專題2.4直線與圓的位置關(guān)系章末拔尖卷（浙教版）

第2章直線與圓的位置關(guān)系章末拔尖卷【浙教版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=6，3為半徑的圓與邊BC相切于點D，與AC，點F是優(yōu)弧GE上一點，∠CDE=18°，則∠GFE的度數(shù)是（）

A．50° B．48° C．45° D．36°【答案】B【分析】連接AD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠B=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠GAD=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED=∠ADE=72°，根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：連接AD，∵BC與⊙A相切于點D，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=6，∴AD=7∴∠B=30°，∴∠GAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°?18°=72°，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=72°，∴∠DAE=180°?∠ADE?∠AED=180°?72°?72°=36°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°，∴∠GFB=1故選：B．

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識點，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2023春·海南·九年級校聯(lián)考期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB為⊙O的直徑，過點C的切線交AB的延長線于點D，連接OC，若AC=DC，則∠A的度數(shù)是（

）

A．25° B．26° C．28° D．30°【答案】D【分析】先由切線的性質(zhì)求得∠OCD=90°，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠D，∠A=∠OCA，然后由∠A+∠D+∠ACD=180°，即3∠A+90°=180°，即可求得∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AC=DC，∴∠A=∠D，∵OC=OA，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠D+∠ACD=180°，∴∠A+∠D+∠OCA+∠OCD=180°，∴3∠A+90°=180°，∴∠A=30°．故選：D．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2023秋·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，PM，PN分別與⊙O相切于A，B兩點，C為⊙O上一點，連接AC，BC．若∠P=60°，∠MAC=75°，AC=3+1，則BC為(

A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】連接OA、OC，過A點作AH⊥OC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAM=90°，則∠OAC=∠OCA=15°，再計算出∠AOH=30°，則可表示出AH=12OA=12r，OH=3【詳解】解：連接OA、OC，過A點作AH⊥OC于H，如圖，

設(shè)⊙O的半徑為r，∵PM與⊙O相切于A點，∴OA⊥PM，∴∠OAM=90°，∵∠MAC=75°，∴∠OAC=15°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=15°，∴∠AOC=150°，∴∠AOH=30°，∴在Rt△AOH中，AH=12∴CH=r+3在Rt△ACH中，AH2解得r=2即⊙O的半徑為2，

連接OB，如圖所示，

∵PM，PN分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P=60°，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°?∠P?∠PAO?∠PBO=360°?60°?90°?90°=120°，∵∠AOC=150°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=O故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，也考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．4．（3分）（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）我們知道：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等．【問題解決】如圖，現(xiàn)有一塊邊長為20m的正方形空地ABCD，在AB邊取一點M，以MB長為直徑，在這個正方形的空地內(nèi)建一個半圓形兒童游樂場，過點C劃出一條與這個半圓相切的分割線，正方形ABCD位于分割線右下方的部分作為娛樂區(qū)，娛樂區(qū)的最大面積等于（

A．180m2 B．1103m2 【答案】C【分析】當(dāng)半圓面積最大，即M與A重合時，娛樂區(qū)的面積最大，由切線長定理得到CH=CB=20m，PA=PH，由勾股定理列出關(guān)于PA的方程，求出PA【詳解】解：當(dāng)半圓面積最大，即M與A重合時，娛樂區(qū)的面積最大，PC與半圓相切于H，交AD于P，∵四邊形ABCD是正方形，∴PA⊥AB，∴PA，∴CH=CB=20m設(shè)PA=xm，則PH=x在Rt△PDC中，P∴x+202∴x=5，∴PA=5m∴娛樂區(qū)的最大面積=梯形ABCP的面積=1故選：C．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是掌握切線長定理．5．（3分）（2023秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=23，半徑為1的⊙O在Rt△ABC內(nèi)平移（⊙O可以與該三角形的邊相切），則點AA．27 B．33 C．27【答案】C【分析】連接OE、OF，根據(jù)正切的定義求出∠ABO，根據(jù)切線長定理得到∠OBF=30°，根據(jù)含【詳解】當(dāng)⊙O與BC、BA都相切時，連接AO并延長交⊙O于點D，則AD為點A到⊙O上的點的距離的最大值，設(shè)⊙O與BC、BA的切點分別為E、F，連接OE、OF，則OE⊥BC，OF⊥AB，∵AC=6，BC=23∴tan∠ABC=ACBC=∴∠ABC=60°，∠OBF=30°，∴BF=OF∴AF=AB?BF=33∴OA=O∴AD=2故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線長定理，根據(jù)題意得出AD為點A到⊙O上點的距離的最大值是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023春·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AT切⊙O于點T，點B在⊙O上，且∠BOT=60°，連接AB并延長交⊙O于點C，⊙O的半徑為2．設(shè)AT=m．①當(dāng)m≠233時，②若m=2，則AC=6③當(dāng)m=233時，AB與⊙OA．② B．③ C．②③ D．①③【答案】C【分析】連接BT，當(dāng)△BOC是等腰直角三角形時，即∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=90°．又可判斷△BOT是等邊三角形，即可求出∠TBA=75°，再根據(jù)切線的性質(zhì)可求出∠BTA=30°，從而由三角形內(nèi)角和定理求出∠TBA=∠TAB=75°，從而得出TB=TA=2，故①錯誤；過點A作AD⊥BT．由判斷①時可知，當(dāng)m=2時，∠BTA=30°，TB=TA=OB=OC=2，∠BOC=90°，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出AD=12AT=1，TD=32AT=3，從而求出BD=BT?TD=2?3，利用勾股定理可求出AB=AD2+BD2=6?2．再利用勾股定理和等腰直角的三角形的性質(zhì)可求出BC=2OB=22，從而即可求出AC的長，判斷②正確；如圖，連接OA．由AT=m=233可得出tan∠AOT=ATOT【詳解】如圖，連接BT．當(dāng)△BOC是等腰直角三角形時，∴∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=90°．∵∠BOT=60°，OB=OT，∴△BOT是等邊三角形，∴∠OBT=∠OTB=∠BOT=60°，∴∠TBA=180°?∠OBC?∠OBT=75°．∵AT切⊙O于點T，∴∠OTA=90°，∴∠BTA=30°，∴∠TAB=180°?∠TBA?∠BTA=75°，∴∠TBA=∠TAB，∴TB=TA=2，即當(dāng)m=2時△BOC是等腰直角三角形，故①錯誤；如圖，過點A作AD⊥BT．由判斷①可知，當(dāng)m=2時，∠BTA=30°，TB=TA=OB=OC=2，∠BOC=90°，∴AD=12AT=1∴BD=BT?TD=2?3∴AB=A∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=2∴AC=AB+BC=6如圖，連接OA．當(dāng)AT=m=233∴∠AOT=30°，∴OA垂直平分TB，∴∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB，又∵AT與⊙O相切，∴∠ATO=90°，∴∠ATB=30°，∴∠OAT=∠OAB=60°，∴∠AOB+∠OAB=90°，∴∠ABO=90°，∴AB與⊙O相切，故③正確；綜上可知②③正確，故選C．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，綜合性強．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2023秋·安徽六安·九年級校考期末）如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠BAC=50°，則∠BOC的度數(shù)為（

）

A．100° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】由三角形內(nèi)切圓定義可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，所以可得到關(guān)系式∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)【詳解】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°?65°=115°．故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓．關(guān)鍵是要知道三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點．8．（3分）（2023秋·天津·九年級?？计谀┤鐖D，點I和O分別是ΔABC的內(nèi)心和外心，若∠AIB=125°，則∠AOB=（

）A．120° B．125° C．135° D．140°【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到兩個角的關(guān)系可進一步得出結(jié)論．【詳解】解：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=1∴∠AIB=180°（∠IAB+∠IBA）=180°12=180°12（180°=90°+12∵∠AIB=125°∴∠C=70°，∵點O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C=140°，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理以及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，正確利用∠C表示∠AIB的度數(shù)是關(guān)鍵．9．（3分）（2023秋·四川自貢·九年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，點D是BC邊上的一點，AD=BD=2DC，設(shè)△ABD與△ACD的內(nèi)切圓半徑分別為r1，r2，那么r1r2A．2 B．1.25 C．1.5 D．4【答案】C【分析】如圖，根據(jù)切線長定理可得AE=AG，BE=BF，DG=DF，根據(jù)已知條件可得AE=AG=BE=BF=1.5，再根據(jù)三角形的面積S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)⊙O與△ABD內(nèi)切于E、F、G．∴DG=DF，AE=AG，BE=BF，∵DA=DB，∴BF=AG=BE=AE，∵AB=3，∴AE=BE=BF=AG=1.5，設(shè)DF=DG=m，∵AD=2DC，∴CD=∵S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1，∵l△ABD∴∴(6+2m)?∴r1：r2=3：2=1.5故選：C．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長定理、三角形的面積公式：:S=110．（3分）（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙C的半徑為2，正三角形ABC的邊長為6，P為AB邊上的動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為（

）A．5 B．34 C．210 【答案】A【分析】連接CQ、CP，過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理求出PQ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CH，根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：連接CQ、CP，過點C作CH⊥AB于H，∵PQ是⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，∴PQ=C當(dāng)CP⊥AB時，CP最小，PQ取最小值，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=∴CH=6∴PQ的最小值為：33故選：A．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023春·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC=10,BC=12,CD是腰AB上的高，點O是線段CD上一動點，當(dāng)半徑為3的⊙O與△ABC的一邊相切時，OC的長是．

【答案】5或33【分析】過點A作AH⊥BC于H，過點D作DM⊥BC于M，根據(jù)勾股定理求出AH，利用面積法求出CD，計算出BD,DM，再分兩種情況：①當(dāng)⊙O與BC邊相切時，②當(dāng)⊙O與AB邊相切時，根據(jù)切線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解．【詳解】解：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DM⊥BC于M，

∵AB=AC=10,BC=12，AH⊥BC，∴BH=CH=6，∴AH=A∴CD=∴BD=B∴DM=BD?CD①當(dāng)⊙O與BC邊相切時，連接切點N與圓心O，則ON⊥BC，∴DM∥∴△CDM∽△CON，∴OC即OC9.6∴OC=5；②當(dāng)⊙O與AB邊相切時，過圓心O作OE⊥BC于E，則OD⊥AB，

∴OC=CD?OD=9.6?3=6.6．故答案為：5或6.6．【點睛】此題考查了圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2023秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因為OA⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=1∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．13．（3分）（2023秋·湖北荊門·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，邊AD、DC上兩點E，F(xiàn)，且EF是⊙O的切線，當(dāng)△BEF的面積為94時，則⊙O的半徑r是

【答案】3【分析】設(shè)正方形的邊長為2a，則AM=DM=DG=CG=a，設(shè)ME=NE=x，NF=FG=y，則DE=a?x，DF=a?y，EF=x+y，利用勾股定理得出ax+ay+xy=a2，再由S△BEF=S正方形ABCD【詳解】解：設(shè)⊙O與AD相切于M，與EF相切于N，與CF相切于G，設(shè)正方形的邊長為2a，∴AM=DM=DG=CG=a，設(shè)ME=NE=x，NF=FG=y，在Rt△DEF∵DE=a?x，DF=a?y，EF=x+y，∴x+y∴ax+ay+xy=a∵S∴4a∴∴a2∵a>0，∴a=3∵AB=2a∴⊙O的半徑為32故答案為：32【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，以及勾股定理等知識，熟記切線長定理是解決問題的關(guān)鍵．14．（3分）（2023秋·山東濟寧·九年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┰赗t△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，那么這個三角形內(nèi)切圓的半徑為【答案】2【分析】根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)半徑為r，則OD=OE=OF=r，根據(jù)勾股定理得出AC=6，通過證明四邊形ODCE為正方形結(jié)合切線長定理可得AF=AD=6?r，BF=BE=8?r，最后根據(jù)AB=BF+AF=10，列出方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形，如下圖：設(shè)半徑為r，則OD=OE=OF=r，由勾股定理可得：AC=B由題意可得：OD⊥AC、OE⊥BC、OF⊥AB，∴∠C=∠ODC=∠OEC=90°，∴四邊形ODCE為矩形，又∵OD=OE，∴矩形ODCE為正方形，∴CD=CE=OD=r，則AD=6?r，BE=8?r，由切線長定理可得：AF=AD=6?r，BF=BE=8?r，∴6?r+8?r=10，解得r=2，這個三角形內(nèi)切圓的半徑為2故答案為：2．【點睛】此題考查了圓切線的性質(zhì)以及切線長定理，涉及了勾股定理以及正方形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)切圓的定義，正確畫出圖形，靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解．15．（3分）（2023秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點M是弧BC上任意一點（不與B，C重合），AH=1，CH=2．延長線段BM交DC的延長線于點E，直線MH交⊙O于點N，連結(jié)BN交CE于點F，則OC=，HE?HF=．【答案】2.54【分析】連接OC，設(shè)OC=r，在Rt△COH中，利用勾股定理求出OC；由△EHM∽△NHF，推出HEHN=HMHF【詳解】解：連接OC．∵CD⊥AB，∴∠CHO=90°，設(shè)OC=r，則OH=r?1，在Rt△COH中，∵CH=2∴r2∴r=2.5，即OC=2.5；連接AM．∵AB是直徑，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵∠E+∠ABM=90°∴∠E=∠MAB∴∠MAB=∠MNB=∠E∵∠EHM=∠NHF，∴△EHM∴HE∴HE?HF=HM?HN∵HM?HN=AH?HB∴HE?HF=AH?HB=1×5?1故答案為：2.5，4【點睛】本題考查圓綜合題、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、相交弦定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．16．（3分）（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC>AC，AC=43，連接CO并延長至點E，使∠EAC=∠ABC=60°（1）⊙O的半徑為．（2）若BC=215，則BE的長為【答案】46【分析】（1）連接OA，過點O作OM⊥AC，根據(jù)圓周角定理、垂徑定理及等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OCA=30°（2）連接OB，過點O作OD⊥BC，過點E作EF⊥BD，利用角的等量代換得出∠AEC=90°，再由正弦函數(shù)確定OE=2【詳解】解：（1）連接OA，過點O作OM⊥AC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，OM⊥AC，∴∠OAC=∠OCA=30°∵cos∠OCM=∴OC=CM∴⊙O的半徑為4；（2）連接OB，過點O作OD⊥BC，過點E作EF⊥BD，如圖所示：∵∠EAC=60°，∠OAC=30°∴∠EAO=30°∵∠EAC=60°，∠OCA=30°∴∠AEC=90°∵sin∠EAO=∴OE=OA?sin∠∴CE=CO+OE=6，∵OD⊥BC，∴BD=CD=1∴OD=OC∵∠ODC=∠EFC=90°∴△DCO∽△FCE，∴DCFC=OD∴FC=3152∴BF=215∴BE=BF故答案為：①4；②6．【點睛】題目主要考查圓周角定理、垂徑定理及解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，過F作BC的平行線分別交直線DA，DE于點H，【答案】見解析【分析】首先過點A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點P、Q．根據(jù)切線的性質(zhì)定理、兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)、對頂角相等，可證得∠APF=∠AFP．進而得到PA=AF，同理可證得AQ=AE，因而AP=AQ．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例，問題得解．【詳解】證明：過點A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點P、Q，

∵△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，∴BD=BF，AF=AE，CD=CE，∴∠BDF=∠BFD，又∵AP∥∴∠APF=∠BDF，又∵∠AFP=∠BFD∴∠APF=∠AFP，∴PA=AF，同理AQ=AE，又∵AF=AE，∴PA=AQ，∵AP∥BD，∴AP∴△APD∽△HFD，∴HFAP同理HGAQ∴HFAP∴HF=HG．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線長定理．解決本題的關(guān)鍵是證明PA=AQ，再根據(jù)相似證得最終結(jié)論．18．（6分）（2023秋·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點F是CD延長線上的一點，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點E．

(1)求證：AB=AC．(2)若BD=9，DE=1，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)CD=7【分析】（1）根據(jù)AD平分∠BDF，得∠ADF=∠ADB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得∠ABC+∠ADC=180°，進而得∠ABC=∠ADF，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠ACB=∠ADB，再根據(jù)等角對等邊，即可證明AB=AC；（2）過點A作AG⊥BD于點G，得∠AGD=90°，根據(jù)AD平分∠BDF，得∠ADF=∠ADB，再根據(jù)AE⊥CD，AD是公共邊，得△AGD≌△AED，得到GD=ED，AG=AE；又根據(jù)AB=AC，得Rt△AEC≌Rt△AGB，得BG=CE；最后根據(jù)BG=BD?GD【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ABC=∠ADF=∠ADB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．（2）解：過點A作AG⊥BD于點G，

∴∠AGD=90°，∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，在△AGD和△AED中，∠AGD=∠AED=90°∠ADF=∠ADB∴△AGD≌∴GD=DE=1，AG=AE，在Rt△AEC和RtAE=AGAB=AC∴Rt∴CE=BG，又∵BD=9，DE=1，∴BG=BD?GD=9?1=8，∴CE=8，∵CD=CE?ED=8?1=7，∴CD=7．【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等．19．（8分）（2023秋·山西朔州·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過點E作EH⊥AB于點H，若BC=8，EH=4，求【答案】(1)見解析；(2)5；【分析】（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠ABE再證得OE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的判定即可解答；（2）先證明Rt△CBE?Rt△HBE，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可；【詳解】（1）證明：連接OE∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠ABE又OB=OE∴∠ABE=∠BEO∴∠CBE=∠BEO∴OE∥BC，又∠C=90°，即AC⊥BC∴OE⊥AC∴AC是⊙O的切線（2）∵BE平分∠ABC,AC⊥BC,EH⊥AB∴CE=EH,∵BE=BE,∴Rt△CBE?Rt△HBE(∴CB=HB=8,設(shè)OE=OB=r,∴HO=BH?OB=8?r,∵O∴解得：r=5故⊙O的半徑為5【點睛】本題主要考查了切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)勾股定理，掌握切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解題關(guān)鍵．20．（8分）（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，BC為⊙O的直徑，A為⊙O上一點，作∠BAC的平分線交⊙O于點D．過點D作⊙O的切線，交AC的延長線于點E．

(1)求證：DE∥(2)若AB=8，AC=6，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)35【分析】（1）如圖1，連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：∠ODE=90°，由BC為⊙O的直徑，可得∠BAC=90°，再由AD平分∠BAC，可得∠BAD=45°，再利用圓周角定理可得∠BOD=90°，再運用平行線的判定即可得結(jié)論；（2）如圖2，過點C作CF⊥DE于點F，連接OD，運用勾股定理求得BC=10，可得：OC=OD=5，再證明四邊形OCFD是矩形，可得：CF=OD=5，DF=OC=5，再證明△CEF∽△BCA，可求得EF=15【詳解】（1）證明：如圖1，連接OD，

∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∵BD=∴∠BOD=2∠BAD=2×45°=90°，∴∠BOD=∠ODE，∴DE∥（2）解：如圖2，過點C作CF⊥DE于點F，連接OD，

∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=A∴OC=OD=5，由（1）知：∠ODE=∠BOD=90°，∴∠COD=180°?∠BOD=90°，∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠CFE=90°，∴∠COD=∠ODE=∠CFD=90°，∴四邊形OCFD是矩形，∴CF=OD=5，DF=OC=5，∵DE∥∴∠E=∠ACB，∵∠CFE=∠BAC=90°，∴△CEF∽∴EFAC=∴EF=15∴DE=DF+EF=5+15【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，AC是對角線，點E在BC的延長線上，且∠CED=∠BAC．

(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)BA與CD的延長線交于點F，若DE∥AC，AB=4，AD=2，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，得出BD是⊙O的直徑，得出∠CED+∠CDE=90°，證明∠CED=∠BDC，得出∠BDE=90°，證明DE⊥OD，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)BD與AC交于點H，證明∠BHC=∠BDE=90°，得出BD⊥AC，證明△FAD∽△FCB，得出AFCF【詳解】（1）證明：連接BD，如圖1，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直徑，即點O在BD上，∴∠BCD=90°，∴∠CED+∠CDE=90°，∵∠CED=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠CED=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．（2）證明：如圖2，BD與AC交于點H，

∵DE∥∴∠BHC=∠BDE=90°，∴BD⊥AC，∵BD是⊙O的直徑，∴AH=CH，∴BD垂直平分AC，∴BC=AB=4，CD=AD=2，∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，∴△FAD∽△FCB，∴AFCF∴CF=2AF．【點睛】本題主要考查了切線的判定，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．22．（8分）（2023·江西吉安·?？寄M預(yù)測）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，D是直徑AB下方一點，且AD=BD，連接CD交AB于點

(1)如圖1，若∠A=30°，則∠CEB=；(2)如圖2，P是AB延長線上一點，連接PC，且PC=PE．①求證：PC與⊙O相切；②若⊙O的半徑為1，CE=CB，求PB的長．【答案】(1)75°；(2)①證明見解析；②PB=2【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于直角，得到∠ACB=90°，再利用等弧所對的圓周角相等，得到∠ACD=∠BCD=45°，然后利用三角形外角的性質(zhì)，即可求出∠CEB的度數(shù)；（2）①連接OC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得出∠PCB=∠OCA，再利用∠OCA+∠OCB=90°，得到∠OCP=90°，即可證明結(jié)論；②根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得出∠CEB=∠CBE=∠OCB，再利用三角