專題05一元二次方程（講義）（原卷版）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題05一元二次方程1．能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2．會用一元二次方程根的判別式判斷方程是否有實根及兩個實根是否相等，會將一元二次方程根的情況與一元二次方程根的判別式相聯(lián)系；3．知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以解決一些簡單的問題；4．能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗方程的解是否合理，建立模型觀念?？键c1：一元二次方程的有關(guān)概念一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①；②.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．考點2：一元二次方程的解法1.基本思想一元二次方程一元一次方程2.基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．注：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．考點3：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即.（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程實數(shù)根2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.注：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；（2）已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．考點4：列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.3.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；答(寫出答案，切忌答非所問).4.常見應(yīng)用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.注：列方程解應(yīng)用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.【題型1：一元二次方程的概念】【典例1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則m的值為．1．（2012上·江蘇常州·九年級階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則．2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程的一個解是，則的值是．3．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）若是關(guān)于的一元二次方程的解，則的值為．4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的一個根為3，則m的值為．【題型2：一元二次方程的解法】【典例2】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：

（2）解不等式組：1．（2012上·山東臨沂·九年級階段練習(xí)）方程的解為．2．（2012·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）解方程：．3．（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學(xué)?？家荒＃?）解方程：；（2）解不等式組：．4．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┙夥匠蹋海绢}型3：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系】【典例3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的兩根之和為．1．（2023·江蘇鹽城·校考二模）已知、是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)、是方程的兩個根，則．3．（2023·江蘇宿遷·?？既＃┰O(shè)，是一元二次方程的兩個根，則．4．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）若方程的兩根為，，則的值為．【題型4：一元二次方程的應(yīng)用】【典例4】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為．若紙張大小為，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的，則需如何設(shè)置頁邊距？

1.（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）我國黨的二十大報告指出從2020年到2035年基本實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化，從2035年到本世紀(jì)中葉把我國建成富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國．2021年我國約為115萬億元，如果以后每年按相同的增長率增長，2023年我國約達(dá)135萬億元，將增長率記作x，可列方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學(xué)學(xué)生課后作業(yè)時長明顯減少．2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時長為．設(shè)這兩學(xué)期該校平均每天作業(yè)時長每期的下降率為x，則可列方程為．3．（2018上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．(1)若某天該商品每件降價3元，則商場日銷售量增加___________件，當(dāng)天可獲利___________元？(2)設(shè)每件商品降價x元，則商場日銷售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代數(shù)式表示）；(3)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達(dá)到2000元？4．（2011·江蘇南京·統(tǒng)考中考模擬）某經(jīng)銷店為廠家代銷一種新型環(huán)保水泥，當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費用和其他費用共100元．該經(jīng)銷店為擴(kuò)大銷售量、提高經(jīng)營利潤，計劃采取降價的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．(1)填空：當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷售量是______________噸；(2)該經(jīng)銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴(kuò)大銷售量，則售價應(yīng)定為每噸多少元？1．將方程化為一般形式后，二次項系數(shù)為1，則常數(shù)項為（

）A．2 B． C．5 D．2．用配方法解方程，配方正確的是（

）A． B． C． D．3．一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定4．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實根，則m的值可以是（

）A．0 B． C． D．5．喜迎國慶佳節(jié)，某商品原價300元，連續(xù)兩次降價后售價為225元，下列所列方程中，正確的是（）A． B．C． D．6．若是關(guān)于的一元二次方程，則．7．一元二次方程有一個根為，則．8．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，且，則該一元二次方程是．9．若是一元二次方程的一個根，則．10．《中秋帖》是晉朝書法家王獻(xiàn)之的作品，如圖，在一幅長為，寬為的《中秋帖》矩形書法作品的四周鑲上相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，設(shè)金色紙邊的寬為，如果要使整個掛圖的面積是，那么x滿足的方程是.

11．運用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)12．解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．13．嘉淇同學(xué)解方程的過程如下表表示．解方程：．解：，……第一步，……第二步，．……第三步(1)嘉淇同學(xué)是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，從第步開始出現(xiàn)錯誤．(2)請你用不同于（1）中的方法解該方程．14．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載了這樣一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何．”其大意為：一個矩形的面積為864平方步，長和寬共60步，問長比寬多多少步？請你解答上面的問題．15．某商場銷售某款上衣，剛上市時每件可盈利100元，銷售一段時間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價盈利減少的百分率；(2)為盡快減少庫存，商場決定再次降價．每件上衣每降價1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2940元，每件應(yīng)降價多少元？1．已知函數(shù)的圖象上有兩點和，則的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．02．若是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元250年前后）在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的方程的圖解法是：如圖1，以和為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長就是所求方程的正根．若關(guān)于的一元二次方程，按照圖1，構(gòu)造圖2，在中，，連接，若，則的值為（）A．3 B．4 C．6 D．84．定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”．例如和有且僅有一個相同的實數(shù)根．所以這兩個方程為“同伴方程”，若關(guān)于的方程的參數(shù)同時滿足和．且該方程與互為“同伴方程”，則的值為（

）A．1或 B． C．1 D．25．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（）A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④6．對于一切不小于的自然數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，（），則．7．已知：拋物線與直線有兩個不同的交點，若兩個交點的橫坐標(biāo)是分別為、，若，則的取值范圍是．8．已知關(guān)于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，則.9．圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點D在位于右側(cè)的反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、，若四邊形為正方形，則這個正方形的面積等于．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點A，B分別落在y軸、x軸的正半軸上，，．若反比例函數(shù)經(jīng)過C，D兩點，則k的值為．11．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若該方程的兩個根為和，且滿足，求的值．12．今年4月，多國禽流感大暴發(fā)，大量蛋雞被撲殺，導(dǎo)致世界級的“雞蛋荒”，若某國有一只蛋雞患有禽流感，經(jīng)過兩輪感染后共有64只蛋雞患?。?1)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了幾只健康的蛋雞？(2)如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會不會超過500只？13．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件，設(shè)襯衫的單價降了x元．每天的銷售量/件每件襯衫的利潤/元降價前降價后(1)完成下列表格（用含x的式子填空）．(2)當(dāng)襯衫的單價降多少元時，商場銷售這批襯衫每天可盈利元，且對消費者更有利？(3)能否通過降價使商場銷售這批襯衫每天盈利元？14．已知：如圖所示，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．當(dāng)、兩點中有一點到達(dá)終點，則同時停止運動．(1)如果、分別從，同時出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于？(2)如果、分別從，同時出發(fā)，那么幾秒后，與相似？15．閱讀理解：一位同學(xué)將代數(shù)式變形為，得到后分析發(fā)現(xiàn)，那么當(dāng)時，此代數(shù)式有最小值是4．請同學(xué)們思考以下問題：(1)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數(shù)式的最值情況，寫出詳細(xì)過程及結(jié)論．1．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．13．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個平均增長率是（

）A．10.5% B．10% C．20% D．21%4．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，點P是所在平面內(nèi)一點，則取得最小值時，下列結(jié)論正確的是（

）A．點P是三邊垂直平分線的交點 B．點P是三條內(nèi)角平分線的交點C．點P是三條高的交點 D．點P是三條中線的交點5．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（

）

A． B． C． D．16．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若，則每個直角三角形的面積為．

9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）若（為實數(shù)），則的最小值為．10．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則