重難點03旋轉(zhuǎn)綜合題（4種題型）（原卷版）

重難點03旋轉(zhuǎn)綜合題（4種題型）技巧技巧方法1.生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象注意：①旋轉(zhuǎn)是圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．②旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向．③旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點．．2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．3.旋轉(zhuǎn)對稱圖形常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．4.坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點對稱的點的坐標P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．5.中心對稱（1）中心對稱的定義把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點．．（2）中心對稱的性質(zhì)①關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分．6.中心對稱圖形注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關(guān)系，而中心對稱圖形是指一個圖形自身的特點，這點應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同．7.關(guān)于原點對稱的點的坐標關(guān)于原點對稱的點的坐標特點（1）兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．（2）關(guān)于原點對稱的點或圖形屬于中心對稱，它是中心對稱在平面直角坐標系中的應(yīng)用，它具有中心對稱的所有性質(zhì)．但它主要是用坐標變化確定圖形．能力拓展能力拓展題型一：線段問題一、填空題1．（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級期末）已知直線與直線，若將繞平面內(nèi)一點P順時針旋轉(zhuǎn)后恰好能與重合，則稱點P為關(guān)于的“順合點”．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點，，中是y軸關(guān)于x軸的“90°順合點”的是______；如圖2，已知直線與直線交于點A，點C，D是直線上不重合的兩點，．位于直線右側(cè)的一點P是關(guān)于的“60°順合點”，，連接PC，PD．點B在上，連接BP，若且，則______．二、解答題2．（2022·浙江湖州·八年級期末）如圖1，已知在平面直角坐標系中，的頂點在軸上，點的坐標是，點的坐標是，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，，．(1)求點的坐標和的度數(shù)；(2)如圖2，將點繞點逆時針轉(zhuǎn)動度（）得到點，點是平面內(nèi)一點，以、、、為頂點形成的四邊形為平行四邊形．①當(dāng)該平行四邊形為菱形且是其一邊時，求點的坐標；②當(dāng)內(nèi)部（包含邊界）存在滿足條件的點時，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．3．（2022·山東濟南·八年級期末）如圖1，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，點A在DG上，連接AE，CG．(1)求證：；(2)猜想：AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在其它條件不變的前提下，如果將正方形ABCD繞著點D按逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度（如圖2）．那么（2）中結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(4)如圖3，將正方形ABCD繞著點D旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得，．當(dāng)正方形DEFG的邊長為時，請直接寫出正方形ABCD的邊長．4．（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級期末）ABC是等邊三角形，在CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，連接AD，BE．(1)如圖1，若E是線段AB上一點，sin∠ACD＝，CE＝3，則AD長度為多少？(2)如圖2，取BE中點為F，連接AF，DF，DE與AF的交點為G．若DE平分∠FDA，猜想并證明AG與DF的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，若AB＝2，E是線段AB上一點，點M是線段CD上一點，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，請直接寫出當(dāng)面積最大時，的最大值．5．（2022·陜西渭南·八年級期末）數(shù)學(xué)探究課上老師出了這樣一道題：“如圖，等邊中有一點，且，，，試求的度數(shù)．”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，請按照下列思路要求畫圖或判斷．(1)在圖中畫出繞點順時旋轉(zhuǎn)60°后的，并判斷的形狀是___________；(2)試判斷的形狀，并說明理由；(3)由（1）、（2）兩問可知：___________．6．（2022·重慶大渡口·八年級期末）在中，，，點D在直線AB上，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，點F是線段DE的中點，連接AF．(1)如圖1，當(dāng)點D在BA的延長線上時，連接AE，若DE=4，求線段AF的長度；(2)如圖2，當(dāng)點D在AB的延長線上時，若點G是線段AD的中點，連接FG，求證：；(3)如圖3，連接CF和BE，若，當(dāng)線段CF取最小值時，請直接寫出的面積．（2021·江西景德鎮(zhèn)·八年級期末）7．[方法探索]如圖1，在等邊中，點在內(nèi)，且，，，求的長．小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖1，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，分別證明和是特殊三角形，從而得解．請在此思路提示下，求出的長．解：把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．接著寫下去：8．[方法應(yīng)用]請借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，解決下面問題：①如圖2，點在等邊外，且，，若，求度數(shù)．②如圖3，在中，，，是外一點，連接、、．已知，．求的長．9．（2022·廣東深圳·八年級期末）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【觀察猜想】當(dāng)△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接BD、AE，延長BD交AE于點F，猜想線段BD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)【探究證明】如圖2，將△DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ACD中，，，，將AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接BD，求BD的長．10．（2022·重慶市育才中學(xué)八年級期中）已知為等邊三角形，邊長為4，點D、E分別是、邊上一點，連接、．．(1)如圖1，若，求的長度；(2)如圖2，點F為延長線上一點，連接、，、相交于點G，連接，已知，求證：；(3)如圖3，點P是內(nèi)部一動點，順次連接，請直接寫出的最小值．11．（2022·重慶實驗外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）菱形的對角線交于點．

(1)如圖1，過菱形的頂點作于點，交于點，若，求四邊形的面積；(2)如圖2，過菱形的頂點作，且，線段交于點，交于點，若、、三點共線，求證：；(3)如圖3，菱形中，，，點為射線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，直接寫出線段的最小值．題型二：面積問題一、解答題1．（2022·遼寧錦州·八年級期末）在與中，，，．(1)如圖1，若點，，在同一直線上，連接，，則與的關(guān)系為_________；(2)如果將圖1中的繞點在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請你判斷與的關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，若，，連接，分別取，，的中點，，，連接，，，將繞點在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中面積的最小值和最大值．2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．題型三：角度問題一、單選題1．（2022·山東濟南·八年級期中）如圖，P是平分線上一點，OP＝10，，在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、解答題2．（2022·江蘇泰州·八年級期中）如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為5和2，點E、G分別在邊AB和邊AD上，連接BG、DE，P為BG的中點，將正方形AEFG繞著點A從圖1位置順時針旋轉(zhuǎn)度（）．(1)當(dāng)A、G、B三點不共線時，；（填“＞”、“＝”或“＜”）(2)如圖2，當(dāng)時，求的值；(3)在正方形AEFG轉(zhuǎn)動一周的過程中，①求點P運動的路徑長；②當(dāng)時，請直接寫出滿足條件的的值．3．（2022·廣東深圳·八年級期末）如圖1，在平面直角坐標系中，△ABO為直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，點C為OB上一動點．(1)點A的坐標為；(2)連接AC，并延長交y軸于點D，若△OAD的面積恰好被x軸分成1∶2兩部分，求點C的坐標；(3)如圖2，若∠OAC＝30°，將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到△OA'B'，如圖2所示，OA'所在直線交直線AC于點P，當(dāng)△OAP為直角三角形時，直接寫出點的坐標．4．（2022·廣東·惠來縣第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖1，點為直線上一點，將一副三角板的各一銳角頂點放在點上，邊，分別在射線，上，其中，，，將三角板繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，三角板旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部．①當(dāng)恰好平分時，求旋轉(zhuǎn)時間以及的度數(shù)；②的度數(shù)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．(2)在三角板開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角板繞點以每秒的速度順時針開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)時兩個三角板都停止運動，在運動過程中，當(dāng)時，請直接寫出所有符合條件的運動時間（本題中所研究的角都是小于等于的角）．5．（2022·北京通州·八年級期末）如圖，，點與點關(guān)于射線對稱，連接．點為射線上任意一點，連接．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段，連接．（1）求證：直線是線段的垂直平分線；（2）點是射線上一動點，請你直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2022·福建·廈門市蓮花中學(xué)八年級期中）如圖①②③，平面內(nèi)三點O，M，N．如果將線段OM繞點O旋轉(zhuǎn)90°得ON，稱點N是點M關(guān)于點O的“等直點”，如果OM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得ON，稱點N是點M關(guān)于點0的“正等直點”，如圖②．（1）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點P（2，1）．①在（－1，2），（2，－1），（1，－2）三點中，_________是點P關(guān)于原點O的“等直點”：②若直線：交軸于點M，若點N是直線上一點，且點N是點M關(guān)于點P的“等直點”，求直線的解析式：（2）如圖3，已知點A的坐標為（2，0），點B在直線：上，若點B關(guān)于點A的“正等直點”C在坐標軸上，D是平面內(nèi)一點，若四邊形ABCD是平行四邊形，直接寫出點D的坐標．題型四：其他問題一、解答題1．（2022·四川達州·八年級期末）綜合與探究【問題】王老師給了一個思考題：如圖（1），E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的動點，∠EAF=45°連接EF，求證：EF=BE+DF．思考后，王老師歸納了思路：可將△ADF繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABG的位置，如圖（2），這時，易知C、B、G在同一直線上，△ADF≌△ABG，BG=DF，可證△AEF≌△AEG，所以，EF=EG=BE+BG=BE+DF．最后，王老師希望同學(xué)們進一步研究．【探索研究】研究后，小明發(fā)現(xiàn)原題條件核心有：AB=AD，∠EAF=∠BAD，對角∠ABC和∠ADC互補．于是將問題演變?yōu)椋喝鐖D（3），等邊三角形ABM中，AB=4，將AM沿BM方向平移到CD，使CM=BM，連接AD，E是線段BM上一個動點（不與B、M重合），連接AE，并在AE右側(cè)作正△AEN，延長AN交直線CD于F，連接EF．(1)探索是否仍存在關(guān)系：EF=BE+DF？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．(2)連接CN，E點運動中，何時CN最短？并求CN的最小值．2．（2022·北京鐵路二中八年級期中）如圖，等腰中，，點P為射線BC上一動點（不與點B、C重合），以點P為中心，將線段PC逆時針旋轉(zhuǎn)角，得到線段PQ，連接、M為線段BQ的中點．(1)若點P在線段BC上，且M恰好也為AP的中點，①依題意在圖1中補全圖形：②求出此時的值和的值；(2)寫出一個的值，使得對于任意線段BC延長線上的點P，總有的值為定值，并證明；3．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）正方形中，對角線、交于點O，點E、F、G分別在邊、、上．(1)在圖①中，于點P，連接、；①判斷線段、之間的關(guān)系____________；②若，，P、Q兩點關(guān)于直線對稱，直接寫出線段的長度______；③若，當(dāng)E、F在邊、上運動時，的最小值是______；(2)在圖②中，于點P，連接，比較

與的大小關(guān)系，并說明理由．4．（2022·重慶巴蜀中學(xué)八年級開學(xué)考試）在邊長為的正方形ABCD中，點N為BA延長線上一點，連接DN．(1)如圖1，以BC為邊向內(nèi)作正△BCM，連接MN，當(dāng)C，M，N三點共線時，求：△ADN的面積；(2)如圖2，以BC為邊向外作正△BCM，連接DM，CP平分∠BCD交DM于點P，連接PB，當(dāng)∠AND＝60°時，連接NP．證明：；(3)