第07講弧長扇形面積和圓錐的側(cè)面積（知識解讀真題演練課后鞏固）（原卷版）

第07講弧長、扇形面積和圓錐的側(cè)面積理解弧長和扇形面積及公式，并會計算弧長和扇形的面積經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學思想、培養(yǎng)學生的探索能力；通過弧長及扇形面積公式解決實際問題，讓學生體驗數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系；4.通過探索圓錐側(cè)面積和全面積計算公式，并熟練運用公式解決問題。知識點1：扇形的弧長和面積計算扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積注意：(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(4)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(5)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

知識點2：扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系1、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=圓柱的體積：2、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）【題型1弧長的計算】【典例1】（2023?懷集縣二模）如圖，△ABC內(nèi)接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，則的長是（）A． B． C． D．π【變式11】（2023?欽州一模）如圖，點A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于點D，∠E＝22.5°，OB＝2，則的長為（）A． B． C．π D．π【變式12】（2023?崆峒區(qū)校級三模）道路施工部門在鋪設(shè)如圖所示的管道時，需要先按照其中心線計算長度后再備料．圖中的管道中心線的長為（單位：m）（）A． B． C． D．【變式14】（2022秋?石景山區(qū)期末）若圓的半徑為9，則120°的圓心角所對的弧長為（）A．3 B．6 C．3π D．6π【變式14】（2023?蘭州模擬）如圖，從一塊半徑為8cm的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是60°的扇形ABC，則扇形ABC中弧BC的長為（）cmA． B． C． D．【題型2利用弧長公式求周長】【典例2】（2023?寧德模擬）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時廣泛使用的一種圖形．如圖，以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”．若等邊三角形ABC的邊長為2，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．2π B． C． D．【變式21】（2022?濰坊三模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D為BC的中點，連接AD，以點D為圓心，DA長為半徑作弧MN，若DM⊥AB于點E，DN⊥AC于點F．則圖中陰影部分的周長為（）A． B． C． D．【變式22】（2022?山西模擬）小敏所在的小區(qū)有如圖1所示的護欄宣傳版面，其形狀是扇形的一部分，圖2是其平面示意圖，AD和BC都是半徑的一部分，小敏測得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，則這塊宣傳版面的周長為（）A．（π+2）m B．（π+2）m C．（）m D．（）m【變式23】（2023?安陸市二模）如圖，分別以△ABC的三個頂點為圓心，作半徑均為1的三個圓，三圓兩兩不相交，那么三個圓落在△ABC內(nèi)的三段弧長度之和為（）A．3π B．2π C．π D．【題型3計算扇形的面積】【典例3】（2023?忻州模擬）習近平總書記強調(diào)：“青年一代有理想、有本領(lǐng)、有擔當，國家就有前途，民族就有希望”．如圖①是一塊弘揚“新時代青年勵志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為（）A． B．3m2 C． D．故選：A．【變式31】（2023?溫州三模）一個扇形的圓心角為135°，半徑為2，則該扇形的面積為．【變式32】（2023?嘉祥縣二模）扇子在我國已經(jīng)有三、四千年的歷史，中國扇文化有豐富的文化底蘊．如圖，扇形紙扇完全打開后，弧BC的長度為20πcm，弧DE的長度為，扇面邊緣寬BD的長為20cm，則扇面DBCE的面積為cm2．【題型4計算不規(guī)則圖形的陰影部分面積】【典例4】（2023?平遙縣二模）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，將Rt△ACB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DCE，點B經(jīng)過的路徑為，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【變式41】（2023?建昌縣二模）如圖，扇形紙片的半徑為6，沿AB折疊扇形紙片，點O恰好落在上的點C處，圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【變式42】（2023?長陽縣一模）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，連接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，則圖中陰影部分的面積為．【變式43】（2023?葉縣模擬）如圖，扇形OAB的半徑OA＝2cm，∠AOB＝120°，則以AB為直徑的半圓與圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是cm2．【題型5旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積】【典例5】（2020秋?江城區(qū)月考）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A′B′C的位置．若BC的長為7.5cm，那么頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm【變式51】（2022?棗莊）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計風車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為．（結(jié)果保留π）【變式52】（2022?武山縣校級一模）如圖，正六邊形ABCDEF是邊長為2cm的螺母，點P是FA延長線上的點，在A、P之間拉一條長為12cm的無伸縮性細線，一端固定在點A，握住另一端點P拉直細線，把它全部緊緊纏繞在螺母上（纏繞時螺母不動），則點P運動的路徑長為．【變式53】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A′B′C，直接寫出A′，B′坐標；（2）在（1）的條件下，請直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到點B′所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）；（3）在（1）的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，線段AC所掃過的面積（結(jié)果保留π）．【典例6】（2023?豐潤區(qū)二模）如圖，將含60°角的直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB'C'，點B經(jīng)過的路徑為弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．3π【變式61】（2023?涼山州模擬）如圖，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，則線段AB掃過的圖形面積為（）A． B． C．6π D．以上答案都不對【變式62】（2023春?諸暨市月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分別為邊AB，AC的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△A1BC1的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（）A．π﹣ B．π+ C．π D．【變式63】（2023?義烏市校級開學）如圖，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，點C在線段BD上，BC＝2．將△BDE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，使得BE與BA重合，則線段DE所掃過的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C． D．【題型6圓錐的計算】【典例7】（2023?零陵區(qū)三模）如圖，圓錐的底面半徑是1，則圓錐側(cè)面展開圖中扇形的弧長為（）A．π B．2π C．3π D．4π【變式71】（2023?武陵區(qū)一模）已知圓錐的母線長為5cm，底面半徑為3cm，則該圓錐的側(cè)面積是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．15πcm2 D．12πcm2【變式72】（2023?仁和區(qū)二模）如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面圓面積為36πm2，圓柱高為4m，圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是（）A． B．144πm2 C． D．216πm2【變式73】（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，用一個圓心角為θ的扇形紙片圍成一個底面半徑為2，側(cè)面積為8π的圓錐體，則該扇形的圓心角θ得大小為（）A．90° B．120° C．150° D．180°【題型7圓柱的計算】【典例8】（2022秋?懷柔區(qū)校級月考）將一個高6cm的圓柱轉(zhuǎn)化成如圖的一個幾何體后，表面積增加了48cm2．這個圓柱的半徑是（）cm．A．2 B．4 C．8 D．16【變式81】（2022春?綏棱縣校級月考）把一根長2米、底面積是20平方厘米的圓柱形木料平行于底面截成3段，表面積增加了（）平方厘米．A．240 B．80 C．120 D．160【變式82】（2022?綿陽）如圖，錨標浮筒是打撈作業(yè)中用來標記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個這樣的錨標浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（）A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．3579600001．（2023?新疆）如圖，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，則扇形OAB（陰影部分）的面積是（）A．12π B．6π C．4π D．2π2．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．203．（2023?宜賓）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點．MN⊥AB．“會圓術(shù)”給出的弧長l的近似值計算公式：l＝AB+．當OA＝4，∠AOB＝60°時，則l的值為（）A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣44．（2023?永州）已知扇形的半徑為6，面積為6π，則扇形圓心角的度數(shù)為度．5．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為．6．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為cm．7．（2023?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為BC的中點，連接AE．DE．以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點M，N．則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．8．（2023?重慶）如圖，⊙O是矩形ABCD的外接圓，若AB＝4，AD＝3，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）9．（2023?內(nèi)江）如圖，用圓心角為120°半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的高是．10．（2023?寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側(cè)面積為cm2．（結(jié)果保留π）11．（2023?自貢）如圖，小珍同學用半徑為8cm，圓心角為100°的扇形紙片，制作一個底面半徑為2cm的圓錐側(cè)面，則圓錐上粘貼部分的面積是cm2．1．（2023?東莞市校級模擬）如圖，點A、B、P在⊙O上，若AO＝2，∠APB＝35°，則劣弧的長度為（）A． B． C．π D．2．（2023?南崗區(qū)校級三模）已知扇形半徑為6，弧長為4π，則扇形面積為（）A．10π B．12π C．16π D．24π3．（2023?大同模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3，將扇形AOB沿過點B的直線折疊，使點O恰好落在AB上的點D處，折痕為BC，則陰影部分的面積為（）A． B．﹣3 C． D．4．（2023?建昌縣一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交邊CD于點E，連接AE，則扇形BAE的面積為（）A． B． C． D．5．（2023?南皮縣校級一模）數(shù)學課上，老師將如圖邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細忽略不計），則所得扇形DAB的面積是（）A．1 B．1.5 C．2 D．6．（2022秋?防城港期末）在中國書畫藝術(shù)中，扇面書畫是一種特殊的形式．如圖扇面書法作品的形狀是同心圓作出的扇面，扇面弧所對的圓心角是120°，大圓半徑是20cm，小圓半徑是10cm，則此書法作品的扇面面積是（）A．300πcm2 B．200πcm2 C．100πcm2 D．80πcm27．（2022?治多縣模擬）鐘面上的分針的長為1，從9點到9點15分，分針在鐘面上掃過的面積是（）A．π B．π C．π D．48．（2023?宿遷一模）若圓柱的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則這個圓柱的側(cè)面積為（）A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm29．（2023?常德三模）已知圓錐的母線長為5cm，側(cè)面積為15πcm2，則這個圓錐的底面圓的面積為（）A．2.25πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．36πcm210．（2023?天門校級模擬）如圖，圓錐的軸截面是一個斜邊為2的等腰直角三角形，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A． B． C．2π D．11．（2023?微山縣一模）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠BAC＝α，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長交AB于點D，當B′D⊥AB時，弧BB′的長是（）A．2π B． C． D．12．（2023?慶元縣一模）如圖所示的圖形叫弧三角形，又叫萊洛三角形，是機械學家萊洛首先進行研究的．弧三角形是這樣畫：先畫正三角形ABC，然后分別以點A，B，C為圓心，AB長為半徑畫?。粢粋€弧三角形的周長為2π，則此弧三角形的面積是（）A． B． C． D．2π13．（2023?陽泉二模）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝6，半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°．點A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為（）?A． B．π C． D．14．（2022?南崗區(qū)校級開學）一個底面直徑是10厘米，高是20厘米的圓柱，如果把它沿直徑垂直于底面切成兩半，表面積增加了