9.4矩形菱形正方形（第1課時矩形）

9.4矩形、菱形、正方形（第1課時，矩形）一、單選題1．下列性質(zhì)中,矩形具有而一般平行四邊形不具有的是（

）．A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線相等 D．對邊平行【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出結論．【解析】解：∵矩形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分且相等；平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分；∴矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是對角線相等；故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握矩形和平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．2．如圖，矩形ABCD的對角線，則BD的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AC=BD且AO=CO，根據(jù)AO=3，求出AC，進一步求BD即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC，∵AO=3cm，∴AC=2AO=6cm，∴BD=6cm．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)定理并靈活運用是解題的關鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．3．如圖，矩形的對角線、相交于點，，，則矩形的對角線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，，，，推出，求出等邊三角形，求出，即可得出答案．【解析】，，四邊形是矩形，，，，，，，是等邊三角形，，，，．故選C．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應用，解此題的關鍵是求出、的長．4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，交BD于點E，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OD，從而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．【解析】解：在矩形ABCD中，OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，∴∠ADO=55°，∵，即∠AED=90°，∴∠DAE=35°．故選：B【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的對角線相等且互相平分是解題的關鍵．5．在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，在下列各組條件中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD【答案】C【解析】解：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴A正確；∵AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又，∴四邊形ABCD是矩形，∴B正確；∵∠A=∠C，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴C不正確；如圖所示：在和中，∴BC=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∴四邊形ABCD是矩形，∴D正確；故選：C6．已知四邊形ABCD的對角線相交于點O，且OA=OB=OC=OD，那么這個四邊形是（

）A．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形 B．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形C．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 D．既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形【答案】C【分析】先根據(jù)已知條件OA=OB=OC=OD，可知四邊形ABCD的對角線相等且互相平分，得出四邊形ABCD是矩形，然后根據(jù)矩形的對稱性，得出結果．【解析】解：如圖所示：∵四邊形ABCD的對角線相交于點O且OA=OB=OC=OD，∴OA=OC，OB=OD；AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的判定及矩形的對稱性．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．7．如圖，在平行四邊形中，、是上兩點，，連接、、、，添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知：，，再證明即可證明四邊形是平行四邊形．【解析】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵對角線上的兩點、滿足，∴，即，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．8．如圖，已知直線，下列結論中，正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等，同底等高的三角形面積相等即可解答．【解析】∵直線AD∥BC，∴AD、BC平行線間的距離處處相等，∵同底等高的三角形面積相等∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩平行線間的距離處處相等是解題的關鍵．9．如圖，在矩形中，，E是的中點，于點F，則的長是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】延長交于點M，可證得，從而得到，進而得到，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【解析】解：如圖，延長交于點M，∵E是的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，即，∴，故選：C【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，倍長中線構造全等三角形是解題的關鍵．10．如圖，在矩形ABCD中，以對角線AC為斜邊作Rt△AEC，過點E作EF⊥DC于點F，連結AF，若AD=DF，S△AEF=3，S△ACF=5，則矩形ABCD的面積為（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】過點E作EG垂直AD延長線于點G，然后通過已知三角形的面積得到EF和FC的比值，從而設EF和FC的長度分別為3b和5b，AD和DF的長度為a，然后利用Rt△GEA，Rt△EFC，Rt△CEA，Rt△DAC中的勾股定理得到a與b的關系，再利用△AEF的面積求出a和b的值，最后求矩形ABCD的面積．【解析】解：過點E作EG⊥AD交AD的延長線與G∵EF⊥DC∴，∵DF=AD∴EF：CF=3∶5設EF=3b，CF=5b，AD=DF=a∵∠G=90°，∠EFD=90°，∠GDF=90°∴四邊形EFDG是矩形∴GE=DF=a，GD=EF=3b在Rt△GEA中，在Rt△EFC中，在Rt△CEA中，∴==在Rt△DAC中，∴=∴∵b>0∴∴∴∴a=∴故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理，本題的關鍵是適當設定未知數(shù)利用Rt△DAC和Rt△EAC共用AC邊建立方程．二、填空題11．如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=12，如果∠AOD=60°，則DC=__．【答案】【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA＝OD，然后判斷出△AOD是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝OA＝6，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理以及等邊三角形的判定，解題關鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出△AOD是等邊三角形．12．如圖所示，在□ABCD中，，，平分，，則_____．【答案】1.5.【分析】根據(jù)題意畫出圖形,由題意得出△CDF是等腰直角三角形即可得出DF的長,從而得出AF．【解析】由題意畫出圖形如下:∵ABCD是矩形,∴AD=BC=5cm,CD=AB=3.5cm,∵AE平分∠BAD,CF∥AE,∴△ABE和△CDF是等腰直角三角形,∴DF=CD=3.5cm,∴AF=AD－AF=1.5cm．故答案為:1.5．【點睛】本題考查矩形和等腰直角三角形的性質(zhì),關鍵在于熟練掌握基礎知識并靈活運用．13．矩形的兩條對角線的夾角為，較短的邊長為，則對角線長為________．【答案】24【分析】根據(jù)矩形對角線相等且互相平分性質(zhì)和題中條件得△AOB為等邊三角形，即可得到矩形對角線一半長，進而求解即可．【解析】解：如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，AC，BD是對角線，∴AC=BD，OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，OA＝OB＝AB＝12cm，則BD＝2OB＝2×12＝24（cm），故答案為24．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，比較簡單，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定．14．矩形ABCD中，對角線AC=10㎝，兩鄰邊長度之比AB:BC是3:4，那么=____㎝2．【答案】48【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，設AB=3xcm,BC=4xcm，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出x，從而求出AB和BC，最后根據(jù)矩形的面積公式計算即可．【解析】解：如下圖所示，設AB=3xcm,BC=4xcm，根據(jù)勾股定理AB2＋BC2=AC2即，解得：x=2或2（不符合實際，舍去）∴AB=6cm，BC=8cm∴=cm2故答案為：48．【點睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)和勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關鍵．15．四邊形中，交于O，給出條件①；②；③；④．其中能推得四邊形是矩形的是（填序號）___________．【答案】③【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可．【解析】①∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；②，不能判定四邊形ABCD是矩形，不符合題意；③∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，符合題意；④，不能推出四邊形ABCD是矩形，不符合題意；故答案為：③．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．16．如圖，延長矩形的邊至點，使，若，則____．【答案】15°##15度【分析】連接AC，由矩形性質(zhì)可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度數(shù)．【解析】解：連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AD=AD,AB=CD，∴△ABD≌△DCA，∴∠ADB=∠CAD=30°，∵AD∥BE，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案為：15°．【點睛】本題主要考查矩形性質(zhì)，熟練掌握矩形對角線相等且互相平分、對邊平行是解題關鍵．17．如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為__．【答案】【分析】先根據(jù)矩形的判定得出是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，互相平分，且，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出時，的值最小，即的值最小，根據(jù)面積關系建立等式求出其解即可．【解析】解：如圖，連接，，，，，于，于，四邊形是矩形，，互相平分．且，，的交點就是點．當?shù)闹底钚r，的值就最小，當時，的值最小，即的值最?。?，，，，，，，；故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出的最小值是關鍵．18．如圖，矩形中，，點是上的一點，，的垂直平分線交的延長線于點，連接交于點．若是的中點，則的長是________．【答案】10.5【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=CF，EG=FG，設DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=AD．【解析】∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=12，∴CG=DG=CD=AB=×12=6，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（ASA），∴DE=CF，EG=FG，設DE=，則BF=BC+CF=AD+CF=，在Rt△DEG中，EG=，∴EF=2EG=2，∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，∴2，解得，∴AD=AE+DE，∴BC=AD=10.5．故答案為：10.5．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．三、解答題19．已知：如圖，四邊形是矩形，，對角線與相交于點O．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)題意證明即可證明．【解析】證明：（1）∵四邊形是矩形，∴（矩形的對角相等），（矩形的對邊平行）．∴．又∵，∴．∴；（2）∵四邊形是矩形，∴（矩形的對邊相等）．在和中，∵，，∴．∴．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的證明方法，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形全等的證明方法．20．如圖，在中，為邊上的中線，延長至E，使，連接，．（1）試判斷四邊形的形狀；（2）當滿足什么條件時，四邊形是矩形？【答案】（1）四邊形是平行四邊形；（2）當?shù)氖侵苯菚r，四邊形是矩形．【分析】（1）由已知條件得出BD＝CD，再由DE＝AD，即可證出四邊形ABEC是平行四邊形；（2）由矩形的定義即可得出結論．【解析】解：（1）四邊形ABEC是平行四邊形；理由如下：∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵DE＝AD，∴四邊形ABEC是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；（2）當∠BAC＝90°，四邊形ABEC是矩形；理由如下：∵四邊形ABEC是平行四邊形，∠BAC＝90°，∴四邊形ABEC是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定；熟練掌握平行四邊形和矩形的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．21．如圖?ABCD，四個內(nèi)角的平分線相交于E、F、G、H四個點；求證：四邊形EFGH是矩形．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，進而判定四邊形EFGH是矩形．【解析】解：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵?ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四邊形EFGH是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，難度適中．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．【答案】（1）見詳解；（2）5【分析】（1）先求出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出BC長，求出AD＝DF，即可得出答案．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形；（2）解：∵四邊形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，∴BC＝5，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵AB∥DC，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵AD＝BC，∴DF＝BC，∴DF＝5．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．23．如圖，在四邊形中，ADBC，．對角線交于點平分交于點，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)，．求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形進行證明；（2）由矩形可知，可證等邊，解，得，解等腰，得，進而求解即可．(1)證明：∵AD//BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵DE平分，∴，∵AD//BC，∴，∴，∴，∴，∴的面積=．【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用．24．如圖，在矩形中、，動點分別從點同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動（點P停止移動時，點Q也停止移動）．設移動時間為t（s）．連接．(1)當為何值時，兩點間的距離為？(2)當為何值時，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由．【答案】(1)出發(fā)秒時，間的距離是(2)時，四邊形的形狀可能為矩形【分析】（1）設出發(fā)秒后兩點間的距離是，則作于，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解；（2）當四邊形APQD為矩形，則，建立方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：設出發(fā)t秒后P、Q兩點間的距離是13cm．依題意，如圖，作于，則，在中，即：，解得：或，∵t的最大值是（秒），∴,答：出發(fā)秒時，間的距離是；（2）四邊形APDQ的形狀有可能為矩形；理由：當四邊形APQD為矩形，則，即，解得：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解一元二次方程，根據(jù)題意表示出是解題的關鍵．25．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②75°【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證AC=BD，即可得出結論；（2）①先證明△ADE是等腰直角三角形，再證得，即可得出結論；②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出結果．【解析】（1）證明：∵AD∥BC，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

∴BD＝2OB

∵AC＝2OB∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO

∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝45°

∴∠DEA＝45∴DA＝DE

又∵∠OAE＝15°∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°

∴DA＝DO＝AO∴DA＝DO＝DE

②解：，，．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．26．在平行四邊形中，，將沿翻折至，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)在平行四邊形中，已知：，將沿翻折至，連接．若以A、C、D、為頂點的四邊形是矩形，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再由折疊的性質(zhì)證明即可證明；（2）根據(jù)等邊對等角結合三角形內(nèi)角和定理證明，即可證明；（3）分兩種情況當四邊形為矩形和四邊形為矩形，畫出對應的圖形，利用矩形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，，∴，∴，即；（2）證明：∵，∴，同理可得，∵，∴，∴；（3）解：分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴,∴；②如圖2所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴,∴，綜上所述：的長為或．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．27．在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，過點A作AE⊥BC于點E．（1）如圖1，求證：AE＝CE；（2）如圖2，點F是線段CE．上一點，CF＝BE，F(xiàn)G⊥BC交BD于點G，連接AG，求證：AG＝BE+FG；（3）如圖3，在（2）的條件下，若EF＝10，F(xiàn)G＝7，求AG的長．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【分析】（1）過點D作DM⊥AE于點M，證明，即可得到結論；（2）延長GF到點M，使FM=BE，則BE+FG=MG，先證明，再證明，進而即可得到結論；（3）過點G作GN⊥AE，設BE=x，則AG=BE+FG=x+7，AN=3+x，結合勾股定理，列出方程，進而即可求解．【解析】解：（1）過點D作DM⊥AE于點M，∵∠DME=∠MEC=∠C=90°，∴四邊形CDME是矩形，∴DM=CE，又∵∠BAD=∠AMD=90°，∴∠1+∠EAD=∠2+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在和中，∵，∴，∴AE=DM，∴AE=CE；（2）延長GF到點M，使FM=BE，則BE+FG=MG，∵BE=CF，∴BF=CE=AE，在和中，∵，∴，∴∠BAE=∠MBF，AB=BM，∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠MBF+∠ABE=90°，∴∠ABM=90°，∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=45°，∴∠DBM=45°，∴∠ABD=∠DBM，∴，∴AG=MG=BE+FG；（3）過點G作GN⊥AE，設BE=x，則AG=BE+FG=x+7，∵∠GNE=∠NEF=EFG=90°，∴四邊形EFGN是矩形，∴NG=EF=10，EN=FG=7，又∵AE=BF=10+x，∴AN=AEEN=10+x7=3+x，在直角中，，解得：x=，∴AG=x+7=+7=．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰自交三角形的性質(zhì)，添加輔助線構造全等三角形，掌握“截長補短法”是解題的關鍵．28．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若點P是CD上任意一點，如圖①，PE⊥BD于點E，PF⊥AC于點F．(1)猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的理由．(2)當點P是AD上任意一點時，如圖②，猜想PE和PF之間的數(shù)量關系(3)當點P是DC上任意一點時，如圖③，猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出推理過程．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）連接，設點到的距離為，利用勾股定理求出，由等面積法求出得，由建立等式再化簡即可得到；（2）連接，設點到的距離為，由（1）得，同樣利用等面積法，即，即可求解；（3）連接、，由，建立等式，進行化簡整理即可求解．（1）解：連接，如圖1，設點到的距離為．在中，，由，得．四邊形是矩形，，由，得，，化簡得，（2）解：，理由見解析，連接，如下圖：設點到的距離為，由（1）得，，，，故答案為：．（3）解：，理由如下：連接、，如圖．由，，化簡得，即．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是能夠根據(jù)兩種方法表示圖形面積，利用等面積法求解．29．已知平行四邊形ABCD中，AD＝2AB．（1）作∠ABC的平分線BM交AD于M，連CM．①如圖1，求∠BMC的度數(shù)；②如圖2，若∠ADC＝90°，點P是AD延長線上一點，BP交CM于N，CG⊥BP垂足為H，交AD于G，求證：BN＝CG+GN；（2）如圖3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中點，P是BC邊上一動點，將EP逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EQ，連DQ，直接寫出DQ的最小值．【答案】（1）①90°②見解析（2）【分析】（1）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的特點即可求解②延長CG∠BM延長線于K，證明△BMC是等腰直角三角形，再證明△BMN≌△KMC、△KMG≌△NMG，故可求解；（2）連接DE，作EP⊥DE，