重點05函數(shù)的應用

重點05函數(shù)的應用近幾年四川中考看，幾乎年年會出現(xiàn)函數(shù)的應用的題目，經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，屬于各市中考考查的重點，考查主要內(nèi)容是一次函數(shù)、二次函數(shù)應用，方程與不等式（組）的綜合應用。圓的基本性質(zhì)，扇形的面積公式；圓周角定理，理解圓周角與圓心角的區(qū)別于練習；切線的兩種證明方法（練圓心，證垂直；作垂直，證半徑）；圓與相似綜合，相似基本模型與輔助線的方法【中考真題】1．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，市場上豬肉粽進價比豆沙粽進價每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進價為100元．(1)求每盒豬肉粽和豆沙粽的進價；(2)在銷售中，某商家發(fā)現(xiàn)當每盒豬肉粽售價為50元時，每天可售出100盒，若每盒售價提高1元，則每天少售出2盒．設(shè)每盒豬肉粽售價為元，銷售豬肉粽的利潤為元，求該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤．【答案】(1)每盒豬肉粽的進價為40元，每盒豆沙粽進價為30元(2)1800元【詳解】（1）設(shè)每盒豬肉粽的進價為元，每盒豆沙粽的進價為元，由題意得：解得：每盒豬肉粽的進價為40元，每盒豆沙粽進價為30元．（2）．當時，w最大值為1800元．∴該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤為1800元．2．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）某企業(yè)下屬A、B兩廠向甲乙兩地運送水泥共520噸，A廠比B廠少運送20噸，從A廠運往甲乙兩地的運費分別為40元/噸和35元/噸，從B廠運往甲乙兩地的運費分別為28元/噸和25元/噸．(1)求A、B兩廠各運送多少噸水泥?(2)現(xiàn)甲地需要水泥240噸，乙地需要水泥280噸．受條件限制，B廠運往甲地的水泥最多150噸．設(shè)從A廠運往甲地a噸水泥，A、B兩廠運往甲乙兩地的總運費為w元．求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，請你為該企業(yè)設(shè)計一種總運費最低的運輸方案，并說明理由【答案】(1)A廠運送了250噸，B廠運送270噸；(2)；A廠運往甲地90噸，運往乙地160噸；B廠運往甲地150噸，運往乙地120噸；【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)A廠運送x噸，B廠運送y噸，則，解得，∴A廠運送了250噸，B廠運送270噸；（2）解：根據(jù)題意，則，整理得：；∵B廠運往甲地的水泥最多150噸，∴，∴；當時，總運費最低；此時的方案是：A廠運往甲地90噸，運往乙地160噸；B廠運往甲地150噸，運往乙地120噸3．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內(nèi)江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．(1)參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？(2)每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？(3)學校租車總費用最少是多少元？【答案】(1)參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人(2)一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛(3)學校租車總費用最少是2800元．【詳解】（1）設(shè)參加此次勞動實踐活動的老師有x人，參加此次勞動實踐活動的學生有（30x+7）人，根據(jù)題意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；（2）師生總數(shù)為247+8＝255（人），∵每位老師負責一輛車的組織工作，∴一共租8輛車，設(shè)租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，根據(jù)題意得：，解得3≤m≤5.5，∵m為整數(shù)，∴m可取3、4、5，∴一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；（3）設(shè)租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，由（2）知：3≤m≤5.5，設(shè)學校租車總費用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w隨m的增大而增大，∴m＝3時，w取最小值，最小值為80×3+2560＝2800（元），答：學校租車總費用最少是2800元．4．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商品和5件B商品費用相同，購進3件A商品和1件B商品總費用為360元．(1)求A，B兩種商品每件進價各為多少元？（列方程或方程組求解）(2)若該商場計劃購進A，B兩種商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，求銷售完A，B兩種商品后獲得總利潤w（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)A，B兩種商品每件進價分別為每件100元，每件60元．(2)利潤w（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)系式為：【解析】（1）解：設(shè)A，B兩種商品每件進價分別為每件x元，每件y元，則解得：，答：A，B兩種商品每件進價分別為每件100元，每件60元．（2）解：由題意可得：即總利潤w（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)系式為：5．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）為全面貫徹黨的教育方針，嚴格落實教育部對中小學生“五項管理”的相關(guān)要求和《關(guān)于進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知》精神，保障學生每天在校1小時體育活動時間，某班計劃采購A、B兩種類型的羽毛球拍，已知購買3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；購買5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．(1)求A、B兩種類型羽毛球拍的單價．(2)該班準備采購A、B兩種類型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的數(shù)量不少于B型羽毛球拍數(shù)量的2倍，請給出最省錢的購買方案，求出最少費用，并說明理由．【答案】(1)型羽毛球拍的單價為40元，型羽毛球拍的單價為32元(2)最省錢的購買方案是采購20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少費用為1120元，理由見解析【詳解】（1）解：設(shè)型羽毛球拍的單價為元，型羽毛球拍的單價為元，由題意得：，解得，答：型羽毛球拍的單價為40元，型羽毛球拍的單價為32元．（2）解：設(shè)該班采購型羽毛球拍副，購買的費用為元，則采購型羽毛球拍副，由（1）的結(jié)論得：，型羽毛球拍的數(shù)量不少于型羽毛球拍數(shù)量的2倍，，解得，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，最小值為，此時，答：最省錢的購買方案是采購20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少費用為1120元．6．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）習近平總書記對實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出重要指示強調(diào)：實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，是黨的十九大作出的重大決策部署，是新時代做好“三農(nóng)”工作的總抓手．為了發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，紅旗村花費4000元集中采購了種樹苗500株，種樹苗400株，已知種樹苗單價是種樹苗單價的1.25倍．(1)求、兩種樹苗的單價分別是多少元？(2)紅旗村決定再購買同樣的樹苗100株用于補充栽種，其中種樹苗不多于25株，在單價不變，總費用不超過480元的情況下，共有幾種購買方案？哪種方案費用最低？最低費用是多少元？【答案】(1)種樹苗的單價是4元，則B種樹苗的單價是5元(2)有6種購買方案，購買種樹苗，25棵，購買B種樹苗75棵費用最低，最低費用是475元．【詳解】（1）解：設(shè)種樹苗的單價是x元，則B種樹苗的單價是1.25x元，根據(jù)題意得：，解得：，∴1.25x=5，答：種樹苗的單價是4元，則B種樹苗的單價是5元；（2）解：設(shè)購買種樹苗a棵，則購買B種樹苗（100a）棵，其中a為正整數(shù)，根據(jù)題意得：，解得：，∵a為正整數(shù)，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6種購買方案，設(shè)總費用為w元，∴，∵1＜0，∴w隨a的增大而減小，∴當a=25時，w最小，最小值為475，此時100a=75，答：有6種購買方案，購買種樹苗，25棵，購買B種樹苗75棵費用最低，最低費用是475元．【模擬題】1．（2022年四川省綿陽市高中階段招生暨初中畢業(yè)水平考試數(shù)學診斷卷（七））某景點投入40輛同型號電動代步車，準備成立代步車租賃公司，市運管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數(shù)倍收取，但不得超過250元．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當每輛代步車的日租金不超過150元時，40輛代步車可以全部租賃出去；當每輛代步車的日租金超過150元時，每增加10元，租賃出去的代步車數(shù)量將減少2輛．已知租賃出去的代步車每輛一天各項支出共需20元，沒有租賃出去的代步車每輛一天各項支出共需10元，另外公司每天還需支出其他各項費用共1800元．(1)若40輛代步車能全部租出，當每天總租金不低于總支出時，每輛代步車的日租金至少是多少元？(2)求該代步車租賃公司一天的總利潤最多是多少元？【答案】(1)至少是90元(2)該代步車租賃公司一天的總利潤最多是3580元【詳解】（1）設(shè)每輛代步車的日租金為x元，由題意可得，解得．答：每輛代步車的日租金至少為90元．（2）設(shè)每輛代步車的日租金為m元，該公司一天的總利潤為W元．①當時，，∵W隨m的增大而增大，∴當時，W有最大值，（元）；②當時，每天可租出的代步車為輛，，整理可得，∴當時，W有最大值，（元），又∵，∴該代步車租賃公司一天的總利潤最多是3580元．2．（貴州省黔東南苗族侗族自治州凱里市第六中學20222023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）某商店經(jīng)銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種健身球每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）有如下關(guān)系：，設(shè)這種健身球每天的銷售利潤為w元．(1)如果銷售單價定為25元，那么健身球每天的銷售量是個；(2)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)(3)該種健身球銷售單價定為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元【詳解】（1）解：在中，令得，，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得，，即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（3）解：，∵，∴當時，w取最大值，最大值為，即該種健身球銷售單價定為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元．3．（2022年四川省眉山市中考數(shù)學模擬試題）某商場銷售的一種進價為元/臺的臺燈，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該臺燈每天的銷售量（臺）與銷售單價（元）滿足，設(shè)銷售這種臺燈每天的利潤為（元）(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式(2)在保證銷售量盡可能大的前提下，該商場每天想獲得元的利潤，應將銷售單價定為多少元？【答案】(1)(2)元【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，故與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）解：當時，，解方程得，，，當時，，每天的銷售量為臺，符合題意；當時，，每天的銷售量為臺，與保證銷售量盡可能大不符合．故應將銷售單價定為元．4．（四川省成都市成都市第七中學20222023學年九年級上學期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學試題）某商場以每件20元的價格購進一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量（件）與每件售價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．設(shè)該商場銷售這種商品每天獲利（元）．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)該商場規(guī)定這種商品每件售價不低于進價且不高于38元，商品要想獲得600元的利潤，每件商品的售價應定為多少元？【答案】(1)(2)(3)30元【詳解】（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，由所給函數(shù)圖象可知∶，解得，故與的函數(shù)關(guān)系式為；（2），即與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3），（舍），，每件商品的售價應定為30元．5．（2022年四川省樂山市峨眉山市第九年級二次調(diào)研檢測數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；(2)若點，在拋物線上，試比較、的大?。?3)，是拋物線上的兩點，且均滿足，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)5【詳解】（1）由題可得：二次函數(shù)的對稱軸為．（2）∵點，在拋物線上∴拋物線的開口向上，對稱軸為，又∵，，，∴點離拋物線的對稱軸距離較大，∴；（3）∵拋物線的開口向上，對稱軸為，∴點在拋物線對稱軸的右側(cè)，∵，①當點在對稱軸的右側(cè)，且在點的左側(cè)時滿足條件，∴且，解得；②當點在對稱軸的左側(cè)，且離對稱軸距離小于點時滿足條件，∴，，解得；綜上所述：當時，滿足題意；∴的最大值為．6．（湖北省天門市六校聯(lián)考20222023學年九年級上學期期中考試數(shù)學試卷）某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是元時，每天的銷售量是件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．(1)求出每天的銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于元，且每天的總成本不超過元，那么銷售單價應控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本每件的成本每天的銷售量）【答案】(1)(2)銷售單價為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元(3)銷售單價應該控制在元至元之間【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，故每天的銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）解：，∵，∴拋物線開口向下．，對稱軸是直線，∴當時，，答：銷售單價為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元；（3）解：當時，，解得，．∴當時，每天的銷售利潤不低于元．由每天的總成本不超過元，得，解得．∴，∵，∴，∴銷售單價應該控制在元至元之間．7．（江蘇省宿遷市鐘吾初級中學20212022學年八年級上學期期末數(shù)學試題）如圖1，甲、乙兩車分別從相距的兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)小時，并以各自的速度勻速行駛，甲車到達地后因有事按原路原速返回地．乙車從地直達地，兩車同時到達地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與甲車出發(fā)所用的時間（小時）的關(guān)系如圖2，結(jié)合圖像信息解答下列問題：(1)乙車的速度是千米/時，乙車行駛的時間t=小時；(2)求甲車從地按原路原速返回地的過程中，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求甲車出發(fā)多長時間兩車相距千米．【答案】(1)，(2)(3)甲車出發(fā)小時或小時或兩車相距千米【詳解】（1）∵乙車比甲車先出發(fā)小時，由圖象可知乙行駛了千米，∴乙車速度為：千米/時，乙車行駛?cè)痰臅r間（小時）；故答案為：，；（2）根據(jù)題意可知甲從出發(fā)到返回地需小時，∵甲車到達地后因立即按原路原速返回地，∴結(jié)合函數(shù)圖象可知，當時，；當時，；設(shè)甲車從C地按原路原速返回A地時，即，甲車距它出發(fā)地的路程y與它出發(fā)的時間的函數(shù)關(guān)系式為：，將函數(shù)關(guān)系式得：，解得：，故甲車從地按原路原速返回地時，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時間的函數(shù)關(guān)系式為：；（3）由題意可知甲車的速度為：（千米/時），設(shè)甲車出發(fā)小時兩車相距千米，有以下兩種情況：①兩車相向行駛時，有：，解得：；②兩車同向行駛時，有：，解得：；③兩車相遇之后，甲返回前，有，解得：；∴甲車出發(fā)小時或小時或兩車相距千米．8．（2021年四川省成都市金牛區(qū)五校中考數(shù)學聯(lián)合監(jiān)測試卷（5月份））習近平主席在第七十五屆聯(lián)合國大會一般性辯論上的講話中指出，中國宣布將提高“國家自主貢獻”力度，力爭2030年前二氧化碳排放達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應習近平主席的號召，某新能源汽車制造商一次性投資9000萬研發(fā)一款新型新能源汽車，如果按每輛20萬元定價能賣出4000輛，如果每輛車定價每提高1萬元少賣出200輛．設(shè)銷售數(shù)為y（輛），銷售價格為x（萬元）．(1)求銷售數(shù)y（輛）與銷售價格x（萬元）之間的關(guān)系式；(2)如果每生產(chǎn)一輛汽車，需要再投入18萬元，當銷售價格定為多少時，才能使得利潤最大，最大利潤為多少？【答案】(1)y=200x+8000(2)銷售價格定為29萬元時，才能使得利潤最大，最大利潤為15200萬元【解析】（1）解：由題意得：y=4000200（x20）=200x+8000（x≥20），∴銷售數(shù)y與銷售價格x之間的關(guān)系式為y=200x+8000；（2）解：設(shè)利潤為w萬元，由題意得：w=yx900018y=（x18）y9000=（x18）（200x+8000）9000=200x2+11600x153000=200（x29）2+15200，∵200＜0，∴當x=29時，w最大，最大值為15200萬元，∴銷售價格定為29萬元時，才能使得利潤最大，最大利潤為15200萬元．9．（2022年四川省廣安市鄰水縣九年級中考模擬考試數(shù)學試題）新冠肺炎疫情是百年來全球最嚴重的傳染病，面對嚴重威脅人民生命健康的傳染病，中國共產(chǎn)黨不惜一切代價保護人民生命安全．某市政府為了進行疫情防控，改善市內(nèi)河流水質(zhì)，審批市環(huán)保部門再購買10臺污水處理設(shè)備．現(xiàn)有A，B兩種型號的設(shè)備，其中每臺的價格，月處理污水量如下表，經(jīng)調(diào)查：購買3臺A型設(shè)備和2臺B型設(shè)備共用56萬元，購買4臺A型設(shè)備比購買5臺B型設(shè)備少2萬元．A型B型價格（萬元/臺）ab處理污水量（噸/月）240200(1)求a，b的值；(2)若政府規(guī)定購買污水處理設(shè)備的資金不超過106萬元，每月要求處理污水量不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請你為環(huán)保部門設(shè)計一種最省