2025屆湖南省重點中學高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆湖南省重點中學高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.102．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.63．命題：“，”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，4．過點且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.5．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.6．已知直線過點，，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．設圓上的動點到直線的距離為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直9．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.10．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.11．命題p：存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù).則下列結論正確的是（）A.：任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為假命題B.：任意實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是負數(shù)，為真命題12．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列滿足，則_______________.14．若滿足約束條件，則的最小值為________.15．已知，，則___________.16．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列，前項和為，首項為，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）設，記，求.18．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長19．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20．（12分）人類社會正進入數(shù)字時代，網(wǎng)絡成為了必不可少的工具，智能手機也給我們的生活帶來了許多方便.但是這些方便、時尚的手機，卻也讓你的眼睛離健康越來越遠.為了了解手機對視力的影響程度，某研究小組在經(jīng)常使用手機的中學生中進行了隨機調(diào)查，并對結果進行了換算，統(tǒng)計了中學生一個月中平均每天使用手機的時間x（小時）和視力損傷指數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：平均每天使用手機的時間x（小時）1234567視力損傷指數(shù)y25812151923（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關于x的線性回歸方程.（2）該小組研究得知：視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿足函數(shù)關系式，如果小明在一個月中平均每天使用9個小時手機，根據(jù)（1）中所建立的回歸方程估計小明視力的下降值（結果保留一位小數(shù)）.參考公式及數(shù)據(jù)：，..21．（12分）（１）求焦點在x軸上,虛軸長為12，離心率為的雙曲線的標準方程；（2）求經(jīng)過點的拋物線的標準方程；22．（10分）已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設直線，分別與軸交于點，.判斷，大小關系，并加以證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A2、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標運算求解【詳解】由已知，解得故選：C3、D【解析】根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法直接得到結果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“，”的否定形式為：，，故選：D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易.含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結論.4、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B5、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B6、C【解析】根據(jù)兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即故選：C7、C【解析】求出圓心到直線距離，再借助圓的性質(zhì)求出d的最大值與最小值即可.【詳解】圓的方程化為，圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離，即直線和圓相離，因此，圓上的動點到直線的距離，有，，即，即的取值范圍是：.故選：C8、C【解析】由韋達定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線、的斜率之積為，進而可判斷兩直線的位置關系【詳解】設方程的兩根為、，則直線、的斜率，故與相交但不垂直故選：C9、B【解析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題10、B【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B11、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因為命題p“存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，因為，所以為假命題；故選：A12、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用來求得，進而求得正確答案.【詳解】，，是數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：14、5【解析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即平移直線，當直線過點時取得最小值5故答案為：515、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標表示運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：16、【解析】求出等比數(shù)列的通項公式，可得出的通項公式，推導出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項和為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意解得等差數(shù)列的公差，代入公式即可求得和；（2）把n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，分別去數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，由題有，即，解之得或0，又，所以，所以.【小問2詳解】，當為正奇數(shù)，，當為正偶數(shù)，，所以18、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設，可得.又=（1，2，），可得.因為平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個法向量.設為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設AH=h（），則H（0，0，h），進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成角【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.19、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.當時，，所以，設平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.20、（1）（2）0.3【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)及參考公式即可求解；（2）由（1）中線性回歸方程計算小明的視力損傷指數(shù)，再將代入視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿足的函數(shù)關系式即可求解.【小問1詳解】解：由表格數(shù)據(jù)得：，，，，所以線性回歸方程為；【小問2詳解】解：小明的視力損傷指數(shù)，所以，估計小明視力的下降值為0.3.21、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標準方程；（2）設出拋物線方程，利用經(jīng)過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程【詳解】焦點在x軸上，設所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為（2）由于點P在第三象限，所以拋物線方程可設為：或（p>0）當方程為，將點代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；當方程為，將點代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：；22、（1）（2）（3）見解析【解