2025屆云南省昆明市五華區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆云南省昆明市五華區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（）A. B.C D.2．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．已知一個(gè)圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.4．設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為C上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線6．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.7．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過(guò)點(diǎn)（）A. B.C. D.8．在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.9．給出下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題10．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.811．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對(duì)?x0，f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)12．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為________cm.14．寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式____________，使它同時(shí)滿足下列條件：①，②，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和.（寫出滿足條件的一個(gè)答案即可）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則___________，___________.16．直線與兩坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答19．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.20．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積22．（10分）已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，命題：關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”為假命題，"”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故選：A2、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角的余弦值為，故選：A3、B【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B4、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)樵陔p曲線中，因?yàn)?，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.5、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為，即時(shí)，軌跡為拋物線，時(shí)，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.6、C【解析】求出圓心到直線的距離，由這個(gè)距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為.故選：C7、D【解析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項(xiàng)可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確,故選：D8、B【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OABC如圖，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B.9、D【解析】A選項(xiàng)：否命題應(yīng)該對(duì)條件結(jié)論同時(shí)否定，說(shuō)法不正確；B選項(xiàng)：雙曲線的離心率大于，解得，所以說(shuō)法不正確；C選項(xiàng)：否定應(yīng)該是：，，所以說(shuō)法不正確；D選項(xiàng)：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說(shuō)法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項(xiàng)不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項(xiàng)不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時(shí)三角形不是銳角三角形，所以這是一個(gè)假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查四個(gè)命題關(guān)系，充分條件與必要條件，含有一個(gè)量詞的命題的否定，關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系，正確求解.10、D【解析】使用遞推公式逐個(gè)求解，直到求出即可.【詳解】因?yàn)樗?，，?故選：D11、B【解析】由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由最小值非負(fù)可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，，不合題意；若，則時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以時(shí)，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B12、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問(wèn)題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號(hào)的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識(shí)的考查14、(答案合理即可)【解析】當(dāng)時(shí)滿足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當(dāng)時(shí)滿足條件①②，證明如下：因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).15、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結(jié)果；第二空：由與關(guān)系可推導(dǎo)出之間的關(guān)系，再由遞推公式即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】，可得由，可知時(shí)，故時(shí)即可化為又故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式故答案為：①；②16、【解析】由直線的方程求出直線的斜率以及，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線段的垂直平分線的斜率以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由直線可得，所以直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，令可得；令可得；即，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線的方程為，整理得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結(jié)論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)k＝1時(shí)，，故令，則，即，所以【小問(wèn)3詳解】由，故當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因此恒成立，且的根至多一個(gè)，故在(0，1]上單調(diào)遞增，所以恒成立當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結(jié)論，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題18、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項(xiàng)公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）若選①：則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問(wèn)2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，在中，、分別為和中點(diǎn)，，又因平面平面，面，面，平面【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系，則，，所以、，設(shè)平面的法向量則，故可取設(shè)平面的法向量，則，故可取，因?yàn)槊媾c面的夾角余弦值為，所以，即，解得，20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）結(jié)合（1），進(jìn)而利用等體積法求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點(diǎn)N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.21、（1）；（2）【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，繼而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為，即為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，即得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線，可得，再由直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，故，三角形的高為O到直線的距離，利用點(diǎn)到直線公式，求解即可【小問(wèn)1詳