專題42二次函數(shù)中的特殊三角形問題(原卷版+解析)

專題42二次函數(shù)中的特殊三角形問題【題型演練】一、單選題1．（2021·四川成都·一模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，其圖像與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．在下面四個(gè)結(jié)論中：①；②；③只有當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形；④使為等腰三角形的值可以有兩個(gè)．其中正確的結(jié)論有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－1)，在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④4．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，正方形的邊在軸上，，在拋物線上，連結(jié)，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．5．（2020·山東德州·二模）二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，，，，…都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，則的斜邊長(zhǎng)為()A．20 B． C．22 D．6．（2022·浙江·杭州東方中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）小明發(fā)現(xiàn)，將二次函數(shù)的圖象在x軸及其上方的部分向右平移得到，這兩部分組成的圖案酷似某快餐品牌的logo．經(jīng)測(cè)量，該圖案兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離與底部跨度的比值為，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，若恰好為等腰直角三角形，則a的值為（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，，射線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，與軸交于點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的二次函數(shù)中，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，二、填空題8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．9．（2022·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），我們規(guī)定：當(dāng)為直角三角形時(shí)，就稱為該拋物線的“優(yōu)美三角形”．若拋物線的“優(yōu)美三角形”的斜邊長(zhǎng)為4，求a的值______．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右側(cè)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，當(dāng)為直角三角形時(shí)，m的值為________．11．（2020·北京延慶·九年級(jí)期中）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)B恰好在函數(shù)的圖象上，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為，且邊OA與x軸的正半軸的夾角為15°，則的值為_________．12．（2021·山東濱州·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3，…，A2021在y軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，B2021在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都為等邊三角形，則△A2020B2021A2021的邊長(zhǎng)＝_____．13．（2022·山東·日照市高新區(qū)中學(xué)一模）二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…在軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，B4，…在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，則△A10B11A11的斜邊長(zhǎng)為__________．三、解答題14．（2022·廣東·廣州市第八十九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，，，，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直角斜邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)，除外)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、C，交y軸于點(diǎn)B，.(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱軸方程；(2)如圖，連接，點(diǎn)M是對(duì)稱軸上一點(diǎn)且在第四象限，若是以為底角的等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求出二次函數(shù)的解析式；(3)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)D，使得是以為斜邊的等腰直角三角形，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________；(2)連接，在線段上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)直線分別交直線和拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出m的值．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在軸上是否存在點(diǎn)，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)以為邊在其左側(cè)作等腰直角三角形，問點(diǎn)D能否落在拋物線上，若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．22．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期中）如圖1，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)是拋物線上第一象限的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中探究：拋物線在軸上方的部分上是否存在點(diǎn)，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為；(2)點(diǎn)在直線上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，連接，頂點(diǎn)為D的拋物線過A，B，C三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)M是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)N．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．當(dāng)以為直角邊的是等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)t的取值．專題42二次函數(shù)中的特殊三角形問題【題型演練】一、單選題1．（2021·四川成都·一模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，其圖像與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．在下面四個(gè)結(jié)論中：①；②；③只有當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形；④使為等腰三角形的值可以有兩個(gè)．其中正確的結(jié)論有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，∵圖像與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，∴對(duì)稱軸x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0；故①正確；②∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又∵b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，∴c＝﹣3a，∴∴結(jié)論②正確．③如圖1，連接AD，BD，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，，要使△ABD是等腰直角三角形，則AD＝BD，∠ADB＝90°，∵DE⊥x軸，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE＝BE，即||2，又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴||＝2，a＞0，解得a，∴只有當(dāng)a時(shí)，△ABD是等腰直角三角形，結(jié)論③正確④要使△ACB為等腰三角形，則AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，Ⅰ、當(dāng)AB＝BC＝4時(shí)，在Rt△OBC中，∵OB＝3，BC＝4，∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c2＝7，∵拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，∴c＜0，c，∴a．Ⅱ、當(dāng)AB＝AC＝4時(shí)，在Rt△OAC中，∵OA＝1，AC＝4，∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c2＝15，∵拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，∴c＜0，c，∴a．Ⅲ、當(dāng)AC＝BC時(shí)，∵OC⊥AB，∴點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO＝BO，這與AO＝1，BO＝3矛盾，∴AC＝BC不成立．∴使△ACB為等腰三角形的a值可以有兩個(gè)：．結(jié)論④正確．故答案選：D【點(diǎn)睛】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；（2）b由對(duì)稱軸和a的符號(hào)確定：由對(duì)稱軸公式x判斷符，（3）c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；（4）b2﹣4ac由拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定：①2個(gè)交點(diǎn)，b2﹣4ac＞0；②1個(gè)交點(diǎn)，b2﹣4ac＝0；③沒有交點(diǎn)，b2﹣4ac＜0．2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－1)，在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋【答案】A【分析】根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線求解即可．【詳解】令x=0，則y=-3，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1），∴線段CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，∴x2-2x-3=-2，解得x1=，x2=，∵點(diǎn)P在第四象限，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】①由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，可得對(duì)稱軸；②用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，再求其最大值即可；③由拋物線求得A、B、C的坐標(biāo)，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，根據(jù)等面積求得OP即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，故①正確；設(shè)拋物線關(guān)系式為：，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴-4a=2，解得：，∴拋物線關(guān)系式為：，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，故②錯(cuò)誤；∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），∴AB=5．當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），∴，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故③正確；當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，此時(shí)根據(jù)三角形的面積可得，∴，解得OP=，∴OP的最小值為．故④正確；故正確的有：①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)距離公式，等面積求高，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積得OP的長(zhǎng)．4．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，正方形的邊在軸上，，在拋物線上，連結(jié)，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)正方形與拋物線的對(duì)稱性，可得陰影部分面積為，先求得拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)對(duì)稱性設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，∵是正三角形，，∴∴設(shè)過的拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，得∴∴拋物線解析式為，∵四邊形是正方形，且關(guān)于軸對(duì)稱，∴設(shè)，∵在上，∴，解得（舍去）∵，設(shè)直線的解析式為，∴∴∴直線的解析式為∵在上，∴的橫坐標(biāo)為代入得∴∴∴陰影部分面積為故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·山東德州·二模）二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，，，，…都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，則的斜邊長(zhǎng)為()A．20 B． C．22 D．【答案】C【分析】由于,,，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直線:，求出，的坐標(biāo)，得出的長(zhǎng)；利用的坐標(biāo)，得直線：，求出,坐標(biāo)，得出的長(zhǎng)；用同樣的的方法可求得，…的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)各邊長(zhǎng)的的特點(diǎn)得出一般化規(guī)律，求得的長(zhǎng)．【詳解】解：等腰直角三角形，為原點(diǎn)；直線：，，的坐標(biāo)為（1，1），則為（0，2）=2為（0，2），直線:（2，4），=4，則（0，6）（0，6），直線:（3，9），=6，由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出這些直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)依次加2∴△A10B11A11的斜邊長(zhǎng)為2+10×2=22，綜上，由此可以推出=22．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題時(shí)，利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)的交點(diǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的難點(diǎn)是推知的長(zhǎng)．6．（2022·浙江·杭州東方中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）小明發(fā)現(xiàn)，將二次函數(shù)的圖象在x軸及其上方的部分向右平移得到，這兩部分組成的圖案酷似某快餐品牌的logo．經(jīng)測(cè)量，該圖案兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離與底部跨度的比值為，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，若恰好為等腰直角三角形，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式得到點(diǎn)A坐標(biāo)，對(duì)稱軸，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，設(shè)，求出x值，得到平移距離，可得的解析式，令求出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求出a值，根據(jù)開口方向得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，對(duì)稱軸為直線，則，∵，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴移動(dòng)距離為，∴，，，令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵開口朝下，∴，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意結(jié)合圖像，求出平移距離．7．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，，射線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，與軸交于點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的二次函數(shù)中，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】先求出直線AB的函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)求，則射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，后，利用解直角三角形求出，利用待定系數(shù)法即可求出答案A．【詳解】解：如圖所示，直線AB交x軸于點(diǎn)C1，過點(diǎn)A作軸交x軸于點(diǎn)N，射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交x軸于點(diǎn)C2．設(shè)一次函數(shù)解析式為，將，，代入，得：解得：∴∴點(diǎn)又∵∴∴則∵射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交x軸于點(diǎn)，則∴∴∴∴∵，，代入∴解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、解直角三角形的綜合題目，能構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．【答案】或【分析】先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，再將點(diǎn)代入拋物線的解析式，得出m的值，確定的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)分情況畫圖求解，即可求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵是拋物線上的點(diǎn)，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴是的垂直平分線，∴，且，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∴軸，∴如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴是的垂直平分線，∴，∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形，∴，∴，∴．綜上可得：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），我們規(guī)定：當(dāng)為直角三角形時(shí)，就稱為該拋物線的“優(yōu)美三角形”．若拋物線的“優(yōu)美三角形”的斜邊長(zhǎng)為4，求a的值______．【答案】【分析】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)“優(yōu)美三角形”的條件得為等腰直角三角形，得，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式表達(dá)式即可求解．【詳解】解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)式為：，又拋物線的“優(yōu)美三角形”，為直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，可知，為等腰直角三角形，設(shè)與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，如圖，，或，或，或，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解新定義“優(yōu)美三角形”、熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、圖像的對(duì)稱性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的特征是解答此題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右側(cè)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，當(dāng)為直角三角形時(shí)，m的值為________．【答案】2【分析】設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=｜x2-x1｜，求出點(diǎn)P（m，-（m-1）2），由拋物線的對(duì)稱性知△ABP為等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求得m值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=｜x2-x1｜，令y=0得，∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，則｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，由拋物線=（x-m）2－（m-1）2得頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（m，-（m-1）2），拋物線的對(duì)稱性知△ABP為等腰直角三角形，∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，即4（m-1）2=4（m-1）4，解得：m=2或m=0或m=1，∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右側(cè)，∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，∴m=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、解高次方程等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．11．（2020·北京延慶·九年級(jí)期中）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)B恰好在函數(shù)的圖象上，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為，且邊OA與x軸的正半軸的夾角為15°，則的值為_________．【答案】【分析】作BD⊥x軸，連接OB，根據(jù)正方形性質(zhì)可知OA=OB，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，將點(diǎn)B代入即可求解；【詳解】解：作BD⊥x軸，連接OB，根據(jù)正方形性質(zhì)可知OA=AB，∠A=90°，∴∠AOB=45°，∵∠AOD=15°，∴∠BOD=60°，∵∴，∴，將點(diǎn)B代入得，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)、特殊三角函數(shù)、正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線，利用特殊角，應(yīng)用特殊三角函數(shù)值進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．12．（2021·山東濱州·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3，…，A2021在y軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，B2021在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都為等邊三角形，則△A2020B2021A2021的邊長(zhǎng)＝_____．【答案】2021【分析】分別過B1，B2，B3作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設(shè)A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，則AB1a，BB2b，CB3c，再根據(jù)所求正三角形的邊長(zhǎng)，分別表示B1，B2，B3的縱坐標(biāo)，逐步代入拋物線yx2中，求a、b、c的值得出規(guī)律．【詳解】解：分別過B1，B2，B3作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C．設(shè)A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，∵△A0B1A1是等邊三角形，∴，∴，同理可得BB2b，CB3c，∴在正△A0B1A1中，B1(a，)，代入yx2中，得?(a)2，解得：a=1或a=0(舍去)，即A0A1=1，在正△A1B2A2中，B2(b，1)，代入yx2中，得1?(b)2，解得：b=2或b=-1(舍去)，即A1A2=2，在正△A2B3A3中，B3(c，3)，代入yx2中，得3?(c)2，解得：c=3或c=-2(舍去)，即A2A3=3，∴可以推出AnAn+1=n+1,由此可得△A2020B2021A2021的邊長(zhǎng)=2021．故答案為：2021．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的性質(zhì)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線解析式求正三角形的邊長(zhǎng)，得到規(guī)律．13．（2022·山東·日照市高新區(qū)中學(xué)一模）二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…在軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，B4，…在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，則△A10B11A11的斜邊長(zhǎng)為__________．【答案】22【分析】過點(diǎn)B1，B2，B3，B4，…分別作y軸的垂線，垂足分別為C、D、E…，分別寫出直線的解析式，將它們與聯(lián)立，求得點(diǎn)B1，B2，B3的坐標(biāo)，從而可得，，，得到規(guī)律這些直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)依次加2，據(jù)此解題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B1，B2，B3，B4，…分別作y軸的垂線，垂足分別為C、D、E…△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，所在的直線為，由得直線為，同理，由解得直線為，由解得…由，，…可以看出這些直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)依次加2，△A10B11A11的斜邊長(zhǎng)2+10=22，故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，涉及等腰直角三角形、解二元一次方程組等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題14．（2022·廣東·廣州市第八十九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，，，，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直角斜邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)，除外)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)，點(diǎn)(3)存在，，，【分析】（1）根據(jù)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，用含的式表示出、的坐標(biāo)，求出的長(zhǎng)度最大時(shí)的值，即可求得、的坐標(biāo)；（3）分兩種情況，和時(shí)，分別求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得點(diǎn)的值．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴，，把，代入得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵直線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：把，代入代入得：解得：，∴直線的解析式為：∵過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上(點(diǎn)，除外)，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，∴點(diǎn)，據(jù)圖知：點(diǎn)在點(diǎn)上方，∴，∵，開口向下，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為．∴，，∴點(diǎn)，點(diǎn)；（3）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，解得：，，∴，；②當(dāng)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，解得，（舍去）∴點(diǎn)，綜上所述，存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想．15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、C，交y軸于點(diǎn)B，.(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱軸方程；(2)如圖，連接，點(diǎn)M是對(duì)稱軸上一點(diǎn)且在第四象限，若是以為底角的等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；【答案】(1)拋物線的解析式為，對(duì)稱軸方程為；(2)M坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式得出，，再由已知條件確定，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后化為頂點(diǎn)式，即可確定對(duì)稱軸；（2）設(shè)，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式得出，然后分兩種情況：①若，②若，分別求解即可．【詳解】（1）解：在中，令得，∴，∴，∵，∴，∴，把，代入得：，解得，∴拋物線的解析式為，而，∴對(duì)稱軸方程為；（2）解：設(shè)，而，∴，∵是以為底角的等腰三角形,∴分兩種情況：①若，則，如圖：∴，解得或，∵M(jìn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)且在第四象限，∴，②若，則，如圖：∴，解得，∴，綜上所述，M坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，確定特殊圖形的坐標(biāo)及等腰三角形的定義等，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求出二次函數(shù)的解析式；(3)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)D，使得是以為斜邊的等腰直角三角形，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)；(3)或．【分析】（1）通過解方程可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；（3）先確定，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，，，再根據(jù)等腰直角三角形得到，，然后解方程組得到D點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，解得，∴；故答案為：，；（2）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入得，解得，∴，即；（3）解：當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，∴，，，∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，，解得，或，，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）以為邊在兩側(cè)作正方形、正方形，則點(diǎn)為符合題意要求的點(diǎn)．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，得出，同理證明得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，∴∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式為；（2）解：如圖2所示，以為邊在兩側(cè)作正方形、正方形，則點(diǎn)為符合題意要求的點(diǎn)．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∴，∴；同理可得；同理可證，∴，∴，∴，同理，，∴存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰直角三角形．點(diǎn)坐標(biāo)為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，涉及面較廣，難度較大．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________；(2)連接，在線段上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】(1)，；(2)，，【分析】（1）分別將、代入函數(shù)解析式，求解即可；（2）求出直線的解析式，分三種情況討論、、，分別求解即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，整理得：，變形得：，解得，故答案為：，（2），設(shè)解析式為，把坐標(biāo)代入得，，解得，解析式為，為等腰三角形，點(diǎn)在線段上，設(shè)，，以為底邊，作中垂線與交點(diǎn)為，，，，以為腰，當(dāng)時(shí)，，或舍去，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，為等腰三角形符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，；【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用分類討論的思想求解問題．19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)直線分別交直線和拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出m的值．【答案】(1)；(2)的值為，，1，2【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）分，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：將，代入函數(shù)解析式，得，解得，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是；（2）解：設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，①，解得，（舍去），②，解得，（舍去），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)N在x軸上，，解得或（舍當(dāng)時(shí)，，，解得或（舍，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值為，，1，2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在軸上是否存在點(diǎn)，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；點(diǎn)的坐標(biāo)：；(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或，理由見解析．【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，即可求解二次函數(shù)關(guān)系式；結(jié)合解析式和點(diǎn)是圖像與軸的交點(diǎn)，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)在軸上，故設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，再由兩點(diǎn)間的距離公式表示出、和的平方，最后分類討論哪兩邊為腰，即可求解．【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，，解得，此二次函數(shù)關(guān)系式為：，當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題意得：，，，①當(dāng)時(shí)，則，解得，或；②當(dāng)時(shí)，則，解得（舍），③當(dāng)時(shí)，則，解得綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)等腰三角形存在性問題、兩點(diǎn)間的距離公式、方程思想、分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)，屬于二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，具有一定難度．解題的關(guān)鍵是掌握并運(yùn)用方程思想和兩點(diǎn)間的距離公式．注意：兩點(diǎn)間的距離公式：若平面直角坐標(biāo)系中有、兩點(diǎn)，則線段．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)以為邊在其左側(cè)作等腰直角三角形，問點(diǎn)D能否落在拋物線上，若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)能，或【分析】（1）把、代入，列方程組求出、的值即可；（2）分三種情況討論，一是，，可以設(shè)點(diǎn)在拋物線上，；二是，，設(shè)，三是，，作于點(diǎn)，設(shè)，分別求出或的值并進(jìn)行檢驗(yàn)，得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把、代入，得，解得，拋物線的解析式為：．（2）解：能．如圖2，，，設(shè)點(diǎn)在拋物線上，，對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，則，，，，解得，（不符合題意，舍去），；如圖3，，，設(shè)，則，，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，則，解得，（不符合題意，舍去），；如圖4，，，作于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，若點(diǎn)在拋物線上，則，解得（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題難度較大，屬于考試壓軸題．22．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期中）如圖1，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)是拋物線上第一象限的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中探究：拋物線在軸上方的部分上是否存在點(diǎn)，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)24(2)(3)存在，或．【分析】（1）求出c點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求出面積即可；（2）作于點(diǎn)D，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可；（3）分兩種情況求解：當(dāng)點(diǎn)M在第一象限的拋物線上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在第二象限的拋