2021屆人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.在AABC中，已知|福|=4,|3@=1,SMBC=6，則麗的值為()

A.-2B.2C.±4D.±2

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

由|AB|=4,|而|=1,SMBC=G=|AB||AC|5ZM,

61

/.sinA=——，二cosA=±—,

22

故福?AT=|通，碼?cosA

=4xlx[±g)=±2,故選D.

考點：向量數(shù)量積的運算

2,若向量帚=(a-l,2),?=(4,b),且加J.Z，a>0,b>0,則logia+log,有

()

,1,1

A.最大值logyB.最小值log?2C.最大值一log、D.最小值0

5232

【答案】B

【解析】

由mJ_〃，即得4（。-1）+2/?=°，2a+/?=2,222y12ab，

:.ab<-（當且僅當a=Z?時，等號成立），而

2

log,a+loga：=log|a+log|b=log|a^^log,-=log,2,即log|“+log3：有最

5b333323b

小值Iog32,故選B.

3.如圖，在AABC中，點。是邊BC的中點，而=23力，則用向量通，配表示而

為（）

A

Dc

一2一1一一1——2——

A.BG=——AB+-ACB.BG;=——AB+-AC

3333

__2__1_____2—1—

C.BG=-AB——ACD.BG;=-AB+-AC

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意，得到AO=5（AB+AC）,AG^-AD,再由向量的加減運算，即可得

出結(jié)果.

【詳解】

因為點。是邊8C的中點，所以4方=；（4月+衣》

uum2uu?

又而=2⑶，所以AG=§A。，

因此而=而一而=4而一通通+/)一通=一衣一一AB.

33、,33

故選：A.

【點睛】

本題主要考查用基底表示向量，熟記平面向量基本定理即可，屬于常考題型.

4.如圖所示，若向量1、%是一組單位正交向量，則向量2〃+5在平面直角坐標系

中的坐標為()

A.(3,4)B.(2,4)

C.(3,4)或(4,3)D.(4,2)或(2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】

以向量［、1公共的起點為坐標原點，建立如圖坐標系.可得向量2汗=(2,1)且5=

(1,3),結(jié)合向量坐標的線性運算性質(zhì)，即可得到向量2。+5在平面直角坐標系中的

坐標.

【詳解】

以向量I、1公共的起點為坐標原點，建立如圖坐標系

'：et=(1,0),ez=(0,1)

：.2a=(2,1),得?；5=(1，3),

：.2a+b=(2，1)+(1,3)=(3,4)

即2d+5在平面直角坐標系中的坐標為（3,4）

故選A.

【點睛】

本題給出垂直的單位向量，求第三個向量在這組向量作為基底下的坐標，著重考查了平

面向量的正交分解及坐標表示的知識，屬于基礎題.

5.已知A、B是以原點O為圓心的單位圓上兩點，且|血|=1,則麗?應等于（）

C.D

2-4

【答案】B

【解析】

解：AB-04=1AB1-104lcosl20°=

6.已知￡出為單位向量，其夾角為60°,則（21萬州=（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】B

【解析】

試題分析：（2a—B）/=2a-2|?|^|cos60°-b=2x1x1x；-=0,故選B.

考點：向量的數(shù)量積.

7.已知平面向量。區(qū)0滿足：=—2,同=2,c=a+Ab,則實數(shù)2的值

為（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)題意有a-c=a+Aa-b=0,c=a+2Aa-b+A2b'=4,

b-c=b-（a+Ab）=b-a+Ab'=-2,整理得4（—2）=4,解得2=—2,故選B.

考點：向量的數(shù)量積.

8.已知向量￡,行滿足|￡|=3,歷|=2,|2￡+石|=2日，則￡與B的夾角為（）

n兀2萬n

A.-B.-C.----D.一

6433

【答案】D

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化|2。+加=2萬,為（2￡+楊2=4（￡）2+471+而,可得1.6=3,由

cos<H>=』2即得解.

⑷網(wǎng)

【詳解】

?.■②+昨2713(2a+b)2=4(a)2+4a-b+(b)2=52

又0）2=|a|2=9,（b）2=|&|2=4

:.a-b=3

-ra*b1

cos<a,b>=~——=—

\a\\b\2

-T71

「.<tz,b>=—

3

故選：D

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，模長和夾角運算，考查了學生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運

算的能力，屬于中檔題.

22

已知雙曲線。>力的左、右焦點分別為《、。為雙曲

9.C:￡=1（0>0）F2,

線c上的一點，若線段PK與y軸的交點M恰好是線段PE的中點，麗麗二b2,

其中，。為坐標原點，則雙曲線c的漸近線的方程是（）

A.y=±3xB.y=±2xC.y=±xD.y=±-x

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面向量的數(shù)量積可知|OM|=b,根據(jù)中點坐標公式得出尸點坐標，代入雙曲線

方程得出“、》的關系，即可得出漸近線方程.

【詳解】

?.?"是P6的中點，。是￡鳥的中點，???「心〃。加，|「周=2|Q0|,PFQFE，

麗?加=|阿H而可cos/OMf；=|礪『=從，被卜b,故點p的坐標為

(c,2Z?),

r2c2n24.h2h

將點P的坐標代入雙曲線C的方程得二一4=1,得二=5,即生?-=5,...一=2.

a~a~a~a

因此，雙曲線C的漸近線方程為丁=±2%.

故選：8.

【點睛】

本題考查了雙曲線漸近線方程的求解，考查了平面向量數(shù)量積定義的應用，解答的關鍵

就是得出。、b.c,的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.

10.已知a=(l,2),5=(3,4),(2+25)_L(AJ—5),則％=()

616111

A.---B.—C.一一D.-

272722

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知向量垂直得到數(shù)量積為0,從而求出2的值.

【詳解】

Va=（1,2）,5=（3,4）,

A5+2^=（7,10）,痛=3,2/1-4）

又（M+2B）J_（；l萬一b）

.?.（石+2b）.（；LM—5）=0,即7（4—3）+10（22—4）=0

d”

27

故選B

【點睛】

本題考查了平面向量的坐標運算，熟練掌握平面向量數(shù)量積運算法則是解本題的關鍵，

屬于基礎題.

H.已知。，萬是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量3滿足5-為＜5-1）=0,

則同的最大值是（）

A.1B.2C.JoD.匹

2

【答案】C

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：由于a力垂直，不妨設a=（1,0）?b=（0J），c=（x^y）f則a—c=（x-Ly），

^-c}^-c）=x2+/-x-y=0-口=序"表示（NM到原點（°，。）的距離，

/十^2一工一^=0表示圓心（;,;），點為半徑的圓，因此H的最大值及，故答

案為c.

考點：平面向量數(shù)量積的運算.

12.已知拋物線C:：/=4x的焦點為產(chǎn)，準線為/,P是/上一點，。是直線PE與C

的一個交點，若麗=25,貝!IIQF|=（）

A.8B.4C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

設點尸（―1"）、Q（x,y）,由麗=2萬,可計算出點。的橫坐標》的值，再利用拋物

線的定義可求出|。成

【詳解】

設點尸（一11）、Q（x,y），易知點尸（1,0）,麗=（一2,。，QF=（\-x,-y）,

.-.2（l-x）=-2,

解得x=2,因此，|Qq=x+l=3,故選D.

【點睛】

本題考查拋物線的定義，解題的關鍵在于利用向量共線求出相應點的坐標，考查計算能

力，屬于中等題.

二、填空題

13.已知向量”（cose,sin。），向量加=（后1）,則忸一司的最大值與最小值的和

為.

【答案】4

【解析】

試題分析：因為向量不=（cosasin。），向量在=（百,1）,所以

\2a-h\i=4a2+h2-4a-b

=4+4—4（Gcose+sin。）=8-8sin（6+。）,其最大值為16,所以忸一目的最大值為

4.

考點：本題主要考查平面向量的坐標運算，向量模的計算，向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的

性質(zhì).

點評：小綜合題，綜合考查平面向量的坐標運算，向量模的計算，向量的數(shù)量積，三角

函數(shù)的性質(zhì).涉及模的計算問題，一般要“化模為方

14.已知向量@=（2,-3）與向量5=（%-6）共線，則％=.

【答案】4

【解析】

【分析】

由向量共線的條件求解.

【詳解】

：共線，，2x（—6）—（―3x）=（）,x=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查向量共線的條件，屬于基礎題.

15.已知向量萬=（1,3x）,6=4,半，且鼠（5-勾＜0,則x的取值范圍為,

（寫成區(qū)間形式）

3

【答案】（-8,7）U（K+?>）

2

【解析】

【分析】

將必?-@<0展開，代入展5和邪的表達式，進而解不等式.

【詳解】

因為—G）<0,所以少.日_萬2<0,即（4+X）—（1+2/）<0,所以2犬_%_3>0,

所以x〉|或x<-l.故x的取值范圍為（-8,T）U（|,+8）.故填

【點睛】

考查向量的模，向量的數(shù)量積坐標形式的運算，基礎題.

16.如圖直角梯形A5CD中，AB=BC=2,CD=1,ABI/CD,ADLA8.點P

是直角梯形區(qū)域內(nèi)任意一點，PAPBW0.點P所在區(qū)域的面積是.

【答案】工+走

34

【解析】

【分析】

首先確定梯形的幾何特征，然后結(jié)合數(shù)量積的幾何意義確定點P的范圍，最后求解其面

積即可.

【詳解】

如圖所示，AABE中，AB=2,NAB￡=60°，NB4E=90°，C,。分別為邊AE,BE

的中點，則梯形ABCD即為滿足題意的圖形，

以A8為直徑的圓G及其內(nèi)部的點滿足用.而＜0,則圖中的陰影部分為滿足題意的

點尸所在區(qū)域.

其中ABFG為邊長為1的等邊三角形，其面積$='xlxlxsin60=走，

124

扇形AGF是半徑為1,圓心角為120。的扇形，其面積為S2=；X(%X12)=(,

綜上可得：點P所在區(qū)域的面積是，+工=工+走.

34

E

D

A

【點睛】

本題主要考查平面幾何知識，三角形面積公式，扇形面積公式等知識，意在考查學生的

轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

三、解答題

17.已知已B、C的坐標分別為/(4,0),B(0,4),C(3cosa,3sina)

（1）若ae（-乃,0）且國=國，求角夕的值；

/八丑人42sin2a+2sinacosa1告

（2）若AC8C=0,求-------------------的值.

1+tana

347

【答案】（1）a=-—,（2）—-

416

【解析】

試題分析：（1）利用點的坐標求出向量的坐標，根據(jù)向量模的平方等于向量的平方得到

三角函數(shù)的關系，據(jù)角的范圍求出角；（2）利用向量垂直的充要條件列出方程利用三角

函數(shù)的二倍角公式、切化弦公式化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的平方關系求出值.

試題解析：AC=（3cos<z-4,3sin<z）,8C=（3cosa,3sina-4）,

⑴由|狗=網(wǎng)，22

AC=BC,

即（3cosa-4y+9sin2a=9cos2a+（3sina-4『?sina=cosa,aw（一肛0）,

,3萬

???oc------.

4

⑵由衣.前=0,得3cosa（3cosa—4）+3sina（3sina—4）=（）,

37

解得sina+cosa=—,兩邊平方得2sinacos。=----,

416

2sin2a+sin2a2sin2a4-sin2a3.7

.-------------------=----------；---------=2sinacosa=-----

??1+tana】〔sma16-

cosa

18.在AO.45中，已知點尸為線段Z5上的一點，且畫=2牌>

（1）試用m7、■表示0A；

（2）若|匹卜3,|礪卜2,且=求心.萬的

B

P

值.

一1一2—4

【答案】（1）OP=-OA+-OB（2）—

333

【解析】

（1）因為點尸在且3上，且卜尸卜2?,所以刀=2而，

—————————1—2——

即。尸-。4=2（。3-。？），所以0P=〈QW+§03.

(2)OPAB={-OA+-Of)(OB-0A)

33

=-g涼+g南-；場方=-阿詞.網(wǎng)cos40

33333

考點：平面向量在幾何中的應用.

19.如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到的重力為G,兩繩受到的拉力分別

為Fi、F2,夾角為e.

（1）求其中一根繩子受的拉力IFil與G的關系式，用數(shù)學觀點分析|F||的大小與夾角0

的關系；

(2)求網(wǎng)的最小值;

(3)如果每根繩子的最大承受拉力為|G|,求0的取值范圍.

【答案】（1）略（2）0（3）0￡［0°,120°］

2

【解析】

(1)由力的平衡得FI+F2+G=0,設Fl,F2的合力為F,則F=-G,由FI+F2=F

G-LF||G|

且|F]|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos-=2、1=宗]

2百f2昌|

冏

?,?同=0,0ero°,180°],

2cos—

2

由于函數(shù)y=cos。在。任［0。，180。］上為減函數(shù),

冏

逐漸增大時,cos-逐漸減小，即-―0逐漸增大.

22cos-

2

二8增大時，|Fi|也增大.

(2)由(1)可知，當。=0。時，附|有最小值為國.

2

CS）由題意知，H<|FI|<|G|,0<1,即Lwcos，Wl.

222cos-22

由于y=cos。在［0。，180。］上為減函數(shù),

0

.*.0°<-<60°,/.ee[0°,120°J.

考點：向量在力的合成與分解中的應用.

20.已知向量M=(3,0)石=且1=應+-則/=

【答案】—§

【解析】

6

-5

由M=f5+乙得：小5=步n-6=5f=，=一(

點睛：平面向量有關運算

(1)向量平行：a!1b=>x^y2=x2yl,M//5,5HOn三4eR,G=,

—?—.—1—.2—.

區(qū)4=/LAC=O4=——OB+——OC

1+21+2

(2)向量垂直：M日=0。％%2+y%=0,

⑶向量加減乘:a+b={xx±尤2，,士%)，"=1R2，1石=|司?間cos(萬,5)

21.已知辦，b，|?|=|^|=1,且,+妙卜一序］,其中％)0.

(1)若￡與五的夾角為60。，求A的值；

⑵記/(%)=小5,是否存在實數(shù)上使得./?(女)21一伙對任意的，4―1,1］恒成立?若

存在，求出實數(shù)A的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)k=l;(2)Q<k<^~2.

3

【解析】

【分析