2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊整合一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE5模塊整合1.☉%764###0#%☉(復(fù)旦高校自主招生)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1),則g(x)=f(x+c)+f(x-c)在0<c<12時(shí)的定義域?yàn)?)。A.(-c,1+c)B.(1-c,c)C.(1+c,-c)D.(c,1-c)答案：D解析：要使函數(shù)式有意義,需0<x因?yàn)?<c<12,所以c<x<1-c,即定義域?yàn)?c,1-c)2.☉%#*4##071%☉(全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽(陜西賽區(qū))預(yù)賽)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c均為非零整數(shù))。若f(a)=a3,f(b)=b3,則c的值為()。A.-16B.-4C.4D.16答案：D解析：令g(x)=f(x)-x3=ax2+bx+c,則由f(a)=a3,f(b)=b3,得g(a)=g(b)=0,所以a,b為方程g(x)=0的兩個(gè)根,則a+b=-ba,ab=ca。消去b,得c=-a4a+1=-(a2+1)(a-1)-1a+1。因?yàn)閍,b,c為非零整數(shù),所以a+1=-1,3.☉%9#611*￥@%☉(清華高校實(shí)力測試題)函數(shù)f(x)=2x-21x([x]表示不超過x的最大整數(shù))的值域?yàn)?A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}答案：B解析：本題等價(jià)于求函數(shù)g(x)=[2x]-2[x],x≠0的值域,考慮到函數(shù)g(x)是周期為1的函數(shù),因此只需考慮在x∈(0,1]上的值域,事實(shí)上,我們有g(shù)(x)=0,x∈(4.☉%12#7@￥7#%☉(全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽(陜西賽區(qū))預(yù)賽)已知a=log85,b=log43,c=23,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a答案：C解析：由已知得a=log235,b=log23,c=23=log234。因?yàn)?5>34,所以a>c。由52<33,得35<3,故a<b。綜上,5.☉%44￥@6*0￥%☉(2024·全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽(浙江賽區(qū))預(yù)賽)設(shè)f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|,則f(f(x))+1=0有個(gè)不同的解。

答案：3解析：由題設(shè)可得,f(x)=-因?yàn)閒(f(x))+1=0,所以若f(x)≤-1,則-f(x)-3+1=0,得f(x)=-2;若-1<f(x)≤0,則f(x)-1+1=0,得f(x)=0;若0<f(x)≤2,則3f(x)-1+1=0,得f(x)=0,此狀況不符合題意,舍去;若f(x)>2,則f(x)+3+1=0,得f(x)=-4,此狀況不符合題意,舍去。所以f(x)=-2或f(x)=0。當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)≥-2;當(dāng)-1<x≤0時(shí),-2<f(x)≤-1;當(dāng)0<x≤2時(shí),-1<f(x)≤5;當(dāng)x>2時(shí),f(x)>5。故由f(x)=-2,得-x-3=-2,解得x=-1;由f(x)=0,得-x-3=0或3x-1=0,解得x=-3或x=13所以f(f(x))+1=0共有3個(gè)不同的解。6.☉%8￥*82@1@%☉(全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽(江蘇賽區(qū))復(fù)賽)若函數(shù)f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)對于隨意x∈R都滿意f(x)=f(4-x),則f(x)的最小值是。

答案：-16解析：f(1)=f(-1)=0,又f(x)=f(4-x),所以f(3)=f(5)=0,所以f(x)=(x2-1)(x-3)(x-5)=(x2-4x+3)(x2-4x-5)。令t=x2-4x+4,t≥0,則函數(shù)f(x)可轉(zhuǎn)化為g(t)=(t-1)(t-9)=(t-5)2-16,所以f(x)的最小值是-16。7.☉%*5@*381@%☉(全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(A卷))正實(shí)數(shù)u,v,w均不等于1,若loguvw+logvw=5,logvu+logwv=3,則logwu的值為。

答案：45解析：令loguv=a,logvw=b,則logvu=1a,logwv=1b,loguvw=loguv+loguv·logvw=a+ab,已知條件可化為a+ab+b=5,1a+1b=3,由此可得ab=54。因此logwu=logwv·logvu8.☉%50*8##*8%☉(2024·全國中學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū))三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作狀況如圖1所示,其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3。圖1(1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是;

答案：Q1解析：設(shè)線段AiBi的中點(diǎn)為Ci(xi,yi),i=1,2,3,則Qi=2yi,作圖可得C1的縱坐標(biāo)比C2,C3的縱坐標(biāo)都大,所以Q1,Q2,Q3中最大的是Q1。(2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是。

答案：p2解析：由題意,pi=yixi,i=1,2,3,連接OC1,OC2,OC3,比較可知OC2的斜率最大,所以p1,p2,p3中最大的是9.☉%892***@5%☉(上海交通高校自主招生)已知f1(x)=1-xx+1,對于一切正整數(shù)n,都有fn+1(x)=f1(fn(x)),且f3(x)=f6(x),求f28答案：解:由f1(x)=1-xx+1,fn+1(x)=f1(fn(x)),得f2(x)=∴f3(x)=1-xx+1,f6(由f3(x)=f6(x)得1-xx+1=x,解得∴f28(x)=x=-1±2。10.☉%##3#043*%☉(北京高校自主招生)已知f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|,求f(1)+f(2)+…+f(50)。答案：解:f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|=(x-4)(x-49)+|(x-4)(x-49)|。當(dāng)4≤x≤49時(shí),(x-4)(x-49)≤0,此時(shí)f(x)=0。因此f(1)+f(2)+…+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=2×(144+94+46+46)=660。11.☉%2#*@68*2%☉(浙江高校自主招生)設(shè)M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x}。(1)求證:M?N;答案：證明:若M=?,則明顯有M?N;若M≠?,則對隨意x0∈M,滿意f(x0)=x0,所以f(f(x0))=f(x0)=x0。故x0∈N,所以M?N。(2)f(x)單調(diào)遞增時(shí),是否有M=N?并證明。答案：解:M=N。證明:假如M≠N,由(1)知M?N,則必存在x1∈N,但x1?M,因此f(x1)≠x1。①若f(x1)>x1,由于f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以f(f(x1))>f(x1),即x1>f(x1),沖突;②若f(x1)<x1,由于f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以f(f(x1))<f(x1),即x1<f(x1),沖突。綜合①②可知f(x1)=x1,因此x1∈M,與假設(shè)沖突,所以假設(shè)不成立,故M=N。12.☉%@￥4#@863%☉(卓越聯(lián)盟自主招生節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ax2+1bx,其中a是非零實(shí)數(shù),b>0。求f答案：解:當(dāng)a>0時(shí),f(x)=axb+1bx為對勾函數(shù)。f(x)在-∞,-aa,aa,+當(dāng)a<0時(shí),f(x)=-abx+1bx,f(x)在13.☉%###2@424%☉(福州競賽)設(shè)a,b,c為正數(shù),且滿意a2+b2=c2。(1)求證:log21+b+ca答案：證明:左邊=log21+b+ca1+a-cb=log(2)假如log41+b+ca=1,log8(a+b-c)=23,那么a,答案：解:由log4a+b+ca=1得-3a+b+由log8(a+b-c)=23得a+b-c=4②由題設(shè)知a2+b2=c2③。①+②得b-a=2④。由①得c=3a-b,代入③得a(4a-3b)=0。因?yàn)閍>0,所以4a-3b=0⑤。由④⑤得a=6,b=8,則c=10。14.☉%6@#62@5#%☉(清華高校等七校聯(lián)考)已知圓柱形水杯質(zhì)量為a克,其重心在圓柱軸的中點(diǎn)處(杯底厚度及重量忽視不計(jì),且水杯直立放置)。質(zhì)量為b克的水恰好裝滿水杯,裝滿水后的水杯的重心還在圓柱軸的中點(diǎn)處。(1)若b=3a,求裝入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值;答案：解:方法一:不妨設(shè)水杯高為1個(gè)單位。裝入半杯水后,這時(shí),杯子質(zhì)量∶水的質(zhì)量=2∶3,杯子的重心位置(這里的重心位置指重心到水杯底面的距離)為12,水的重心位置為14,所以裝入半杯水后的水杯的重心位置為2×12+3×方法二:不妨設(shè)水杯高為1個(gè)單位。由題意可知,當(dāng)裝了半杯水后,杯子質(zhì)量∶水的質(zhì)量=a∶b2因?yàn)閎=3a,所以杯子質(zhì)量∶水的質(zhì)量=2∶3,即杯子占總質(zhì)量的25,水占總質(zhì)量的35。又因?yàn)楸拥闹匦奈恢?這里的重心位置指重心到水杯底面的距離)為12,水的重心位置為14,所以裝入半杯水后的水杯的重心位置為12×25+14×35(2)水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低?為什么?答案：方法一:當(dāng)裝入水后的水杯的重心最低時(shí),重心恰好位于水面上,設(shè)裝入x克水,這時(shí),杯子質(zhì)量∶水的質(zhì)量=a∶x,杯子的重心位置為12,水的重心位置為x2b,水面位置為xb,于是a·12+x·方法二:設(shè)裝入x克水后的水杯重心位置為y,將問題轉(zhuǎn)化為:求當(dāng)x為何值時(shí),y最小。當(dāng)裝入x克水后,杯子質(zhì)量∶水的質(zhì)量=a∶x,即杯子占總質(zhì)量的aa+x,水占總質(zhì)量的xa因?yàn)檠b入b克水的高度為1,所以裝入x克水