2022屆人教版中考數(shù)學復習解題指導：第29講-直線與圓的位置關(guān)系

第29講┃直線與圓的位置關(guān)系第29課時直線與圓的位置關(guān)系第一頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃考點聚焦考點聚焦考點1直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么(1)直線l和⊙O相交?________(2)直線l和⊙O相切?________(3)直線l和⊙O相離?________d<r

d=r

d>r

第二頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃考點聚焦考點2圓的切線切線的性質(zhì)圓的切線________過切點的半徑推論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過________；(2)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過________切線的判定(1)和圓有________公共點的直線是圓的切線(2)如果圓心到一條直線的距離等于圓的________，那么這條直線是圓的切線(3)經(jīng)過半徑的外端并且________這條半徑的直線是圓的切線常添輔助線連接圓心和切點垂直于切點圓心唯一半徑垂直于第三頁，編輯于星期六：點五十七分?？键c3切線長及切線長定理第29講┃考點聚焦切線長在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長________，圓心和這一點的連線________兩條切線的夾角基本圖形如圖所示，點P是⊙O外一點，PA、PB切⊙O于點A、B，AB交PO于點C，則有如下結(jié)論：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP相等平分第四頁，編輯于星期六：點五十七分?？键c4三角形的內(nèi)切圓第29講┃考點聚焦三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫圓的外切三角形三角形的內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．它是三角形______________的交點，三角形的內(nèi)心到三邊的________相等三條角平分線距離第五頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃考點聚焦第六頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例歸類示例?類型之一直線和圓的位置關(guān)系的判定命題角度：1.定義法判定直線和圓的位置關(guān)系；2.d、r比較法判定直線和圓的位置關(guān)系．D例1

[2012·無錫]已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是()A．相切B．相離C．相離或相切D．相切或相交第七頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例[解析]分OP垂直于直線l，OP不垂于直線l兩種情況討論．當OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d＝2＝r，⊙O與l相切；當OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d<2＝r，⊙O與直線l相交．故直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交．第八頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例在判斷直線與圓的位置關(guān)系的時候可以根據(jù)定義法，也可以利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系進行比較，在判斷其關(guān)系時要結(jié)合題目的已知條件選擇正確的方法．第九頁，編輯于星期六：點五十七分。?類型之二圓的切線的性質(zhì)命題角度：1.已知圓的切線得出結(jié)論；2.利用圓的切線的性質(zhì)進行有關(guān)的計算或證明．第29講┃歸類示例例2[2012·湛江]如圖29－1，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半徑．圖29－1第十頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例

[解析](1)先連接OD，則OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行從而得證；(2)設(shè)圓的半徑為R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半徑．第十一頁，編輯于星期六：點五十七分。解：(1)證明：連接OD，∵BC與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.(2)設(shè)圓的半徑為R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2，∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半徑為3.第29講┃歸類示例第十二頁，編輯于星期六：點五十七分。

“圓的切線垂直于過切點的半徑”，所以連接切點和圓心構(gòu)造垂直或直角三角形是進行有關(guān)證明和計算的常用方法．第29講┃歸類示例第十三頁，編輯于星期六：點五十七分。?類型之三圓的切線的判定方法

例3

[2012·臨沂]如圖29－2，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP＝AC.(1)求證：AP是⊙O的切線；(2)求PD的長．第29講┃歸類示例命題角度：1.利用圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，判定這條直線是圓的切線；2.利用一條直線經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑，判定這條直線是圓的切線．圖29－2第十四頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例[解析](1)首先連接OA，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數(shù)，利用等邊對等角求得∠PAO＝90°，則可證得AP是⊙O的切線；(2)由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長．第十五頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例第十六頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例變式題[2011·安順]已知：如圖29－3，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.(1)求證：點D是AB的中點；(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖29－3第十七頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例

[解析](1)連接CD，利用等腰三角形底邊上的高也是底邊上中線證明．

解：(1)證明：連接CD，因為BC為⊙O的直徑，則CD⊥AB.∵AC＝BC，∴AD＝BD，即點D是AB的中點．(2)DE是⊙O的切線.證明：連接OD,則DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切線．第十八頁，編輯于星期六：點五十七分。

在涉及切線問題時，常連接過切點的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線．如果已知直線過圓上某一點，則作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑．第29講┃歸類示例第十九頁，編輯于星期六：點五十七分。?類型之四切線長定理的運用命題角度：1.利用切線長定理計算；2.利用切線長定理證明．第29講┃歸類示例

例4[2012·綿陽]如圖29－4，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，連接PO、AB相交于D，C是⊙O上一點，∠C＝60°.(1)求∠APB的大??；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面積．圖29－4第二十頁，編輯于星期六：點五十七分。[解析](1)由切線的性質(zhì)，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圓周角定理，求得∠AOB的度數(shù)，繼而求得∠APB的大?。?2)由切線長定理，可求得∠APO的度數(shù)，繼而求得∠AOP的度數(shù)，易得PO是AB的垂直平分線，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得AD與OD的長．第29講┃歸類示例第二十一頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例第二十二頁，編輯于星期六：點五十七分。(1)利用過圓外一點作圓的兩條切線，這兩條切線的長相等，是解題的基本方法．(2)利用方程思想求切線長常與勾股定理，切線長定理，圓的半徑相等緊密相連．第29講┃歸類示例第二十三頁，編輯于星期六：點五十七分。?類型之五三角形的內(nèi)切圓命題角度：1.三角形的內(nèi)切圓的定義；2.求三角形的內(nèi)切圓的半徑．第29講┃歸類示例

例5[2012·玉林]如圖29－5，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D，E，過劣弧DE(不包括端點D，E)上任一點P作⊙O的切線MN，與AB，BC分別交于點M，N，若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為()圖29－5C第二十四頁，編輯于星期六：點五十七分。第29講┃歸類示例[解析]連接OD、OE，則∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四邊形ODBE是正方形，得出B