2021初中數(shù)學(xué)專題2-5 四邊形綜合題填空題專題（解析版）

決勝2021年中考最難壓軸題大挑戰(zhàn)

稹塊二填空題篇

專題2-5四邊形綜合題

1.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在正方形A8CO中，E、G分別為CD、AD上的點(diǎn)，KDE=DG,毗

鄰4E、BG,其中BG交對(duì)角線4c于N、交AE于H,過(guò)。作OFJ_AE于F,毗鄰GF,將△GFH沿AE翻

126

折得到毗鄰CF、CM,若AF=9EF,HN=急則△CMF的面積為—一_.

65

【點(diǎn)睛】如圖，耽誤D尸交CM于點(diǎn)O,作GQ_LZ)/于。，MKL力尸于K,CR1O尸于R,毗鄰MG,作GP

。尸EF

〃AB交AE于P.由△OFES/XAFD推出——=——，因?yàn)锳F=9E￡設(shè)EF=a,則AF=9“，推出。產(chǎn)=

AFDF

9a2,推出。F=3?,想方式證明SACFM=5/、FOC+5AFO“=*XOF(CR+M/0=12?2,再解直角三角形求出a即

可解決問(wèn)題；

【試題解答】解：如圖，耽誤QF交CM于點(diǎn)。，作G。，。尸于Q,MKLDF于K,CRLDF于R,毗鄰MG,

作G尸〃48交AE于P.

?..四邊形A8CQ是正方形，

：.AD^CD=BC=^AB,ZADE=90°,

"：DF1AE,

：?NAFD=/DFE=90°,

9：ZEDF+ZADF=90°,ZADF+ZDAF=90°,

:?/EDF=4DAF、

：?4DFEs叢AFD,

.DFEF

AF~DF"

9：AF=9EF,設(shè)EF=a,則AF=9a,

：.DF2=9a2,

：.DF=3ay

?:DG=DE,NGQD=NDFE=90°,ZEDF=ZDGQ,

：./\GQD^/\DFE(AAS),

：.DF=QG=3a,DQ-EF=a,

/.QF=3a-。=2〃，

?；G,M關(guān)于AE對(duì)稱，

.9.GM±AE,VDK1AE,

:.GM〃QK、

■:MK工QK,GQA.QK,

：.GQ//MK,

???四邊形GQKM是平行四邊形，

???NGQK=90°,

???四邊形GQKM是矩形，

：.MK=GQ=3a,

■:/DAF=/CDR,/AFD=NCRD=90°,DA=DC,

：./\AFD^/\DRC(A4S),

:?CR=DF=3a,

：.MK=CR=3a,

?.?/MKO=NCRO,NMOK=/COR,

???△MKO絲△CRO(AAS),

：.OK=OR,

,:FG=FM,GQ=MK,

：.Rt^GQF^/\MKF(HL),

:?FK=FQ=2a,

■:EF//CR,

.EFDF

??CR-OR'

.a3a

**3a-OR'

：.DR=9a,

：.RK=9a-5a=4a,

：.OK=OR=2a,

19

S&CFM=SEFOC^S4FOM=)xOF(CR+MK)=12az,

iDF

VtanZ￡DF=tanZ￡>AE=弓=去，設(shè)DE=b、則AD=3b,DG=EE=b,AG=2b,

■:GP//DE,

.GPAG

,,DE-AD"

.GP2b

b-3d

VPG=|Z??

???GP〃AB、

2.

.GPGH2

"AB-HB_3b-9'

?：AG〃BC、

.GNAG2

??BN-BC一3,

'：BG=y1AG2+AB2=V13/7,

27

：.GH=今XAb,GN=5Xyfl3b,

:.HN=NG-GH=絳j|,

,.713

??”一營(yíng)

：.DE=^-.

9?A/T39

/.?2+(3〃)2=(^-)-

.2—1

-130,

SACFM=12/=言.

,,…,6

故答案為—?

65

2.（2021?海門市校級(jí)模擬）如圖，正方形A3C。中，E為A8邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作E/LAB交對(duì)角線于

點(diǎn)F.毗鄰EC交8。于點(diǎn)G.取。尸的中點(diǎn)”，并毗鄰AH.若AH=小.,EG=*則四邊形AEF4的面積

出史

,—29—

【點(diǎn)睛】如圖，毗鄰HE,HC,作，于,耽誤交CD于N.起首證明△￡〃（?是等腰直角三角

EFEG4

形，推出EC=2,由E/〃8C,推出一=一=—,設(shè)EF=BE=4a,則8C=A8=10a,AE=6a,AM=

BCGC10

ME=3a,由EF〃HM,推出=,推出=—,推出HM=Qa,可得S四邊形=梯形

HMBMHM7a

EFHM=*x3aX7a+*(4a+7a)X3a=27a2,在RtABEC中，根據(jù)BE2+BC2=EC2,構(gòu)建方程求出/即可解

決問(wèn)題；

【試題解答】解：如圖，毗鄰HE,HC,作于M.,耽誤MH交CD于N.

???四邊形A8CD是正方形，

：.DA=DC,NADH=NCDH=45°,

*：DH=DH,

：.△AD*△CDH(SAS),

：.AH=CH=V2,

VEFlAB,HMLAB,DALAB

：.EF//HM//AD,

,:HF=HD,

：.AM=EM,

：,HA=HE=HC,

■:/AMN=N/ADN=90°,

???四邊形AMN。是矩形，

:.AM=DN,

":DN=HN,AM=EM,

；?EM=HN,

.,.RtAWME^RtACAr//(HL),

/./MHE=NHCN,

■:NHCN+/CHN=9S,

：?/MHE+NCHN=9aQ,

:?NEHC=90°,

:?EC=y[2HE=2,

4

???EG=*

?4_10

??OC-2-y=-y-,

,:EF〃BC、

EFEG4…

=-=-,設(shè)EF=BE=4a,則BC=AB=10a,4E=6a,AM=ME=3a,

DCGC10

,:EF〃HM、

?空_BE

HM~BM"

.4a4a

??HM—7a

:,HM=7a,

?'?S四邊形AMH=SA/1M〃+S梯形EFHM=2x3aX7〃+](4〃+7a)X3a=27a2,

u122

在RlZ\8EC中，：BE+BC=ECy

166/2+100tz2=4,

-2__1

??a-西,

?27

??S四邊形AEF//U2g.

27

故答案為—.

29

3.(2021?成都模擬)在直角梯形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC,E為AB邊上一點(diǎn)，NBCE

=15°,且4E=A。，毗鄰。E交對(duì)角線4c于”，毗鄰8區(qū)下列結(jié)論:

^~^BCV6+V24H

①△ACOdACE；@—=---;@—=2；@--------=—

34bt\、EHCLli

其中結(jié)論對(duì)的是①②④

【點(diǎn)睛】①根據(jù)SAS即可證明；

②起首證明△(7￡>￡：為等邊三角形，設(shè)EH=￡W=a,則C7)=EC=2a,AH=a,HC=V3?,通過(guò)計(jì)算可以得

出結(jié)論；

③操縱②中結(jié)論，提供計(jì)算得出結(jié)論；

④通過(guò)計(jì)算可以得出結(jié)論；

【試題解答】解:①???N4BC=90°,AB=BC,

.?./8AC=NACB=45",

又；NBAD=90°,

：.ZBAC=ZDAC,

又AD=AE,AC=AC,

：.AACD^AACE(SAS)；故①正確；

②同理NAE￡>=45°,

/BEC=90°-NBCE=90°-15°=75°,

/.ZDEC=180°-45°-75°=60°,

'：ACD^/\ACE,

:.CD=CE,

.?.△C￡>E為等邊三角形，設(shè)EH=DH=a,則CO=EC=2a,AH=a,HC=V3a,

.".AC=?+V3a,

：.AB=BC=^-(1+V3)a,

BC￥(1+6)aV6+V2"

.?石=^^=丁，故②正確，

③由②可知，AE=V2a,

J2r-f—V6\[2

；,BE=AB-AE=萬(wàn)(1+V3)a—y/2a=(———)a,

/22

EH

工2,故③錯(cuò)誤，

④由②③可知SABEC=%E*BC=%2；

在直角△BEC中，EC=>JBE2+BC2=2」2+',

SAEHC=

~2

12t—

.S^EBC_5a_V3

..小=%=三’

2

..AHaV3

'HC~V3a-3，

二^=震，故④正確;

S&EHCCH

故答案為：①②④.

4.(2021?武漢模擬)四邊形A8CD,ZABC=ZBAD=90°,BC=3AD=3,CE工BD于E,連AE,若tanZ

DEA=I，則AB=3.

【點(diǎn)睛】耽誤CE交A8于F,毗鄰QF,取。F的中點(diǎn)0,毗鄰。4、0E.起首證明A、D、E、F四點(diǎn)共

1An

圓，推出乙42。=乙4瓦＞,可得tanNA")=tanN4ED=/=器因?yàn)锽C=3AO=3,推出AD=1,BC=3,

可得AF=2,設(shè)操縱相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

【試題解答】解：耽誤CE交A8于冗毗鄰及死取。尸的中點(diǎn)0,毗鄰0A、0E.

■:CEJLBD,

：.ZDAF=ZDEF=90Q,

,:OD=OF,

：.OA=OD=OF=OE,

???A、D、E、尸四點(diǎn)共圓，

ZAFD=ZAED,

iAn

：.tantanZAED=*=器，

,:BC=3AD=3,

：.AD=l,BC=3,

：.AF=2,設(shè)

*//CBF=NBAD=ZBEF=90°,

???/"￡>+NAO3=90°,ZABD+ZBFC=90°,

，NADB=/CFB,

.BCBF

AB~m

.3x

**2+x-1?

.\?+2x-3=0,

；.x=l或-3（舍棄）,

：.AB=BF+AF=l+2=3.

故答案為3.

5.（2021?南岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正方形48co和正方形CEFG交于點(diǎn)C,毗鄰。E、BG,過(guò)點(diǎn)C作PQ_L

BG交于點(diǎn)P,交?！昱c點(diǎn)Q,將aCQE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CQ'E',CQ'、CE'分別交線段PG于M

,_「25

K,且NC=NG,毗鄰Q'K,若AB="U,EF=岳,N￡>CE=45°,則4。'NK的面積為_(kāi)u一

【點(diǎn)睛】如圖，作QM〃CE交CQ的耽誤線于M作K//LCQ'于H,毗鄰G。'，作NRLCQ'于R,Q'

TLCN于T,作EWLCZ）于卬.起首證明aBCG絲△?）〃，推出。。=?！暝僮C明ACQE是直角三角形，解

直角三角形求出C。，QE,再證明△CQE四△C。'G,推出△CQG'是直角三角形，證明NC=NG=NQ',

想方式求出NQ',K”即可解決問(wèn)題；

【試題解答】解：如圖，作DM//CE交CQ的耽誤線于M,作KHLCQ'于H,毗鄰GQ',作NRLCQ'

于R,Q'TLCN于T,作EW1CD于W.

/*

???四邊形ABC。，四邊形EFGC都是正方形，

；?BC=CD,CE=CG,NBCD=NECG=96°,

：.ZBCG+ZDCE=}^,

DM〃EC,

：.ZDCE+ZCDM=\SOQ,

:?/BCG=/CDM,

?:CPLBG,

???NCP8=NCPG=90°,

:?/BCP+NCBG=9a。,

?；NDCM+/BCP=90；

:?NCBG=/DCM,

：.ABCG與△CDM(SAS),

:?CG=DM,

:,DM=CE,

???ZM=/QCE,NDQM=NCQE,

：./\DQM^/^EQC(AAS),

：.DQ=QE,

\'EW±CD,NWCE=45°,EC=EF=正,

jin

???WC=EW=號(hào)，

\*CD=AB=V10,

：.WD=WE=WC,

：?NCED=90°,DE=EC=V5

VZCEF=90°,

???。，E,產(chǎn)共線，

：.CQ=CQ,=JEC?+QE2=*

???NC=NG,

J/NCG=/NGC,

???NNGC=NM=ZQCE,

：.ZQCE=ZGCQr,t：CQ=CQ,,CE=CG,

：.ACQE^/\CQfG(SAS),

：.ZCEQ=ZCGQr=90°,

???NGCQ'+NC。'G=90°,NNGC+NNGQ'=90°,

：.ZNGQ'=NNQ'G,

：.NG=NQ,=CN=%

?；NRtCG,

：.NR//CG,,:CN=NQ'，

：.RQf=RG,

：.NR=^CG=卓

■:S&NGQ，*NG?Q，T=^GQr?NR,

T=\,

設(shè)HK=a,則CH=2a,HN=1一2〃，

■:AKHNSACTN,

?空_HN

「Q，T.TN'

n——2d

.u4___

?*T=-3-，

J.一

4

._5

,,a~lT'

1,15525

AKNQ，="Q'N?KH=4-----------—.

:.S224ii88

6.（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）正方形A8C￡＞中，點(diǎn)E為C￡＞耽誤線上一點(diǎn)，毗鄰過(guò)點(diǎn)E作且

使EF=EB,毗鄰DF、再毗鄰BF交CA耽誤線于點(diǎn)M,交DA耽誤線于點(diǎn)N,若DN=8,FN=當(dāng)2則

【點(diǎn)睛】如圖，作FHLCQ交CO的耽誤線于H,FGLD4交D4的耽誤線于G于P,MKLCB

交C8的耽誤線于K,毗鄰EM設(shè)AC交8E于。.起首證明四邊形FHGD是正方形，設(shè)邊長(zhǎng)為x,在Rt

FGGN

△FGN中，操縱勾股定理求出x,設(shè)A￡>=A8=y,根據(jù)FG〃A8.可得二=二,構(gòu)建方程求出弘再證明

BC+EC=2PC,求出PC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題;

【試題解答】解：如圖，作"7_LC￡＞交。。的耽誤線于"，尸GJ_D4交D4的耽誤線于G于尸，MK

上CB交CB的耽誤線于K,毗鄰EM,設(shè)4。交8七于

%___________TH

AB'

VFE±EB,FHLCH,BCLCH,

工NFHE=NFEB=NBCE=9。。,

ZFHE+ZFEH=90°,ZFEH+ZBEC=90°,

:?NHFE=/BEC,

?；EF=EB,

：./\HFE^/\CEB(A45),

:?FH=EC,BC=EH,

?:CD=BC,

：.EH=CD,

:.DH=EC=FH,

:?FH=DH,

?：NG=NGDH=NH=90°,

???四邊形FHGO是矩形，

?：HF=HD,

：.四邊形FHGD是正方形，設(shè)FG=DG=x,則GN=x-8,

在RlZ\/GN中，F(xiàn)N2=FG2+GN2,

，(二一)2=x2+(x-8)2,解得x=學(xué)或一g(舍棄)

4

:.GN=*設(shè)AQ=AB=y,

,:FG〃AB,

.FGGN

AB~AN"

284

.?互.=_1,

y8-y

解得y=7,

,?NMBO=ZECO=45°,4B0M=/COE,

:?叢BOMs叢COE,

.BOOM

"CO~OE'

BOCO

：.—=—,*?ZBOC=NMOE,

OMOE

:?4B0CS4M0E,

：.NMEO=NBCO=45°,VZFEB=90°

:?/FEM=/BEM=45。,

:?FM=BM,EM上BF,

:?EM=BM,

,/NMCK=/MCP,MK±CK,MP±CP,

:?MK=MP,?:CM=CM、

：./\MPE沿AMKB(HL),△MCP0/\MCK(HL),

no

：.KB=EP,CK=EC=DH=FG=芋，

2849

:?BC+EC=CK-BK+CP+PE=2PC=1+手=-y,

49

~6-

"：CM=V2PC,

?.CM=

故答案為49一72

6

7.(2021?渝中區(qū)校級(jí)模擬)如圖，正方形A8CO中，對(duì)角線AC、BO訂交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是線段A。上一點(diǎn),

毗鄰CE,交8。于點(diǎn)E將△￡＞「(？繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得CQ與CB重合，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.毗鄰尸、

3V179/-

G,交BC于點(diǎn)、N,毗鄰AN,AN交MQ于點(diǎn)”.已知AB=3,ED=2,則△/7/N的周長(zhǎng)是—一三二+二，2+

1855

925—

【點(diǎn)睛】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，想方式求出￡”，N的坐標(biāo)，求出線段尸”，HN,EV即可解決問(wèn)題;

【試題解答】解：創(chuàng)立如圖坐標(biāo)系，則A(0,3),D(3,3),C(3,0),E(1,3)

設(shè)直線EC的解析式為尸H+-則有鼠，==3。

解得＜q",

l?=2

直線EC的解析式為產(chǎn)-

?..直線B力的解析式為y=x,

y-X

由39

y---X+-

22

99

(??,

作FM_LC￡)于M,GKLBC于K.

:NDCB=NFCD=90°,

ZFCM=ZGCK,

'：ZFMC^ZGKC=90°,

:ZCM沿4GCK(A45),

,:GK=FM=I，CK=CM=1,

66

:,GY),

5。

解析式為y=5x-萼,

直線FG的

36

：.N(—0)

25

二直線AN的解析式為y=-

36

y=xX=

37

由25+3，解得,

y=~i2x36

y37

3636

:?H(——,——)

3737

3B

：.FH=-185_,

昨居-鄢+鼾=觸，

HN=J（瑞一埠.+（羽）2=^V769,

3、179/-36/-----

?'.△FNH的周長(zhǎng)為----4--y2+7769.

1855925

,._j、,、，3A/179r-36/-----

故答案為為——4--V2+—V769-

JL。D口?乙J

8.（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形ABC。中，E點(diǎn)是線段AB上接近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，作/即/

=45°交邊BC于尸點(diǎn)，將沿邊D4翻折得到△D4E',毗鄰E'C,分別交D4、DE、。尸于G、M、

N三點(diǎn),毗鄰MF、EN.若MN=3五,則線段MF的長(zhǎng)度為J而

【點(diǎn)睛】作MKLC。于K.設(shè)AE=〃則8E=2a,A8=8C=C￡>=AD=3a.操縱平行線分線段成比例定理，求

出MN用a示意,構(gòu)建方程求出外再求出MK,FK,操縱勾股定理即可解決問(wèn)題.

【試題解答】解：作MKLCO于K.設(shè)AE=a,則BE=2a,AB=BC=CD=AD=3a.

?.?四邊形A8C7）是正方形,

：.AB//CD,AD//BC,NB=NAOC=90°,

?..將△力AE沿邊D4翻折得到△D4E',

：.AE'=AE=a,

：.BE'=4a,

：.CE'='Be?+BE'2=5a,

?:CD"AE,

?_C_D_____C_G__D__G_3

AEf~GEi~AG~"

0-1rr□n

/.CG=4x5a=a。，GE'=科AG=卒，DG=卒,

???CG=yJCD2^DG2=熱

u：CD//EEr,

.烏__3

?"EEr-ME，-2'

：.CM=3a,ME'=2a,

\'CF//DG,

3

CNCF2a2

工赤=茄=眨=3

4

???CN=|〃，

oo

MN=CM-CN=3a-|a=.=3位，

二“=2后

,:MK〃BE'，

.MK_CMCK3

BE'~CE<~CB~5'

.1224&“3618V2

??MK=-g-?=—g—,CK=5X3a=-g-,

：.FK=CK-CF=警.

FM=>JFK24-MK2=J+（挈）2=|V130.

故答案為|V130.

9.（2021?金堂縣校級(jí)模擬）如圖，在A4BC中，AB=BC=10,AC=12,BOLAC,垂足為點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A

作射線4E〃8C,點(diǎn)P是邊BC上隨意率性一點(diǎn)，毗鄰戶0并耽誤與射線AE訂交于點(diǎn)Q,設(shè)B,P兩點(diǎn)之間

的間隔為x,過(guò)點(diǎn)Q作直線BC的垂線，垂足為R.岑岑同學(xué)摸索后給出了下面五條結(jié)論，

①△AOB絲△C0&

②當(dāng)0<x<10時(shí)，△AOQg^COP；

③當(dāng)x=5時(shí)，四邊形A8PQ是平行四邊形；

④當(dāng)x=0或x=10時(shí)，都有△PQRsaCBO；

⑤當(dāng)x=甘時(shí)，&PQR與△C8O必然相似.

對(duì)的共有①②③⑤.

【點(diǎn)睛】根據(jù)相似三角形的判斷以及平行四邊形的判斷與性質(zhì)，以及全等三角形的判斷方式聯(lián)合圖形分別進(jìn)

行解析證明即可得出答案.

【試題解答】解:①???A8=BC=10,AC=12,BOLAC,

；.AO=CO,

'：BO=BO,

在ZkAOB和△CO8中，

AB=CB

AO=CO

BO=BO

.?.△4絲△COB(SSS)；

故此選項(xiàng)正確；

②?：AE〃BC、

：.ZAQO=ZCPO,

"：AO=CO,ZAOQ=ZCOP,

在△AOQ和△CO尸中

(/.AQO=/.CPO

"OQ=乙COP

UO=CO

:.△AOQ烏IXCOP(AAS)

：.當(dāng)0cx<10時(shí)，△A。。學(xué)△COP；

故此選項(xiàng)正確；

③當(dāng)x=5時(shí)，

：.BP=PC=5,

'：AQ-=PC,

：.AQ=PB=5,

,CAQ//BC,

，四邊形A8PQ是平行四邊形；

故此選項(xiàng)正確；

④如圖1,當(dāng)x=0時(shí)，P與8重合,

：.ZOBC=ZQPR,

又,；NBOC=NPRQ=90°,

：./\PQRs4BC0；

如圖2,當(dāng)x=10時(shí)，P與C重合，此時(shí)。與A重合,

A(Q)E

'：ZQPR=ZBPO,NQRP=NBOC=90：

:APQRs/\CBO、

當(dāng)x=0時(shí)，不相符；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

⑤如圖3,

若APQR與ZXCBO必然相似，

則/QPK=NBCO.

可得OP=OC=6,

過(guò)點(diǎn)O作OHLBC于H,

山射影定理得C*=CH，CB、

可求得CH=3.6,

故CP=7.2,所以8P=x=10-7.2=2.8

故當(dāng)x=昔時(shí)，4PQR與△C8O必然相似.

故此選項(xiàng)正確.

故對(duì)的有①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.

10.（2021?武侯區(qū)模擬）如圖1,有一張矩形紙片48CD,已知AB=10,710=12,現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操縱：現(xiàn)

將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在8c邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)尸在AO上（如圖2）；然后將紙片沿折

痕Z）H進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕BF上的點(diǎn)G處，點(diǎn)”在8c上（如圖3）,給出四

個(gè)結(jié)論：

BG2_.

①A尸的長(zhǎng)為10；②△BGH的周長(zhǎng)為18；③一=-；④G”的長(zhǎng)為5,

GF3

其中對(duì)的結(jié)論有①⑶⑷.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【點(diǎn)睛】過(guò)G點(diǎn)作交A。、BC于點(diǎn)M、N,可知四邊形A8E尸為正方形，可求得AF的長(zhǎng)，可

判斷①，且△BNG和為等腰三角形，設(shè)8N=x,則可示意出GMMG、MD,操縱折疊的性質(zhì)可

得到CD=DG,在RtAMDG中，操縱勾股定理可求得x,再操縱△MGZJs2XNHG,可求得NH、GH和

HC,則可求得BH,容易判斷②③④，可得出答案.

【試題解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作MN〃A8,分別交AQ、BC于前M、N,

?.?四邊形A8CZ）為矩形，

，A8=CO=1（）,BC=AD=\2,

由折疊可得AB=BE,且/人:/4》后二/臺(tái)上產(chǎn)二鄉(xiāng)。。，

四邊形A8EF為正方形，

：.AF=AB=\0,

故①正確；

:./\BNG和/\FMG為等腰直角三角形，且MN=A8=10,

設(shè)BN=x,則GN=AM=x,MG=MN-GN=\0-x,MD=AD-AM=\2-x,

又由折疊的可知OG=Z）C=10,

在RtAA/DG中，由勾股定理可得MD2+MG2^GD2,

即(12-x)2+(10-x)2=1()2,解得》=4,

:.GN=BN=4,MG=6,MD=8,

又NDGH=NC=NGMD=90；

.?./NGH+NMGO=NMGO+/MOG=90°,

二ANGH=NMDG,且NDMG=NGNH,

：./\MGDS4NHG.

MDMGDG,8_610

GN~NH~GH''4~NH~GH'

NH=3,GH=CH=5,

：.BH=BC-HC^12-5=7,

故④正確；

又△3NG和△FMG為等腰直角三角形，且BN=4,MG=6,

；.8G=4魚，GF=6版

LLBG4V22

.?.△8G尸的周長(zhǎng)=86+6”+8〃=4/+5+7=12+4&，一=—p=一,

GF6v23

故②不正確；③正確；

綜上可知對(duì)的為①③④，

故答案為：①③④.

11.如圖①，在矩形紙片ABC。中，AB=6cm,AD=10cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AQ上的E處,折痕為

MN,交BC邊于N,過(guò)點(diǎn)E作于F,毗鄰BF.

(1)求證：四邊形8FEM為菱形;

（2）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖②），求菱形的面積;

（3）當(dāng)點(diǎn)E在AO邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng)：若限定M、N分別在邊AB、BC上移

動(dòng)，求點(diǎn)E在AD±移動(dòng)的最大間隔.

【點(diǎn)睛】（1）由折疊的性質(zhì)得出MB=ME,BF=EF,NBMF=NEMF,由平行線的性質(zhì)得出

ZEFM,證出NEW=NEFM得出是以BM=BF=EF=EP,即可得出結(jié)論.

（2）由矩形的性質(zhì)得出BC^AD=IOCTO,CD=AB=6cm,ZA=ZD=90°,由對(duì)稱的性質(zhì)得出CE=

BC=5cm,在RtZ\C￡>￡中，由勾股定理求出￡>E=8cm,得出AE=A。-O￡=2c〃?；在RtZ\AME中，由勾股

定理得出方程，解方程得出即可.

（3）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A近來(lái)，由（1）知，此時(shí)AE=2c7”；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離

點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形A8NE為正方形，AE=AB^6cm,即可得出答案.

【試題解答】解：（1）證明：???折疊紙片使8點(diǎn)落在邊AQ上的E處，折痕為PQ,

.?.點(diǎn)8與點(diǎn)E關(guān)于尸。對(duì)稱，

:.PB=PE,BF=EF,ZBPF=ZEPF,

又,：EF//AB,

：.ZBPF=ZEFP,

；.NEPF=NEFP,

：.EP=EF,

：.BP=BF=EF=EP,

；.四邊形BFEP為菱形；

（2）???四邊形ABC。是矩形,

.?.BC=AD=10cm,CD=AB^6cm,/A=ND=90°,

?.?點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于MN對(duì)稱，

：?CE=BC=5cm,

在Rt/XCDE中，DE=y/CE2-CD2=8cm

.\AE=AD-DE=\Octn-8cm=2cm；

在RtAAME中，AE=2,AM=6-MB=6-ME,

C6-EM）2,

解得：EM=學(xué)CTW,

二菱形BFEM的邊長(zhǎng)為yc/n；

（3）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2:

圖2

點(diǎn)E離點(diǎn)、A近來(lái)，由①知，此時(shí)AE=2cm;

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3所示:

（M）

圖3

點(diǎn)E離點(diǎn)4最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABNE為正方形，AE=A3=6cw,

.?.點(diǎn)E在邊4力上移動(dòng)的最大間隔為4cm.

1y/2

12.正方形ABC。，CE~G如圖放置，A8=l,A尸、DE訂交于H,P為4B中點(diǎn)，則尸”的最大值_&+

D

【點(diǎn)睛】起首證明如圖1中，毗鄰8G,耽誤8G交OE于H'，毗鄰A”'，F(xiàn)H',BD,CH',

GE,CF.操縱四點(diǎn)共圓，證明點(diǎn)“與點(diǎn)是同一點(diǎn)即可