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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精第三章概率測(cè)評(píng)(B卷)【說(shuō)明】本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分,請(qǐng)將第Ⅰ卷選擇題的答案填入答題欄內(nèi),第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共120分,考試時(shí)間90分鐘.第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)1.在某餐廳內(nèi)抽取100人,其中有30人在15歲以下,35人在16~25歲,25人在26~45歲,10人在46歲以上,則數(shù)0。35是16~25歲人員占總體分布的A.概率B.頻率C.累計(jì)頻率D.頻數(shù)答案:B2.某彩票的中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,1000),意味著A.買(mǎi)1000張彩票,就一定能中獎(jiǎng)B.買(mǎi)1000張彩票,中一次獎(jiǎng)C.買(mǎi)1000張彩票,一次獎(jiǎng)也不中D.購(gòu)買(mǎi)一張彩票,中獎(jiǎng)的可能性是eq\f(1,1000)答案:D由概率定義知,D正確.3.做A、B、C三件事的費(fèi)用各不相同,在一次游戲中,要求參加者寫(xiě)出做這三件事所需費(fèi)用的順序(由少到多依次排列).如果某個(gè)參加者隨意寫(xiě)出一種答案,則他正好答對(duì)的概率是A.eq\f(1,3)B。eq\f(1,4)C。eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)答案:C記“正好答對(duì)"為事件N,將A、B、C排序包含6個(gè)基本事件:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.故P(N)=eq\f(1,6)。4.在某一時(shí)期內(nèi),一條河流某處的年最高水位在各個(gè)范圍內(nèi)的概率如下:年最高水位(單位:m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)概率0。10。280。380。160。08在同一時(shí)期內(nèi),河流這一處的年最高水位在[14,18)(m)內(nèi)的概率為A.0。08B.0。16C.0。12D.0.24答案:D河流在某處年最高水位落在各個(gè)范圍內(nèi)這些事件是互斥的,所以年最高水位在[14,18)(m)內(nèi)的概率為:P=0.16+0。08=0.24.5.2008年北京奧運(yùn)會(huì)時(shí),體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”內(nèi)在周長(zhǎng)為400米的跑道上平均插上了10根彩旗標(biāo)志桿,一工作人員沿跑道隨機(jī)進(jìn)行檢查,則該工作人員離標(biāo)志桿距離不超過(guò)5米的概率是A.0。1B.0.25C.0。3D.0。4答案:B距10根標(biāo)志桿每根不超過(guò)5米的距離為10米,共100米,所以所求概率為eq\f(100,400)=0.25。6.三個(gè)人隨意入住三間房間,假設(shè)每個(gè)人入住每間房的概率都是相等的,則三個(gè)人住在同一間房的概率是A.eq\f(1,9)B。eq\f(1,18)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)答案:A三個(gè)人隨意入住三間空房,共有27種不同的入住方式,三個(gè)人住在同一房間的方式有3種,則三人住在同一房間的概率P=eq\f(3,27)=eq\f(1,9)。7.已知事件M:“3粒種子全部發(fā)芽”,事件N:“3粒種子都不發(fā)芽”,那么事件M和N是A.等可能性事件B.不互斥事件C.互斥但不對(duì)立事件D.對(duì)立事件答案:C“3粒種子都不發(fā)芽”“恰有一粒發(fā)芽”“恰有2粒發(fā)芽”“全部發(fā)芽”共四種情況,它們兩兩互斥,∴M與N互斥.“至少有一粒發(fā)芽"與N對(duì)立.∴M與N不對(duì)立.故選C。8.盒中有1個(gè)黑球和9個(gè)白球,它們除顏色不同外,其他方面沒(méi)有什么差別.現(xiàn)由10人依次摸出1個(gè)球,設(shè)第1個(gè)人摸出的1個(gè)球是黑球的概率為P1,第10個(gè)人摸出黑球的概率是P10,則A.P10=eq\f(1,10)P1B.P10=eq\f(1,9)P1C.P10=0D.P10=P1答案:D摸球與抽簽是一樣的,雖然摸球的順序有先后,但只需不讓后面的人知道先抽的人抽出的結(jié)果,那么各個(gè)抽簽者中簽的概率是相等的,并不因抽簽的順序不同而影響到其公平性,∴P10=P1.9.考慮一元二次方程x2+mx+n=0,其中m,n的取值分別等于將一枚骰子連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則方程有實(shí)根的概率為A。eq\f(19,36)B。eq\f(7,18)C。eq\f(4,9)D。eq\f(17,36)答案:A由方程有實(shí)根知,m2≥4n。由于n∈N+,故2≤m≤6.骰子連擲兩次并按先后所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)考慮,共有6×6=36種情形.其中滿足條件的有:①m=2,n只能取1,計(jì)1種情況;②m=3,n可取1或2,計(jì)2種情形;③m=4,n可取1、2、3或4,共計(jì)4種情況;④m=5或6,n均可取1至6的值,共計(jì)2×6=12種情形,故滿足條件的情形共有1+2+4+12=19(種).∴方程有實(shí)根的概率為P=eq\f(19,36).故選A.10.考察正方體6個(gè)面的中心,從中任意選3個(gè)點(diǎn)連成三角形,再把剩下的3個(gè)點(diǎn)也連成三角形,則所得的兩個(gè)三角形全等的概率等于A.1B。eq\f(1,2)C。eq\f(1,3)D.0答案:A正方體六個(gè)面的中心任取三個(gè)只能組成兩種三角形,一種是等腰直角三角形,如圖甲;另一種是正三角形,如圖乙.若任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的是等腰直角三角形,剩下的三個(gè)點(diǎn)也一定構(gòu)成等腰直角三角形;若任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的是正三角形,剩下的三點(diǎn)也一定構(gòu)成正三角形.這是一個(gè)必然事件,因此概率為1。第Ⅱ卷(非選擇題共70分)二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上)11.一個(gè)總體分為A,B兩層,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(1,12),則總體中的個(gè)體數(shù)為_(kāi)_________.答案:120分層抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等,則eq\f(10,x)=eq\f(1,12)?x=120.12.設(shè)點(diǎn)A(p,q)在|p|≤1,|q|≤1內(nèi)按均勻分布出現(xiàn),則滿足p2+q2≥1的概率為_(kāi)_______.答案:1-eq\f(π,4)如下圖:點(diǎn)A(p,q)在-1≤p≤1,-1≤q≤1的正方形區(qū)域可視為區(qū)域D,落入陰影區(qū)域視為區(qū)域d,每個(gè)點(diǎn)落入D內(nèi)是等可能的.記事件A=“滿足p2+q2≥1的點(diǎn)",則P(A)=eq\f(陰影面積,正方形面積)=eq\f(22-π×12,22)=eq\f(4-π,4)=1-eq\f(π,4).13.已知集合P={2,4,6,8},Q={1,3,5,7},在P中任取一個(gè)元素用ai(i=1,2,3,4)表示,在Q中任取一個(gè)元素用bj(j=1,2,3,4)表示,則所取兩個(gè)數(shù)滿足ai>bj的概率為_(kāi)_______.答案:eq\f(5,8)從P中4個(gè)元素中任取一個(gè)有4種結(jié)果,從Q中4個(gè)元素中任取一個(gè)也有4種結(jié)果.∴基本事件總數(shù)共有4×4=16個(gè).若ai>bj,則所含的基本事件(2,1),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7)共10個(gè),∴所求概率為:eq\f(10,16)=eq\f(5,8)。(注:橫坐標(biāo)表示ai,縱坐標(biāo)表示bj,(ai,bj)表示基本事件)14.給出命題:(1)對(duì)立事件一定是互斥事件;(2)若A、B為兩個(gè)事件,則P(A+B)=P(A)+P(B);(3)若事件A、B、C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;(4)若事件A、B滿足P(A)+P(B)=1,則A、B是對(duì)立事件.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是________.(填上所有假命題的序號(hào))答案:(2)(3)(4)只有(1)正確.(2)只有當(dāng)A、B互斥時(shí)成立;(3)當(dāng)A、B、C為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的僅有的三種結(jié)果時(shí)正確,若還有其他結(jié)果就不對(duì);(4)不正確.反例,拋一顆骰子,觀察點(diǎn)數(shù),設(shè)“獲得點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3"的事件為A,“獲得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"的事件為B,則P(A)=0。5,P(B)=0.5。此時(shí)P(A)+P(B)=1,但A、B不對(duì)立,A與B可能同時(shí)發(fā)生,如都出現(xiàn)2點(diǎn).三、解答題(本大題共5小題,共54分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.(10分)為了調(diào)查某野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)內(nèi)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,調(diào)查人員某天逮到這種動(dòng)物1200只作上標(biāo)記后放回,經(jīng)過(guò)一星期后,又逮到這種動(dòng)物1000只,其中有作過(guò)標(biāo)記的100只,按概率方法估算,此保護(hù)區(qū)內(nèi)有多少只這種動(dòng)物?解:設(shè)保護(hù)區(qū)內(nèi)有n只這種動(dòng)物,假定每只動(dòng)物被逮住的可能性是相等的,從中任逮一只,設(shè)事件A=“作過(guò)標(biāo)記的動(dòng)物”.由古典概型可知,P(A)=eq\f(1200,n)。①第二次逮到的1000只中,有100只作過(guò)標(biāo)記,由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知,P(A)≈eq\f(100,1000)。②由①②兩式,可得eq\f(1200,n)=eq\f(100,1000)。∴n=12000(只).答:估計(jì)此保護(hù)區(qū)內(nèi)約有12000只這種動(dòng)物.16.(10分)甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙兩人依次各抽一題.(1)甲抽到選擇題,乙抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題的概率是多少?解:甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題,先抽的有10種抽法,后抽的有9種抽法,故所有可能的抽法是10×9=90種,即基本事件總數(shù)是90.(1)記“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題"為事件A,下面求事件A包含的基本事件數(shù):甲抽選擇題有6種抽法,乙抽判斷題有4種抽法,所以事件A的基本事件數(shù)為6×4=24.∴P(A)=eq\f(m,n)=eq\f(24,90)=eq\f(4,15).(2)先考慮問(wèn)題的對(duì)立面:“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題"的對(duì)立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”,即都抽到判斷題.記“甲、乙兩人都抽到判斷題"為事件B,“至少一人抽到選擇題”為事件C,則B含基本事件數(shù)為4×3=12。(注:4個(gè)判斷題,甲抽到一個(gè)后還余3個(gè),所以,乙若抽,只能從余下的3個(gè)中抽一個(gè),有3種可能的情況,故B發(fā)生有4×3=12種可能結(jié)果.)∴由古典概型概率公式,得P(B)=eq\f(12,90)=eq\f(2,15),由對(duì)立事件的性質(zhì)可得P(C)=1-P(B)=1-eq\f(2,15)=eq\f(13,15).17.(10分)現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者A1、A2、A3通曉日語(yǔ),B1、B2、B3通曉俄語(yǔ),C1、C2通曉韓語(yǔ).從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.(1)求A1被選中的概率;(2)求B1和C1不全被選中的概率.解:(1)從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間(指整個(gè)事件中所有可能的結(jié)果構(gòu)成的集合)Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}.由18個(gè)基本事件組成.由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.用M表示“A1恰被選中”這一事件,則M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}.事件M由6個(gè)基本事件組成,因此P(M)=eq\f(6,18)=eq\f(1,3)。(2)用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件,則其對(duì)立事件eq\x\to(N)表示“B1、C1全被選中"這一事件.由于eq\x\to(N)={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件eq\x\to(N)由3個(gè)基本事件組成,所以P(eq\x\to(N))=eq\f(3,18)=eq\f(1,6),由對(duì)立事件的概率公式得P(N)=1-P(eq\x\to(N))=1-eq\f(1,6)=eq\f(5,6).18.(12分)兩個(gè)對(duì)講機(jī)持有者莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作,他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25千米,在下午3:00時(shí)莉莉正在基地正東距基地30千米以內(nèi)的某處向基地行駛,而霍伊在下午3:00時(shí)正在基地正北距基地40千米以內(nèi)的某地向基地行駛,試問(wèn)在下午3:00時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大?解:設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離,于是0≤x≤30,0≤y≤40.則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x,y),這里x,y都在他們各自的限制范圍內(nèi),則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域,每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置,他們可以通過(guò)對(duì)講機(jī)交談這一事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過(guò)25千米時(shí)發(fā)生(如圖①),因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式eq\r(x2+y2)≤25的數(shù)對(duì)組成,此不等式等價(jià)于x2+y2≤625。圖①圖②圖②中的方形區(qū)域代表基本事件組,陰影部分代表所求事件,方形區(qū)域的面積為1200平方千米,而所求事件的面積為(eq\f(1,4))π(25)2=eq\f(625π,4),于是有P=eq\f(625π/4,1200)=eq\f(625π,4800)≈0.41。19.(12分)一汽車(chē)廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車(chē),每類轎車(chē)均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):轎車(chē)A轎車(chē)B轎車(chē)C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車(chē)中抽取50輛,其中有A類轎車(chē)10輛.(1)求z的值;(2)用分層抽樣的方法在C類轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率;(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車(chē)中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,8.6,9。2,9。6,8。7,9。3,9。0,8。2.把這8輛轎車(chē)的得分看成一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.解:(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車(chē)n輛,由題意得eq\f(
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