專項(xiàng)19圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度(原卷版+解析)

專項(xiàng)19圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度類型一利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角類型二構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角類型三利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角類型四利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角【考點(diǎn)1利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】【典例1】（2021九上·無(wú)棣期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠BCD=56°，則∠A的度數(shù)是（）A．36o B．34o C．56o D．78o【變式1-1】（2021九上·嶗山期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，則∠ABO的度數(shù)是（）A．27° B．36° C．54° D．108°【變式1-2】（2021九上·天橋期末）如圖：點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，且點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．18° B．30° C．36° D．72°【變式1-3】（2021九上·西城期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，△OAB是等邊三角形，則∠ACB的大小為（）A．60° B．40° C．30° D．20°【變式1-4】（2021九上·休寧月考）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝48°，則∠OAB的度數(shù)為()A．24° B．30° C．50° D．60°【變式1-5】（2021九上·衢江月考）如圖，在⊙O中，AB=BC，點(diǎn)D在⊙O上，∠CDB=25°，則A．45° B．50° C．55° D．60°【考點(diǎn)2構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角】【典例2】（2021九上·哈爾濱月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．64° B．128° C．20° D．116°【變式2-1】（2021九上·南開(kāi)期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A=60°，則∠C等于（）A．30° B．60° C．120° D．300°【變式2-2】（2021九上·禹城期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的大小為（）A．55° B．65° C．60° D．75°【變式2-3】（2021九上·無(wú)棣期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，若∠C＝65°，則∠P的度數(shù)為()A．65° B．130° C．50° D．100°【考點(diǎn)3利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角】【典例3】（2021九上·梅里斯期末）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．64° D．116°【變式3-1】（2021九上·荊州月考）如圖，AB是⊙O的直徑，∠D=48°，則∠CAB=（）A．52° B．58° C．42° D．48°【變式3-2】（2021九上·越城期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝24°，則∠ABD＝（）A．54° B．56° C．64° D．66°【變式3-3】（2021?宿遷）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠ABE＝．【考點(diǎn)4利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角】【典例4】（2018?石家莊模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r＝5，AC＝5，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【變式4】（2021秋?無(wú)為市期中）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧AMB上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°1．（2021九上·禹城期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的大小為（）A．55° B．65° C．60° D．75°2．（2021九上·溫州月考）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°3．（2021九上·東陽(yáng)月考）如圖，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．45° D．30°4．（2021九上·天門月考）如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，A．15° B．40° C．75° D．35°5．（2021九上·鹿城期末）如圖所示，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠O＝58°，則∠C的度數(shù)為（）A．23° B．26° C．29° D．32°6．（2021九上·重慶月考）如圖，已知在⊙O中，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．26° B．27° C．28° D．32°7.（2021九上·龍沙期中）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°8．（2021九上·泰山期末）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．130°9．（2021九上·宜春期末）如圖，AE是四邊形ABCD外接圓⊙O的直徑，AD=CD，∠B=50°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°10．（2021九上·石景山期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是菱形，則∠D的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．90° D．120°11.（2021秋?泰安期末）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若∠E＝30°，∠F＝40°，則∠A＝（）A．25° B．30° C．40° D．55°12．（2021?漢臺(tái)區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑．若∠DBC＝33°，則∠A等于（）A．33° B．57° C．67° D．66°13.（2022?鳳山縣模擬）如圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°14．（2022?南寧一模）如圖，A、B、C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若∠AOC＝100°，則∠ABC＝（）A．100° B．110° C．120° D．130°15.（2022?曲周縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，若∠ABC＝30°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．110° D．120°專項(xiàng)19圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度類型一利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角類型二構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角類型三利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角類型四利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角【考點(diǎn)1利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】【典例1】（2021九上·無(wú)棣期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠BCD=56°，則∠A的度數(shù)是（）A．36o B．34o C．56o D．78o【答案】B【解答】解：如圖，連接BD∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，∵∠BCD=56°，∴∠BDC=90°?56°=34°，∵故答案為：B【變式1-1】（2021九上·嶗山期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，則∠ABO的度數(shù)是（）A．27° B．36° C．54° D．108°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝54°，AB∴∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝12故答案為：B．【變式1-2】（2021九上·天橋期末）如圖：點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，且點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．18° B．30° C．36° D．72°【答案】C【解答】∵圓心角∠AOB與圓周角∠ACB均對(duì)著AB∴∠ACB=故答案為：C【變式1-3】（2021九上·西城期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，△OAB是等邊三角形，則∠ACB的大小為（）A．60° B．40° C．30° D．20°【答案】C【解答】解：∵ΔOAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=12∠AOB=1故答案為：C．【變式1-4】（2021九上·休寧月考）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝48°，則∠OAB的度數(shù)為()A．24° B．30° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：∵AC∥OB，∴∠BOC＝∠ACO＝48°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝48°，∵∠CAB＝12∴∠BAO＝∠OAC﹣∠CAB＝24°．故答案為：A．【變式1-5】（2021九上·衢江月考）如圖，在⊙O中，AB=BC，點(diǎn)D在⊙O上，∠CDB=25°，則A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵在⊙O中，AB=∴∠AOB=2∠CDB=50°.故答案為：B.【考點(diǎn)2構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角】【典例2】（2021九上·哈爾濱月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．64° B．128° C．20° D．116°【答案】B【解答】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠BAD+∠DCB=180°∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠BAD=∠DCE=64°∵∠BOD、∠BAD對(duì)著圓中同一段弧∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°故答案為：B【變式2-1】（2021九上·南開(kāi)期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A=60°，則∠C等于（）A．30° B．60° C．120° D．300°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°．故答案為：C．【變式2-2】（2021九上·禹城期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的大小為（）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【解答】解：連接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案為：B．【變式2-3】（2021九上·無(wú)棣期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，若∠C＝65°，則∠P的度數(shù)為()A．65° B．130° C．50° D．100°【答案】C【解答】∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，則∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故答案為：C．【考點(diǎn)3利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角】【典例3】（2021九上·梅里斯期末）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．64° D．116°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°．故答案為：A．【變式3-1】（2021九上·荊州月考）如圖，AB是⊙O的直徑，∠D=48°，則∠CAB=（）A．52° B．58° C．42° D．48°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠D=48°，∴∠ABC=48°，∴∠CAB=90°?48°=42°，故答案為：C.【變式3-2】（2021九上·越城期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝24°，則∠ABD＝（）A．54° B．56° C．64° D．66°【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°.故答案為：D.【變式3-3】（2021?宿遷）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠ABE＝．【答案】13°【解答】解：如圖，連接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直徑，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案為：13°．【考點(diǎn)4利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角】【典例4】（2018?石家莊模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r＝5，AC＝5，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【解答】解：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°．Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝5．根據(jù)勾股定理，得：CD＝＝5，∴CD＝AD，∴∠DAC＝30°，∴∠B＝∠D＝90°﹣30°＝60°；故選：D．【變式4】（2021秋?無(wú)為市期中）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧AMB上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°【答案】D【解答】解：連接OA，OB，過(guò)O作OD⊥AB于D，延長(zhǎng)OD交⊙O于C，則∠ODA＝∠ODB＝90°，∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，∴∠APB＝AOB＝60°，故選：D．1．（2021九上·禹城期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的大小為（）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【解答】解：連接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案為：B．2．（2021九上·溫州月考）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°【答案】D【解答】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°.故答案為：D3．（2021九上·東陽(yáng)月考）如圖，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解答】解：連接OC，∵OB＝OC＝OA，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠OCA＝∠OAC＝15°，∴∠ACB＝∠OCB﹣∠OCA＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故答案為：B.4．（2021九上·天門月考）如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，A．15° B．40° C．75° D．35°【答案】D【解答】解：∵∠A=40°，∴∠C=∠APD?∠A=35，∴∠B=∠C=35°.故答案為：D.5．（2021九上·鹿城期末）如圖所示，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠O＝58°，則∠C的度數(shù)為（）A．23° B．26° C．29° D．32°【答案】C【解答】解：∵∠AOB和∠C都對(duì)AB，∴∠C＝12∠AOB＝1故答案為：C6．（2021九上·重慶月考）如圖，已知在⊙O中，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．26° B．27° C．28° D．32°【答案】D【解答】解：∵CD是直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＋∠ADC＝90°，∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠ACB＝∠D，∴∠ACB＋26°＋∠D＝90°，∴∠ACB＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝32°，故答案為：D.7.（2021九上·龍沙期中）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】A【解答】∵1∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°∵OC⊥AB∴AC∴∠AOC=∠BOC∴∠BOC=∠AOC=60°故答案為：A．

8．（2021九上·泰山期末）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．130°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠ABC=180°∵∠ABC=125°∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，由圓周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，故答案為：C．9．（2021九上·宜春期末）如圖，AE是四邊形ABCD外接圓⊙O的直徑，AD=CD，∠B=50°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】D【解答】解：連接OC、OD，∵∠B=50°，∴∠AOC=2∠B=100°，∵AD=CD，∴AD=∴∠AOD=∠COD=12∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠DAE=（180°－50°）÷2=65°，故答案為：D．10．（2021九上·石景山期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是菱形，則∠D的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解答】解：設(shè)∠ADC=α，∠ABC=β；∵四邊形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOC=β；∴∠ADC=12∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，∴α+β=180°，∴α+β=180°α=解得：β=120°，α=60°，則∠ADC=60°，故答案為：B．11.（2021秋?泰安期末）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若∠E＝30°，∠F＝40°，則∠A＝（）A．25° B．30° C．40° D．55°【答案】D【解答】解：∵四邊形