2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測一第一二章集合與常用邏輯用語一元二次函數(shù)方程和不等式含解析新人教A版必修第一冊

PAGE單元素養(yǎng)檢測(一)(第一、二章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.下列四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是 ()①{0}是空集;②若a∈N,則-a?N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有兩個(gè)元素;④集合QUOTE是有限集.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】選D.①因?yàn)閧0}是含有一個(gè)元素0的集合,而不是空集,所以①不正確.②當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)?∈N,所以②不正確.③因?yàn)閤2-2x+1=0,x1=x2=1,所以{x∈R|x2-2x+1=0}={1},所以③不正確.④因?yàn)楫?dāng)x為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí),QUOTE∈N,所以QUOTE是無限集,所以④不正確.2.設(shè)集合A={x|x≤QUOTE},a=QUOTE,那么 ()A.aA B.a?AC.{a}?A D.{a}A【解析】選D.因?yàn)锳是集合,a是元素,兩者的關(guān)系應(yīng)是屬于與否的關(guān)系.{a}與A是包含與否的關(guān)系,所以A、C明顯不對,而QUOTE<QUOTE,所以a是A的一個(gè)元素,{a}是A的一個(gè)子集,故選D.3.命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ()A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0【解析】選C.“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是“?x∈R,|x|+x2<0”.4.若非空集合A,B,U滿足A∪B=U,A∩B=?,則稱(A,B)為U的一個(gè)分割,則集合U={1,2,3}的不同分割有 ()A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)【解析】選B.依題意可得,當(dāng)集合A為{1}時(shí),B為{2,3};當(dāng)A為{2}時(shí),B為{1,3};當(dāng)A為{3}時(shí),B為{1,2};同時(shí)對調(diào)A,B的位置,也可得到三對集合,所以符合條件的有6個(gè).5.已知x1,x2∈R,則“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解析】選A.由x1>1且x2>1得x1+x2>1+1=2,x1x2>1×1=1,所以“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的充分條件;設(shè)x1=3,x2=QUOTE,則x1+x2=QUOTE>2且x1x2=QUOTE>1,但x2<1,所以不滿足必要性.6.(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B= ()A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)【解析】選A.解集合A:x<2或x>3,集合B:x<1.結(jié)合數(shù)軸可得A∩B=(-∞,1).7.若關(guān)于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m≤-2或m≥2 B.-2≤m≤2C.m<-2或m>2 D.-2<m<2【解析】選B.因?yàn)椴坏仁絰2+mx+1≥0的解集為R,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.8.將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí),能賣出400個(gè),每漲價(jià)1元,其銷售量就削減20個(gè),為了使商家利潤有所增加,則售價(jià)a的取值范圍應(yīng)是()A.90<a<100 B.90<a<110C.100<a<110 D.80<a<100【解析】選A.設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元,y表示漲價(jià)后的利潤與原利潤之差,則y=(10+x)(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利潤有所增加,則必需使y>0,即x2-10x<0,得0<x<10.所以售價(jià)a的取值范圍為90<a<100.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列命題正確的是 ()A.若a>b,則ac2>bc2 B.若a>-b,則-a<bC.若ac>bc,則a>b D.若a>b,則a-c>b-c【解析】選BD.當(dāng)c=0時(shí),A選項(xiàng)錯(cuò)誤;若c<0時(shí),C錯(cuò).10.下列說法正確的是 ()A.很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合B.集合{x|y=x2-1}與集合{(x,y)|y=x2-1}是同一個(gè)集合C.由1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,0.5這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素D.集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R}是指其次或第四象限內(nèi)的點(diǎn)集【解析】選CD.A很小的實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定,故不能構(gòu)成集合;對于B,其中第一個(gè)集合是數(shù)集,其次個(gè)集合是點(diǎn)集,故不是同一集合.對于C,因?yàn)镼UOTE=QUOTE=0.5,故這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素.對于D,因?yàn)閤y<0,故點(diǎn)(x,y)是其次或第四象限內(nèi)的點(diǎn).綜上,CD正確.11.以下四個(gè)命題正確的是 ()A.“a>b”是“a2>b2”的充分條件B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要條件C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件D.設(shè)a,b∈R,且ab≠0,若QUOTE<1,則QUOTE>1【解析】選BC.A.由2>-3?/22>(-3)2知,該命題為假命題;B.a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|,該命題為真命題;C.a>b?a+c>b+c,又a+c>b+c?a>b;“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件為真命題;D.可舉反例:如a,b異號,雖然QUOTE<1,但QUOTE<0.12.下列函數(shù),最小值為2的函數(shù)是 ()A.y=x+QUOTE B.y=x2-2x+3C.y=x+2QUOTE+3 D.y=QUOTE【解析】選BD.A中x的正負(fù)無法確定;B中y=x2-2x+3=(x-1)2+2最小值為2,正確;C中y=x+2QUOTE+3=(QUOTE+1)2+2,當(dāng)x=0時(shí),其最小值為3;D.中y=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2(當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=0時(shí)取等號)三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知集合A={1,2,4,8},B={2,4,6},則A∪B=________,A∩B=________.

【解析】因?yàn)锳∪B是由A,B的全部元素組成的.所以A∪B={1,2,4,6,8},A∩B={2,4}.答案:{1,2,4,6,8}{2,4}14.當(dāng)x>1時(shí),不等式x+QUOTE≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為________.

【解析】x+QUOTE≥a恒成立?QUOTE≥a.因?yàn)閤>1,所以x-1>0,所以x+QUOTE=x-1+QUOTE+1≥2QUOTE+1=3(當(dāng)x=2時(shí)取等號).所以a≤3,即a的最大值為3.答案:315.若f(x)=QUOTE對隨意實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

【解析】①當(dāng)k=0時(shí),8>0成立.②當(dāng)k≠0時(shí),只需QUOTE?QUOTE則0<k≤1.由①②知0≤k≤1.答案:0≤k≤116.下列命題:①設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),若a<b,則ab2>a2b;②若a<b<0,則QUOTE>QUOTE;③函數(shù)y=QUOTE的最小值是2;④若x,y是正數(shù),且QUOTE+QUOTE=1,則xy的最小值16.其中正確命題的序號是________.

【解析】①中ab2-a2b=ab(b-a).由于a,b符號不定,故上式符號無法確定,故①不對.②中在a<b兩邊乘以正數(shù)QUOTE,得QUOTE>QUOTE,故②對.③中y=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2,但由QUOTE=QUOTE得x2+2=1無解,故③不對.④中,因?yàn)镼UOTE+QUOTE=1≥2QUOTE,所以xy≥16,即④對.答案:②④四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知集合A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}.(1)分別求R(A∩B),(RB)∪A.(2)已知C={x|a<x<a+1},若C?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)锳∩B={x|3≤x<6},所以R(A∩B)={x|x<3或x≥6}.因?yàn)镽B={x|x≤2或x≥9},所以(RB)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.(2)因?yàn)镃?B,所以QUOTE所以2≤a≤8.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為:2≤a≤8.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0}.若B∪A≠A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】若B∪A=A,則B?A,又因?yàn)锳={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三種狀況:①當(dāng)B=?時(shí),Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,所以a<-4或a>4.②當(dāng)B是單元素集時(shí),Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,則B={2}?A;若a=4,則B={-2}?A.③當(dāng)B={-2,4}時(shí),-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的兩根,所以QUOTE所以a=-2.綜上可得,B∪A=A時(shí),a的取值范圍為a<-4或a=-2或a≥4.所以滿足B∪A≠A的實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-4≤a<4,且a≠-2}.18.(12分)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤m-1或x≥m+1}.(1)當(dāng)m=0時(shí),求A∩B.(2)若p:-1<x<3,q:x≤m-1或x≥m+1,且q是p的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m=0時(shí),B={x|x≤-1或x≥1},又A={x|-1<x<3},所以A∩B={x|1≤x<3}.(2)因?yàn)閜:-1<x<3,q:x≤m-1或x≥m+1.q是p的必要不充分條件,所以m-1≥3或m+1≤-1,所以m≤-2或m≥4.19.(12分)設(shè)二次方程x2+ax+b=0和x2+cx+15=0的解集分別是A和B,又A∪B={3,5},A∩B={3},求a,b,c的值.【解析】因?yàn)锳∩B={3},所以3肯定為方程x2+cx+15=0的根,于是c=-8,將c=-8代回方程,得方程的兩根為3,5,又因?yàn)锳∪B={3,5},A∩B={3},所以方程x2+ax+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為3,所以3+3=-a,3×3=b.所以a=-6,b=9,c=-8.20.(12分)已知關(guān)于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集為{x|x<-3或x>-2},求k的值.(2)若不等式的解集為R,求k的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)椴坏仁絢x2-2x+6k<0的解集為{x|x<-3或x>-2},所以x1=-3與x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的兩根,所以-QUOTE=QUOTE=-3-2,所以k=-QUOTE.(2)若不等式的解集為R,即kx2-2x+6k<0恒成立,則滿足QUOTE所以k<-QUOTE,所以k的取值范圍為QUOTE.21.(12分)已知集合A=QUOTE,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】y=x2-QUOTEx+1=QUOTE+QUOTE,因?yàn)閤∈QUOTE,所以QUOTE≤y≤2,所以A=QUOTE.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分條件,所以A?B,所以1-m2≤QUOTE,解得m≥QUOTE或m≤-QUOTE,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是QUOTE∪QUOTE.22.(12分)根據(jù)某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元,假如他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元,則他的滿足度為QUOTE;假如他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元,則他的滿足度為QUOTE.假如一個(gè)人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿足度分別為h1和h2,則他對這兩種交易的綜合滿足度為QUOTE.現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A,B的單價(jià)分別為mA元和mB元,甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿足度為h甲,乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿足度為h乙.(1)求h甲和h乙關(guān)于mA,mB的表達(dá)式;當(dāng)mA=QUOTEmB時(shí),求證:h甲=h乙.(2)設(shè)mA=QUOTEmB,當(dāng)mA,mB分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿足度均最大?最大的綜合滿足度為多少?(3)記(2)中最大的綜合滿足度為h0,試問能否適當(dāng)選取mA,mB的值,使得h甲≥h0和h乙≥h0同時(shí)成立,但等號不同時(shí)成立?試說明理由.【解析】設(shè)mA=x,mB=y.(1)甲買進(jìn)產(chǎn)品A的滿足度:h1甲=QUOTE;甲賣出產(chǎn)品B的滿足度:h2甲=QUOTE;甲買進(jìn)產(chǎn)品A和賣出產(chǎn)品B的綜合滿足度:h甲=QUOTE;同理,乙賣出產(chǎn)品A和買進(jìn)產(chǎn)品B的綜合滿足度:h乙=QUOTE.當(dāng)x=QUOTEy時(shí),h甲=QUOTE=QUOTE=QUOTE,h乙=QUOTE=QUOTE=QU