專項(xiàng)30相似三角形-8字型(2種類型)(原卷版+解析)

專項(xiàng)30相似三角形-8字型（2種類型）基本模型：若BC∥DE，則▲ABC~▲ADE，若∠1=∠2，則▲ABC~▲ADE【類型1：8字型】1．地質(zhì)勘探人員為了估算某條河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)O，再在他們所在的這一側(cè)選取點(diǎn)A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交點(diǎn)C，如圖所示，測(cè)得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，則可計(jì)算出河寬AO為（）A．16m B．15m C．14m D．13m2．如圖，在菱形ABCD中，EF⊥AC于點(diǎn)H，分別交AD于點(diǎn)E，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AE：FB＝1：3．則GB：CD的值為（）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)E在菱形ABCD的邊CD的延長(zhǎng)線上，連接BE交AD于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE：ED＝1：2，BE與AC相交點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)F，且∠ADB＝∠BCE，則BF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．如圖，圖圖制作了一個(gè)小孔成像的裝置，其中紙筒的長(zhǎng)度為15cm，蠟燭長(zhǎng)為20cm，想要得到高度為5cm的像，則蠟燭應(yīng)放在距離紙筒點(diǎn)O處cm的地方．7．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值為．8．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊AD上，BE交AC于點(diǎn)M．（1）求證：△AEM∽△CBM．（2）已知AB＝4，AE＝3，DE＝5．①BM的長(zhǎng)為．②tan∠EBD的值為．9．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AE，BF交于點(diǎn)P．（1）求證：AP＝4PE．（2）若∠BPE＝∠BFD，且AD＝8，求四邊形PFCE的面積．【類型2：反8字型】10．如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC11．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD邊上，且△BCE與△BFE關(guān)于直線BE對(duì)稱．點(diǎn)G在AB邊上，GC分別與BF，BE交于P，Q兩點(diǎn)．若＝，CE＝CQ，則＝（）A． B． C． D．12．如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．13．如圖，以AB為直徑的⊙O是△ACD的外接圓，連接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于點(diǎn)E，PB與⊙O相切于點(diǎn)B．（1）求證：∠P＝∠PAD；（2）若⊙O的半徑為3，OE＝2，求CE的長(zhǎng)．14．已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方拋物線上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC邊于點(diǎn)Q，求PQ的最大值；（3）在直線BC上方拋物線上取一點(diǎn)D，連接OD，CD．OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．15.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，連結(jié)CF．（1）求證：AF＝CF；（2）求證：AF2＝EF?GF；（3）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，求FG的長(zhǎng)．16．如圖，AB是⊙O的直徑，△BCD是⊙O的內(nèi)接三角形，BC＝DC，AB與CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若⊙O半徑為5，BD＝8，求線段AE的長(zhǎng)．專項(xiàng)30相似三角形-8字型（2種類型）基本模型：若BC∥DE，則▲ABC~▲ADE，若∠1=∠2，則▲ABC~▲ADE【類型1：8字型】1．地質(zhì)勘探人員為了估算某條河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)O，再在他們所在的這一側(cè)選取點(diǎn)A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交點(diǎn)C，如圖所示，測(cè)得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，則可計(jì)算出河寬AO為（）A．16m B．15m C．14m D．13m【答案】C【解答】解：∵∠OCA＝∠DCB，∠A＝∠B＝90°，∴△OCA∽△DCB．∴＝．∴OA＝＝＝14（m）．即這條河的寬為14m．故選：C．2．如圖，在菱形ABCD中，EF⊥AC于點(diǎn)H，分別交AD于點(diǎn)E，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AE：FB＝1：3．則GB：CD的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，∴△EAG∽△FBG，∴＝＝，∴＝，∴＝，故選：D．3．如圖，點(diǎn)E在菱形ABCD的邊CD的延長(zhǎng)線上，連接BE交AD于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，A、∵AD∥BC，∴＝，故A不符合題意；B、∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADE，∠ABF＝∠E，∴△BAF∽△EDF，∴＝，故B不符合題意；C、∵＝，AB＝AD，∴＝，故C符合題意；D、∵AD∥BC，∴＝，故D不符合題意；故選：C．4．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE：ED＝1：2，BE與AC相交點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE：ED＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∴，∴AF：CF＝1：3，∵OA＝OC，∴，故選：B．5．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)F，且∠ADB＝∠BCE，則BF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∵∠ADB＝∠BCE，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝AB＝1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠FDC，∠BEF＝∠DCE，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∴FC＝2EF，∴FB＝2EF，設(shè)EF＝x，則BF＝FC＝2x，∴EC＝EF+CF＝3x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠BEF＝∠BEF，∴△BEF∽△CEB，∴，∴BE2＝EF?EC，∴12＝x?3x，∴或x＝﹣（舍去），∴BF＝2x＝，故選：B．6．如圖，圖圖制作了一個(gè)小孔成像的裝置，其中紙筒的長(zhǎng)度為15cm，蠟燭長(zhǎng)為20cm，想要得到高度為5cm的像，則蠟燭應(yīng)放在距離紙筒點(diǎn)O處cm的地方．【答案】60【解答】解：如圖，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝5cm，∵AB∥CD，EF⊥AB∴EF⊥CD，∴△OAB∽△ODC，∴＝，即＝，解得OE＝60cm．故答案為：60．7．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值為．【答案】1：4【解答】解：∵BC＝2AD，∴＝，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠OCB，∴△AOD∽△COB，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，故答案為：1：4．8．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊AD上，BE交AC于點(diǎn)M．（1）求證：△AEM∽△CBM．（2）已知AB＝4，AE＝3，DE＝5．①BM的長(zhǎng)為．②tan∠EBD的值為．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAM＝∠ACB，∠AEM＝∠EBC，∴△AEM∽△CBM；（2）①解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∵AE＝3，DE＝5，∴AD＝BC＝AE+DE＝8，∵AB＝4，∴BE＝＝＝5，∵△AEM∽△CBM，∴＝＝，∴BM＝BE＝×5＝；②∵DE＝BE＝5，∴∠EDB＝∠EBD，在Rt△ADB中，tan∠EDB＝＝＝，∴tan∠EBD＝；故答案為：①；②．9．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AE，BF交于點(diǎn)P．（1）求證：AP＝4PE．（2）若∠BPE＝∠BFD，且AD＝8，求四邊形PFCE的面積．【解答】（1）證明：如圖：取BF的中點(diǎn)G，連接EG，∵E是BC的中點(diǎn)，∴EG是△BCF的中位線，∴EG∥CD，F(xiàn)C＝2GE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，∴EG∥AB，∵F是CD的中點(diǎn)，∴CD＝2CF，∴AB＝CD＝2FC＝4GE，∵EG∥AB，∴∠BAE＝∠AEG，∠ABP＝∠BGE，∴△ABP∽△EGP，∴＝＝，∴AP＝4PE；（2）解：∵∠BPE＝∠BFD，∠BFD+∠2＝180°，∠BPE+∠1＝180°，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AP＝4PE，設(shè)PE＝a，則AB＝AP＝4a，AE＝AP+PE＝5a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝3a，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BE＝6a，∴AD＝BC＝2BE＝6a，∵AD＝8，∴6a＝8，∴，∴，∵F是CD的中點(diǎn)，∴CF＝CD＝2a，∴S△BCF＝＝＝6a2＝．∴S△ABE＝S△BCF，∴S△ABE＝﹣S△BPE＝S△BCF﹣S△BPE，∴S四邊形PFCE＝S△ABP，∵AP＝4PE，∴，∴四邊形PFCE的面積為．【類型2：反8字型】10．如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【答案】C【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴＝，∴EF?FC＝DF?FB，故A不符合題意：∵△EFB∽△DFC，∴＝，∴BE?CF＝CD?BF，故B不符合題意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∴AB?AE＝AD?AC，故C符合題意；因?yàn)椋篈E，BE，AD，CD組不成三角形，也不存在比例關(guān)系，故D不符合題意；故選：C．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD邊上，且△BCE與△BFE關(guān)于直線BE對(duì)稱．點(diǎn)G在AB邊上，GC分別與BF，BE交于P，Q兩點(diǎn)．若＝，CE＝CQ，則＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接FQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAF＝90°，BC＝AD，∵＝，∴設(shè)AB＝4a，BC＝5a，∵△BCE與△BFE關(guān)于直線BE對(duì)稱，∴BF＝BC＝5a，CQ＝FQ，CE＝FE，∴AF＝＝＝3a，∴DF＝AD﹣AF＝5a﹣3a＝2a，∵CQ＝CE，∴CQ＝FQ＝FE＝CE，∴四邊形CQFE是菱形，∴FQ∥CE，∴AB∥FQ∥CE，∴＝＝＝，∴設(shè)CQ＝2k，GQ＝3k，∵CQ＝CE，∴∠CQE＝∠CEQ，∵AB∥CD，∴∠ABQ＝∠CEQ，∵∠CQE＝∠GQB，∴∠GBQ＝∠GQB，∴BG＝QG，∵AB∥FQ，∴∠ABF＝∠BFQ，∠BGQ＝∠ECQ，∴△GBP∽△QFP，∴＝＝＝，∴GP＝GQ＝k，∴＝＝，故選：D．12．如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵M(jìn)E⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面積＝DE?DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面積為9．13．如圖，以AB為直徑的⊙O是△ACD的外接圓，連接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于點(diǎn)E，PB與⊙O相切于點(diǎn)B．（1）求證：∠P＝∠PAD；（2）若⊙O的半徑為3，OE＝2，求CE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC+∠ADC＝90°，∵PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABP＝90°，∴∠P+∠BAP＝90°，∵∠BAP＝∠BDC，∴∠P＝∠ADC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠P＝∠PAD；（2）解：∵AC＝CD，OC＝OC，OA＝OD，∴△AOC≌△DOC（SSS），∴∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，∵OA＝OC，OC＝OD，∴∠ACO＝∠CAO，∠OCD＝∠ODC，∴∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，∵∠CAO＝∠CDB，∴∠OCD＝∠BDC，∴OC∥BD，∴，∴，∴，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB，∴，∴，∴CE?DE＝5，∴，∴CE＝或CE＝﹣（舍去），∴CE的長(zhǎng)為．14．已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方拋物線上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC邊于點(diǎn)Q，求PQ的最大值；（3）在直線BC上方拋物線上取一點(diǎn)D，連接OD，CD．OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+m，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x+3），∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴PQ的最大值是；（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，∴OF：DF＝3：2，過(guò)點(diǎn)D作DG∥y軸交BC于點(diǎn)G，∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，∴△COF∽△GDF，∴＝，∵OC＝3，∴DG＝2，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)G坐標(biāo)為（m，﹣m+3），∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝2，解得：m1＝1，m2＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．15.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，連結(jié)CF．（1）求證：AF＝CF；（2）求證：AF2＝EF?GF；（3）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，求FG的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵