誤；對B：可能，不符，故B錯誤；對C：且，則，不符，故C錯誤；對D：，且，則，即由，且能得到且，但且并不意味著，且，故，且是且的充分不必要條件，即是函數(shù)有3個零點的充分不必要條件，故D正確.故選：D.3．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個零點，，，有以下四種說法：①②③存在實數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列④存在實數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列則其中正確的說法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意設，根據(jù)，求導分析的單調性，進而數(shù)形結合分析，根據(jù)可判斷①，根據(jù)函數(shù)的極大值可判斷②，根據(jù)三次函數(shù)的對稱性可判斷③，舉例可判斷④.【詳解】由，得，設，則，則的極小值為，極大值為．對①，因為，所以，當且僅當時，，所以，①正確．對②，因為在上單調遞減，且，所以，所以未必成立，②錯誤．對③，設，令有，則有，故圖象存在對稱中心，所以存在實數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，③正確．對④，因為，所以存在實數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，④正確．故選：C.4．（23-24高三上·云南·階段練習）關于函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上單調遞減B．當時，函數(shù)在上恒成立C．當或時，函數(shù)有2個零點D．當時，函數(shù)有3個零點，記為，則【答案】D【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)單調性可得A錯誤；畫出函數(shù)的圖象可求得BC錯誤，根據(jù)零點個數(shù)可求得，令再利用三角函數(shù)值域以及倍角公式即可求得D正確.【詳解】對于A，因為函數(shù)，令，則；當或時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，；此時函數(shù)單調遞減，作出函數(shù)的大致圖象如圖，故A錯；對于B，由A選項可知，易知，又易知時，函數(shù)單調遞減，時，函數(shù)單調遞增；當時，若，不一定成立，例如當時，，所以當，不一定成立，故B錯；對于C，方程的根即為與函數(shù)的交點橫坐標，由A可知，函數(shù)在時取得極大值1，在時取得極小值；作出函數(shù)的圖象如圖，當或時，函數(shù)有1個零點，故C錯；對于D，函數(shù)有3個零點，則可得，且；記，令，則，所以，于是，故選：D．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將函數(shù)有3個零點的范圍限定在上，再利用倍角公式即可得出結論.二、多選題5．（23-24高三上·安徽·階段練習）已知三次函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．當時，單調遞減區(qū)間為B．當時，單調遞增區(qū)間為C．當時，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則D．當時，恒成立，則a的取值范圍為【答案】ACD【分析】利用導數(shù)研究區(qū)間單調性判斷A、B，由函數(shù)恰有兩個不同的零點，則有一個極值為0，易得或判斷C；將不等式恒成立化為恒成立，對右側構造函數(shù)，應用導數(shù)求其最大值即可判斷D.【詳解】，則，當時，在區(qū)間上，所以在上單調遞減區(qū)間，A正確，B錯誤；要使函數(shù)恰有兩個不同的零點，則有一個極值為0，由上分析知：或，而時，不滿足題意；所以，有，化簡可得，C正確；當時恒成立，即恒成立，令，則，故，在上，單調遞增，在上，單調遞減，∴，故，D正確．故選：ACD6．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習）已知三次函數(shù)有三個不同的零點，函數(shù).則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．若恰有兩個不同的零點，則D．若有三個不同的零點，則【答案】ABD【分析】對于A，由題意可得有兩個不同實根，則由即可判斷；對于B，若成等差數(shù)列，則，從而結合即可判斷；對于C，若恰有兩個零點，則或必為極值點，分類討論即可判斷；對于D，由韋達定理即可判斷.【詳解】，，，對稱中心為，對A：因為有三個零點，所以必有兩個極值點，所以，，A正確；對B，由成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對稱性可知，所以，又，故，所以，所以，故B正確；對C：，即，若恰有兩個零點，則或必為極值點；若為極值點，則該方程的三個根為，，，由一元三次方程的韋達定理可知：；若為極值點，同理可得，故C錯；對D：由韋達定理，得，即，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項得關鍵是得出或必為極值點，由此即可順利得解.三、填空題7．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）函數(shù)有且只有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中各段函數(shù)的單調性，分成，兩種情況并結合導數(shù)進行討論即可.【詳解】當時，時，，，當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增，所以當時，取最小值.函數(shù)有且只有3個零點，又在上單調遞增，所以，在有兩個零點且此時，而在上有一個零點，如圖，所以，解得，且，所以．所以.當時，時，，，故在上單調遞增，且此時，又在上恒成立，所以此時不合題意.綜上，，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍常用的方法：（1）分離參數(shù)法：通常解法為從中分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分類討論法：通常解法為結合單調性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.8．（2024高三下·全國·專題練習）已知，函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)導數(shù)判斷單調性，結合零點和極值點求出，構造函數(shù)，求導可得的取值范圍.【詳解】∵且，∴，.則方程必有兩個不等的實根.設，則，.則必有，且①.當或時，；當時，.因此函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為和.由于，若函數(shù)有兩個零點，則②.聯(lián)立①②得，解得，∴.令，令，則.從而，解得.因此.故當時，，函數(shù)單調遞增.因此.故答案為：②三次函數(shù)的極值點一、單選題1．（2024·福建泉州·一模）已知，是函數(shù)兩個極值點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)導數(shù)，解方程得出極值點，計算可判斷選項.【詳解】，令，解得，所以，故AB不正確；，故C正確D錯誤.故選：C2．（2024高三下·全國·專題練習）若函數(shù)在處有極大值，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．或C． D．【答案】D【分析】借助極值點定義可得，即可得或，再分類進行討論排除極小值情況即可得.【詳解】，則有，解得或，當時，，則當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處有極小值，不符合題意；當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在處有極大值，符合題意．綜上可得，.故選：D.3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設是函數(shù)的兩個極值點，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先求導，再結合已知條件與韋達定理即可求出結果.【詳解】由題意得，又是函數(shù)的兩個極值點，則是方程的兩個根，故，又，則，即，則，則，所以，解得，此時.故選：C．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根據(jù)的極值點得到矛盾，有兩個不同的零點，利用三次函數(shù)性質判斷單調性，進而求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，若恒成立，易知：當時，當時，所以是的極小值點，不合題意，故有兩個不同零點．設的兩個零點分別為，則，結合三次函數(shù)的圖象與性質知：，在、上，單調遞減，在、上，單調遞增，是的極大值點，符合題意，此時需，得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：D.5．（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分類討論、與三種情況，結合導數(shù)與極值點的定義即可得解.【詳解】因為，所以，令，可得或，當，即時，令，得或；令，得；所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數(shù)的極大值點，滿足題意；當，即時，恒成立，則在上單調遞增，沒有極值點，不滿足題意；當，即時，令，得或；令，得；所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數(shù)的極小值點，不滿足題意；綜上，，即的取值范圍為.故選：A.6．（2024·云南大理·模擬預測）若為函數(shù)（其中）的極小值點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】時為單調函數(shù)，無極值點不符合題意；令有兩根為或，分、討論，根據(jù)為極小值點需滿足的條件，結合不等式性質可得答案.【詳解】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.由于，且，故有兩根為或①當時，若為極小值點，則需滿足：，故有，可得；②當時，若為極小值點，則需滿足：，故有：，可得.故A，B選項錯誤，綜合①②有：.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是根據(jù)為極小值點得到的關系再結合不等式的性質解題.7．（23-24高三下·四川綿陽·開學考試）若函數(shù)的兩個極值點都大于2，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，，則方程的兩根都大于2，由根的分布知識可得答案.【詳解】，對于方程，設方程兩根為，由韋達定理，.因的兩個極值點都大于2，則方程的兩根都大于2，則.結合，可得.故選：D8．（2024·全國·模擬預測）設為函數(shù)（其中）的兩個不同的極值點，若不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】導函數(shù)為二次函數(shù)，為對應的一元二次方程的兩根，由，代入函數(shù)解析式，結合韋達定理化簡，可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以．又函數(shù)有兩個不同的極值點，所以解法一：由，得，即．將的值代入（*）式，得，解得，故選：A．解法二：函數(shù)為奇函數(shù)，圖象的對稱中心為，則函數(shù)圖象的對稱中心為設，，比較系數(shù)，有，解得所以函數(shù)圖象的對稱中心為，即若存在兩個相異的極值點，則其對稱中心為點和點的中點，即．由題設得，即，即，所以解得.故選:A．二、多選題9．（23-24高三上·全國·開學考試）已知函數(shù)的兩個極值點分別為，若過點和的直線與坐標軸圍成三角形面積為，則直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題意有兩個不同的零點，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點所在直線，進而求截距并列方程求a值．【詳解】由題意有兩個不同零點，則，所以，即或，由即，，同理有，所以、均在上，令，則，令，則，則直線與坐標軸圍成三角形面積，即，即，綜上，，，因為即或，故，得，故選：BC10．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）函數(shù)有三個不同極值點，且.則（

）A． B．C．的最大值為3 D．的最大值為1【答案】BCD【分析】選項A可根據(jù)求導后分析單調性，得到的最小值大于1恒成立可得；選項B可由分析求出；選項C可由及求出；選項D可由和求出；【詳解】對于A：有三個不同極值點，則有三個不等實根為，則定有三個解.設，當，恒成立，得單調遞增，不會有三個解，所以，，得在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.定有三個解恒成立，因為，所以恒成立.即，得，故A錯誤；對于D：設，故，，，故，故D正確；對于B：又，故B正確；對于C：又，，，則，又，放，的最大值為3，故C正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題A選項關鍵在于由導數(shù)分析單調性，得到的最小值大于1恒成立從而得到的范圍；選項BCD根據(jù)方程根的特征求解.11．（2024·河南信陽·模擬預測）已知函數(shù)，且滿足，，對任意的恒有，且為的極值點，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，可得分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，由此求出，再逐項判斷即可得解..【詳解】由，求導得，當或時，，當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，因此當時，取得極大值，在時，取得極小值，對任意的恒有，，，又當且滿足，，則分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，則，由，得，即，解得，由，得，即，解得，對于A，由，求導得，顯然是的變號零點，即，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD12．（2024·山西太原·三模）已知是函數(shù)的極值點，若，則下列結論正確的是（

）A．的對稱中心為 B．C． D．【答案】AC【分析】利用，可判斷A；令，解得，代入可判斷B；利用導數(shù)判斷出的單調性并求出極值點，結合圖像分情況由解出，可得可判斷C；利用C選項，若，，得出可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以的對稱中心為，故A

正確；對于B，，令，解得，當時，，因為，所以，可得，當時，，因為，所以，可得，故B錯誤；對于C，令，解得，當或時，，是單調遞增函數(shù)，當時，，是單調遞減函數(shù)，所以在時有極大值，在時有極小值，如下圖，當時，若，則，可得，即，解得，所以；當時，如下圖，若，則，可得，即，解得，所以；綜上所述，，故C正確；對于D，由C選項可知，若，，所以，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值點.三、填空題13．（23-24高三上·山西臨汾·階段練習）已知曲線在點處的切線斜率為3，且是的極值點，則函數(shù)的另一個極值點為.【答案】【分析】對函數(shù)求導，結合已知有，且，求得，再根據(jù)導數(shù)的符號判斷單調區(qū)間，進而確定另一個極值點即可.【詳解】由題設，則，且，所以，即，當，，則上遞增；當，，則上遞減；所以、都是的極值點，故另一個極值點為.故答案為：14．（2024·云南·一模）已知在上只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】求導，分離參數(shù)，轉化為函數(shù)交點個數(shù)求解即可.【詳解】因為在上只有一個極值點，則在上有唯一解，且左右函數(shù)值異號.即，令則，易知在單調遞減，在單調遞增，且，，故，解得.故答案為：.15．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)的兩個極值點為，，記，．點B，D在的圖象上，滿足，均垂直于y軸．若四邊形為菱形，則．【答案】【分析】令得，四邊形為菱形，由得，又，得，由，代入函數(shù)解析式求的值.【詳解】函數(shù)，，若，恒成立，在上單調遞增，不合題意，時，，得，則，，四邊形為菱形，則，，故，，，則，，由，化簡得，令，則，即，解得，故，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是用好四邊形為菱形，由對角線互相垂直利用直線斜率得，利用對角線互相平分有，求出，由求的值.③三次函數(shù)的切線一、單選題1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先由奇偶性求得時的解析式，再結合導數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】因為，，，又由是偶函數(shù)，，令，則，根據(jù)是偶函數(shù)，，得到時，，所以，時，，，故曲線在處的切線方程為，即.故選：C.2．（2024·寧夏銀川·二模）已知點不在函數(shù)的圖象上，且過點僅有一條直線與的圖象相切，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線和曲線相切得到，結合導數(shù)及函數(shù)零點的個數(shù)可得答案.【詳解】點不在函數(shù)的圖象上，則，即，設過點的直線與的圖象相切于，則切線的斜率，整理可得，則問題可轉化為只有一個零點，且，令，可得或，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，即當時，有極大值，當時，有極小值，要使僅有一個零點，或故選：B3．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習）若過點可作曲線三條切線，則（

）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】設出切點，求導，得到切線方程，將代入切線方程，得到，故有三個實數(shù)根，令，求導，得到其單調性和極值點情況，從而得到不等式，求出答案.【詳解】設切點為，則，，故，且切線方程為，因為在切線上，故，整理得，因為過點可作曲線三條切線，故有三個實數(shù)根，設，則，由得，或，因為，由得或，此時單調遞增，由得，此時單調遞減，所以的極大值點為，極小值點為，故要有三個實數(shù)根的充要條件為，即，解得.故選：D【點睛】應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率,即求該點處的導數(shù)；(2)已知斜率求切點即解方程；(3)已知切線過某點(不是切點)求切點,設出切點利用求解.二、多選題4．（23-24高三下·浙江·階段練習）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．B．方程有3個解C．當時，D．曲線有且僅有一條過點的切線【答案】AC【分析】直接驗證可判斷A，對表達式進行變換，可判斷B和C，直接給出兩條符合條件的切線，可判斷D.【詳解】對于A，由于，從而，故A正確；對于B，由于當時有，當時有，故方程在上無解；而當時有，故在上遞增，從而方程在上至多有一個解.所以方程總共至多有一個解，不可能有3個解，故B錯誤；對于C，當時，由有，且由有，從而，故C正確；對于D，由于，故，.而，，故曲線在和處的切線分別是和，這兩條切線均過點，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于從多種角度研究三次函數(shù)的性質.三、填空題5．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．【答案】18【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得的表達式，由此化簡推出，結合說明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設，則，故，當且僅當，即時等號成立，故則的最小值為18，故答案為：18【點睛】關鍵點睛：本題考查了導數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應用，解答的關鍵是利用導數(shù)的表達式推出，并說明，然后利用基本不等式求最值即可.④三次函數(shù)的對稱性一、單選題1．（2024·吉林長春·模擬預測）函數(shù)圖象的對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設的對稱中心為，利用對任意恒成立，即可求出和.【詳解】設的對稱中心為，則對任意恒成立，代入解析式，有，即對任意恒成立，所以，解得，故對稱中心為.故答案為：B.2．（23-24高三上·全國·開學考試）已知函數(shù)，設數(shù)列的通項公式為，則（

）A．36 B．24 C．20 D．18【答案】D【分析】先根據(jù)解析式求出對稱中心，再結合等差數(shù)列項的性質計算求解即可.【詳解】，所以曲線的對稱中心為，即，因為，易知數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以，所以.故選:D.3．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）已知曲線與曲線交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由和可確定兩曲線均關于中心對稱；利用導數(shù)可求得單調性和極值，結合的單調性可確定兩曲線在上的圖象，由此可確定交點個數(shù)，結合對稱性可求得結果.【詳解】令，則，，，關于中心對稱；，關于中心對稱；，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，極小值為，極大值為；當時，單調遞減，且，當時，；作出與在時的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有且僅有兩個不同的交點，由對稱性可知：與在上有且僅有兩個不同的交點，.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應用，解題關鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的解析式，確定兩函數(shù)關于同一對稱中心對稱，結合兩函數(shù)圖象確定交點個數(shù)后，即可根據(jù)對稱性求得交點橫縱坐標之和.4．（2023·寧夏銀川·模擬預測）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)對稱性可得，由此可構造方程求得結果.【詳解】圖象關于點對稱，，又，，，解得：，.故選：D.5．（23-24高三上·北京大興·階段練習）已知函數(shù)，且，下面四個判斷，正確的個數(shù)為（

）個.①；②若，則關于點對稱；③若，則對于R，；④若，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對于①，求函數(shù)，代入驗證符號得出結果；對于②，根據(jù)對稱性結論驗證是否成立；對于③展開，根據(jù)二次函數(shù)最值進行計算得出結果；對于④利用作差比較法得出結果.【詳解】由已知，對于①，，因為，所以，，故①正確；對于②，若，則，因為，所以關于點對稱，故②正確；對于③，將展開可得，又拋物線開口向上，故，當時，，所以，則對于R，，故③正確；對于④，，因為由得，即，由得，所以，即，故④正確.故選：D.二、多選題6．（24-25高三上·云南·階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點B．點是曲線的對稱中心C．有三個零點D．直線是曲線的一條切線【答案】ABD【分析】根據(jù)極值點的定義可判斷A；由為奇函數(shù)，根據(jù)平移變換可判斷B；由的單調性和最值可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】由題意，，令得或，令得，所以在上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；令，該函數(shù)的定義域為，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動兩個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故B正確；因為，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有兩個零點，故C錯誤；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D正確，故選：ABD.7．（2023·山東·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．在上的最小值為B．的圖象與軸有3個公共點C．的圖象關于點對稱D．的圖象過點的切線有3條【答案】ABD【分析】將原函數(shù)的導函數(shù)求出，即為：，由導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調性，然后即可判斷出函數(shù)在上的最值，將原函數(shù)的極大值與極小值求出，即可畫出函數(shù)圖象，判斷出函數(shù)與軸的交點個數(shù)，對于C選項，只需判斷出即能說明的圖象關于點對稱，D選項需求過點的切線方程，注意區(qū)分過某點的切線方程和在某點的切線方程.【詳解】因為，所以，所以當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增，A選項中，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，所以在上的最小值為，A正確；因為在，上單調遞增，在上單調遞減，，，且當時，，時，，如圖所示：

所以的圖象與軸有3個公共點，B正確；若的圖象關于對稱，則有，因為，所以C錯誤；因為，設的切點為，所以，所以在切點處的切線方程為：，當切線過時，即：，整理得：，設，則所以時，或，當時，，單調遞減，當時，或，單調遞增，所以，所以的圖象如圖所示：

所以由圖象知有三個零點，所以有三個根，所以的圖象過點的切線有3條，D正確.故選：ABD8．（23-24高二下·江西南昌·期末）設函數(shù)，則（

）A．是的極小值點B．C．不等式的解集為D．當時，【答案】BD【分析】對于A：求導，利用導數(shù)判斷的單調性和極值；對于B：根據(jù)解析式代入運算即可；對于C：取特值檢驗即可；對于D：分析可得，結合的單調性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為的定義域為R，且，當時，；當或時，；可知在，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；對于選項B：因為，故B正確；對于選項C：對于不等式，因為，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，故D正確；故選：BD.9．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，當時，有兩解，列表表示出導數(shù)值的正負以及函數(shù)的單調情況，當時，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因為，所以，當時，，則在R上單調遞增，不是極值點，故A錯誤；B：由選項A的分析知，函數(shù)的值域為，所以，使得，故B正確；C：由選項A的分析知，當時，在上單調單調遞增，在上單調遞減，所以若為的極小值點時，在上先遞增再遞減，故C錯誤；D：，而，則，所以點為的對稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，故D正確.故選：BD．10．（2024·貴州·模擬預測）定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個零點 D．在區(qū)間上單調遞減【答案】AB【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)進行二次求導，可得“拐點”，而“拐點”同時也滿足函數(shù)解析式，這樣就可以得到參數(shù)的值，進而根據(jù)三次函數(shù)的圖象與性質，可得正確答案.【詳解】由，可得，，令，得，因為函數(shù)圖象的對稱中心為，因此，解得，，故選項A正確；由以上過程可知，，且當或時，；當時，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故選項D錯誤；因為關于點對稱，所以的極大值與極小值之和為，故選項B正確；因為函數(shù)極小值，由三次函數(shù)的性質知，只有一個零點，所以選項C錯誤，故選：AB.11．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（

）A．的圖象也關于直線對稱 B．的圖象關于中心對稱C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對稱性可得，，由此分析可得由