3.5.2 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題-(必修第一冊) (教師版)

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論．一般分為：對稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況．設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)分析：將f(x)配方，得頂點為(?b2a,當a>0時，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m,n]上f(x)的最值：(1)當?bfx的最小值是f?b2a=(2)當?b2a<m時，由f(x)在[m,n]上是增函數(shù)，則f(x)的最小值是f(m)(3)當?b2a>n時，由f(x)在[m,n]上是減函數(shù)，則f(x)的最大值是f(m)當a<0時，可類比得結(jié)論．【題型一】定軸動區(qū)間已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[?2,4]上的最大值是28．(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的表達式．【解析】(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5)，∴可設(shè)f(x)=ax(x－∴f(x)在區(qū)間[－2,4]上的最大值是由已知得14a=28，∴a=2，∴fx(2)由(1)得fx=2(討論對稱軸x=2.5與閉區(qū)間[t,t+1]的相對位置)①當t+1≤2.5時，即t≤1.5時，f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減，(對稱軸在區(qū)間右側(cè))此時f(x)的最小值gt②當t≥2.5時，f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增，(對稱軸在區(qū)間左側(cè))此時f(x)的最小值gt③當1.5<t<2.5時，函數(shù)y=f(x)在對稱軸處取得最小值(對稱軸在區(qū)間中間)此時，g(t)=f(2.5)=綜上所述，得g(t)的表達式為：g(t)=2t【點撥】①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②對于二次函數(shù)fx=2x?2.5[t,t+1]不確定，則按照對稱軸在區(qū)間的“左、中、右”分成三種情況進行討論.【題型二】動軸定區(qū)間求fx=x【解析】fx=x①當a<0時，如圖①可知，f(x)在[0,2]上遞增，∴fxmin=f②當0≤a≤2時，f(x)在[0,a]上遞減，在[a,2]上遞增，∴f而f0=?1,f2=3?4a，(此時最大值為(i)當0≤a<1時，fxmax=f(ii)當1≤a≤2時，fxmax=f③當a>2時，由圖④可知，f(x)在[0,2]上遞減，∴fxmin=f綜上所述，當a<0時，fxmin=?1當0≤a<1時，fxmin=?1?當1≤a≤2時，fxmin=?1?當a>2時，fxmin=3?4a【點撥】①題目中的函數(shù)fx=x2?2ax?1的對稱軸x=a是不確定的，定義域[0,2]是確定的，在求最小值時與“定軸動區(qū)間”的思考一樣分對稱軸x=a②在求最大值時，當0≤a≤2，還需要判斷x=0和x=2時誰離對稱軸更遠些，才能確定f(0)、f(2)哪個是最大值，則還有分類0≤a<1,1<a≤2;【題型三】逆向題型已知函數(shù)f(x)=ax2+(2a?1)x?3在區(qū)間[?32【解析】(1)若a=0則f(x)=?x?3,而f(x)在[?32,2]上的最大值(2)若a≠0,則f(x)=ax2+(2a?1)x?3則y=f(x)的最大值必定是f?(i)若f(?32)=1，解得而a<0,f(x0)ii若f2=1，解得a=而a=34>0,x0=?13(iii)若f(12a?1)=1當a=?3+222<0時，當a=?3?222<0時,x綜上所述a=34【點撥】本題沒有按照分對稱軸在定義域的“左、中、右”分離討論，否則計算量會很大，還要考慮開口方向呢.思路是最大值必定是f?32鞏固練習1(★★)已知函數(shù)fx(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?2,3)上的值域；(2)當a=?1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值；(3)求f(x)在[?5,5]上的最大值與最小值．【答案】(1)[1,17](2)(3)a>5時,最小值為27?10a，最大值為27+10a；0<a≤5時，最小值為2?a2，最大值為27+10a．a(chǎn)<?5時，最大值為27?10a，最小值為【解析】(1)當a=1時，fx函數(shù)在[－2,－1)上單調(diào)遞減，在(－1,3]上單調(diào)遞增，∴x=－1，fxmin=1，x=3∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[?2,3)上的值域是[1,17](2)當a=?1時，t<12，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值t≥12，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值(t?1)2+1,t<(3)∵函數(shù)fx=x①當?a<?5，即a>5時，函數(shù)y在[－5,5]上是增函數(shù)，當x=?5時，函數(shù)y取得最小值為27?10a；當x=5時，函數(shù)y取得最大值為27+10a．②當?5≤a<0，即0<a≤5時，當x=?a時，函數(shù)y取得最小值為2?a2；當x=5③當0≤－a≤5，即－5≤a≤0時，x=－a時，函數(shù)y取得最小值為2－a2；當x=－5時，函數(shù)y取得最大值為④當－a>5，即a<－5時，函數(shù)y在[－5,5]上是減函數(shù)，故當x=－5時，函數(shù)y取得最大值為27－10a；當x=5時，函數(shù)y取得最小值為27+10a．2(★★)已知函數(shù)f(x)=x2(1)若m=1，求f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在[?2,2]為單調(diào)函數(shù)，求m的值；(3)在區(qū)間[?1,2]上的最大值為4，求實數(shù)m的值．【答案】(1)最大值是16，最小值0(2)m≥2或m≤?2(3)m=?1或?【解析】(1)m=1時，f(x)=x∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)=16，最小值是f(－1)=0；(2)∵f(x)在[?∴區(qū)間[－2,2]在f(x)對稱軸x=－m的一邊，即－m≤－2，或－m≥2；∴m≥2或m≤－2；－(3)f(－1)，f(2)中必有一個最大值；若f(－1)=2－2m=4,m=－1；∴f(x)=x2－2x+1=若f(2)=5+4m=4，m=?1∴f(x)=x2?∴m=?1或?3(★★)已知函數(shù)f(x)=9x2?6ax+a2?10a?6在[?1【答案】b≤?1【解析】∵f若a3≥b時，f(x)在∴ymin=f(b)=9令u=g(Ⅰ)當3b+5≤3時，即b≤?23,則函數(shù)g(x)∴umin即9b2?18b?27≥0∵b≤?(Ⅱ)當3b+5>3即b>?若?30b?31≥0解得b≤?31(2)若?13<a解得a≤?3綜上述：b≤?1．4(★★★)已知函數(shù)fx=?x22+x在區(qū)間[【【解析】解法1：討論對稱軸x=1中1與m①若m<n解得m=?4,n=0②若m+n2≤1<n③若m≤1<m+n2，則④若1<m<n，則fx綜上，m=?4,n=0解析2：由fx=?12x?1又∵在[m,n]上當x增大時fx也增大所以解得m=?4,n=0挑戰(zhàn)學霸設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)fx=a1?(1)設(shè)t=1+x+1?x，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)，求m(t)(2)求g(a).【答案】(1)mt=1【解析】(1)∵t=1+x∴要使t有意義，必須1+x≥0且1?x≥0，即?1≤x≤1．∵