中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《幾何探究題》

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題——幾何探究型問題1.(2019?北京)在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有是點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱△ABC的一條中內(nèi)弧.為△ABC的中內(nèi)弧.例如，圖1中(1)如圖2Rt△ABCABAC22E分別是ABAC的中點(diǎn)，畫出的長；△ABC的最長的中內(nèi)弧，并直接寫出此時(shí)(2)A(02)B(00)(4t0)(>0)△ABC中，，E分別是AB，AC的中點(diǎn).1所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)的取值范圍；①若t，求△ABC的中內(nèi)弧2所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部②若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧或邊上，直接寫出t的取值范圍.2.(2019?天津)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)B在y軸的正半∠ABO=30°.矩形CODE的頂點(diǎn)EC分別在OAABOB=2.(Ⅰ)如圖①E的坐標(biāo)；(Ⅱ)將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形C′′′E′，點(diǎn)C，O，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為′，′，′，E′.設(shè)′=t，矩形′′DE′與△ABO重疊部分的面積為S.①如圖②C′′′E′與△ABO′E′E′′分別與AB相交于點(diǎn)，F(xiàn)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)3S≤53時(shí)，求t的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).3.(2019?陜西問題提出：(1)如圖1△ABCABCD為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)畫出這個(gè)平行四邊形；問題探究：(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離；問題解決：(3)如圖3AA形狀為平行四邊形的景區(qū)BCDE.BB到塔A的距離為50∠CBE=120°行四邊形景區(qū)BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請(qǐng)說明理由.(塔A的占地面積忽略不計(jì))4.(2019?海南1的正方形ABCDE是邊CDP是邊AD上一點(diǎn)與點(diǎn)A、D不重合，射線PE與BC的延長線交于點(diǎn).(1)求證：△PDE≌△QCE；(2)過點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連結(jié)AF，當(dāng)PBPQ時(shí)，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.5.(2019?江西在圖1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為邊向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，∠=__________°；(2)如圖2，連接AF.①填空：∠__________∠EAB填“>”“<”“=”)；②求證：點(diǎn)F在∠ABC的平分線上.(3)如圖3，連接EG，，并延長交BA的延長線于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形AEGH的值.6.(2019?寧夏)如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)M，Q分別是邊ABBC上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)M不與AB重合MQ⊥BCM作BC的平行線MN，交AC于點(diǎn)N，連接NQ，設(shè)BQ為.(1)試說明不論x為何值時(shí)，總有△QBM∽△ABC；(2)是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值.7.(2019?安徽如圖，△ABC中，∠ACB=90°，=BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB=∠=135°.(1)△∽△PBC；(2)求證：=2PC；(3)若點(diǎn)P到三角形的邊AB，，CA的距離分別為h，h，h，求證hh·h.1231238.(2019?重慶A卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE，EM⊥AEECD于點(diǎn)AF⊥BCFBH⊥AE，交AF于點(diǎn)N，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，連接CP.(1)若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面積.(2)若AEBN，=CE，求證：AD2CM+2.9.中，AD，5075P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段以每秒5個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)CQ從點(diǎn)C出發(fā)沿線段方向以每秒3Q向上作射線QK于點(diǎn)EP、QP與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒t0(1)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，求t的值，并指出此時(shí)的長；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，t為何值能使∥?(3)設(shè)射線掃過梯形的面積為SE運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；不必寫出t的取值范圍)10.A30，B332，D以每C02秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿向終點(diǎn)CE以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿向終點(diǎn)BE作EF交于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，；(3)設(shè)四邊形的面積為S，①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②若一拋物線yx經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)S23時(shí)，求m的取值范圍.2中，C，A，.長為的線段在的邊上沿方向以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合).過MN分別作的垂線交直角邊于P，Q兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.yytt(1)若的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍；(2)線段MNQPt的值；若不可能，說明理由；(3)t為何值時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？CQPAMNB12.中，20cm，P，Q，M，N分別從A、B、C、D出發(fā)沿方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止.已知在相同時(shí)間內(nèi)，若xx0，2x，3x，x.2⑴當(dāng)x(或的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形⑵當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；⑶以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如.PNADBCQM參考答案，.解析】(1)如圖2為直徑的半圓弧連接DE，△ABC的最長的中內(nèi)弧∵∠A=90°，ABAC22，，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，22121AC4=2，∴BC4，BCsinBsin4521∴弧2π=π.2(2)如圖3，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FPEG⊥AC交FP于G，121①當(dāng)t時(shí)，C(2，0)，∴(0，1)，E(1，1)，F(xiàn)(，1)，21設(shè)P()上方射線FP上均可，∴m≥1，2∵OA=，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵DE∥OC，∴∠AED∠ACO=45°，12作EG⊥AC交直線FP于，F(xiàn)GEF，根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方含點(diǎn)G直線FP上時(shí)也符合要求，1∴m，212綜上所述，m或≥1.②如圖4，設(shè)圓心P在AC上，∵P在中垂線上，32∴P為AE中點(diǎn)，作PM⊥于M，則PM，3∴Pt，，2∵DE∥BC，∴∠ADE∠AOB=90°，∴AE∵PD=PE，2212(2t)2t1，2∴∠AED∠PDE，∵∠AED∠DAE∠PDE∠ADP=90°，∴∠DAE∠ADP，12∴APPDPEAE，由三角形中內(nèi)弧定義知，PD≤PM，132∴AE，AE≤3，即t13，解得：t2，22∵>0，∴0<t2.2.【解析】(Ⅰ)∵點(diǎn)A(6，0)，∴OA=6，∵=2，∴AD=OA=6-2=4，∵四邊形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED∠ABO=30°，在△AED中，AE=2AD=8，ED∵=2，2282443，2∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，43).(Ⅱ)①由平移的性質(zhì)得：′′=2，E′′=43，ME′=′=，DE′∥OC′∥OB，∴∠E′FM∠ABO=30°，∴在△MFE′中，MF=2ME′=2t，F(xiàn)E′2'2(2t)2t3，212132tt3t∴S△′ME′·FE′，22∵S矩形′′′′·E′=2×4383，t2∴SS矩形′S△3，23∴S3，其中t的取值范圍是：0<t<2；2②當(dāng)S3時(shí)，如圖③所示：'AOAOO'=6-t，∵∠AO'F=90°，∠AFO'=∠ABO=30°，∴'F3'A3(6-t，1∴S(6-t)3(6-t)3，2解得：=62，或=62舍去，∴=62S=53④所示：'A=6-t，'A=6--2=4-t，∴'G3(6-t，'F3(4-t，1∴S[3(6-)3(4-)]×2=53，25解得：t，252∴當(dāng)3S≤53時(shí)，t的取值范圍為t≤62.3.【解析】(1)如圖記為點(diǎn)D所在的位置.(2)如圖，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中點(diǎn)，則OBAB.∴以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑作⊙，⊙O一定于AD相交于P，P兩點(diǎn)，12連接BP，PC，PO，∵∠BPC=90°，點(diǎn)P不能再矩形外，111∴△BPC的頂點(diǎn)P或P位置時(shí)，△BPC的面積最大，12作PE⊥BC，垂足為E，則OE=3，∴AP=BEOB-OE=5-3=2，由對(duì)稱性得AP=8.(3)BD，∵A為BCDE的對(duì)稱中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，的中點(diǎn)E接E′BED，作△BDE的外接圓⊙E在優(yōu)弧則E′BE′，且∠BE′=60°，∴△BE′D為正三角形.連接E′O并延長，經(jīng)過點(diǎn)A至C′，使EAAC′，連接′，′，∵E′A⊥BD，∴四邊形E′D為菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足為F，連接EO，則EF≤EOOAE′+OAE′A，1212∴S△·BDEF·BDE′A=S△，∴S≤S=2S△=100·sin60°=50003(m，平行四邊形平行四邊形所以符合要求的BCDE的最大面積為50003.4.【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠∠ECQ=90°，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=，又∵∠DEP∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.(2)①∵PBPQ，∴∠PBQ∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ∠=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PEQE，∵EF∥BQ，∴PFBF，∴在△中，AFPF=BF，∴∠APF=∠，∴∠=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四邊形AFEP是平行四邊形；②四邊形AFEP不是菱形，理由如下：設(shè)PD=，則AP=1-，由(1)可得△PDE≌△QCE，∴CQPD=，∴BQ=+=1+x，∵點(diǎn)EF分別是PQPB的中點(diǎn)，∴EF是△PBQ的中位線，121x∴EFBQ，21x由①知APEF，即1-x，21解得x，3123∴PD，AP，31在△PDE中，，213∴PEPD2DE2，6∴AP≠PE，∴四邊形AFEP不是菱形.5.【解析】(1)∵四邊形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF∠AEC∠AEF=60°，故答案為：60°.(2)①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，∵四邊形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠=60°，∴∠∠EAB，故答案為：=.②如圖，作FM⊥BC于，F(xiàn)N⊥BA交BA的延長線于N，則∠FNB∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN∠EFM，∵EFEA，∠=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴FE，F(xiàn)NA在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFMAAS)∴=FM，又FM⊥，F(xiàn)N⊥BA，∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上.(3)如圖，∵四邊形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠AGF=60°，∴∠FGE∠AGE=30°，∵四邊形AEGH為平行四邊形，∴GE∥AH，∴∠GAH=∠AGE=30°∠=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AHGE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴=AD，∴=GE，∵四邊形ABEH為平行四邊形，∠HAE∠EAB=30°，∴平行四邊形ABEN為菱形，∴ABANNE，∴GE=3AB，BC∴3.AB6.【解析】(1)∵M(jìn)Q⊥BC，∴∠MQB=90°，∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠，∴△QBM∽△ABC.(2)當(dāng)BQ時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形，∵M(jìn)N∥BQ，BQ=MN，∴四邊形BMNQ為平行四邊形.(3)∵∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC25，2∵△QBM∽△ABC，BMx∴，ABACBC34545解得，x，BM，33∵M(jìn)N∥，5MNAM3x3，∴，即BCAB5325解得，MN，91259433227453275322則四邊形BMNQ的面積+)xx，2457532∴當(dāng)x時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為.327.【解析】(1)∵∠ACB=90°，ABBC，∴∠ABC=45°=∠PBA∠PBC，又∠APB=135°，∴∠+∠PBA=45°，∴∠PBC∠，又∵∠APB=∠=135°，∴△∽△PBC.(2)∵△∽△，∴，在△ABC中，AB=AC，2，∴∴22，∴=2PC.(3)P作PD⊥BCPE⊥AC交BCAC于點(diǎn)E，∴PFh，PDh，PEh，123∵∠CPB∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠=90°，又∵∠ACB∠ACP∠PCD=90°，∴∠EAP=∠PCD，∴△AEP∽R(shí)t△CDP，32PEAP2，即2，∴DPPC∴h=2h，32∵△∽△PBC，hAB12∴，2∴h2h，21∴h2122223222hhhh.即：hhh.1238.【解析】(1)作CG⊥AD于G1所示：設(shè)PG=，則=4-，在△PGC中，GC=CPPG=17-x，在△中，GCCDGD=5-(4-=9+8x，∴17-=9+8xx，解得：=1，即PG=1，∴GC=4，∵DP=2AP=4，∴AD=6，116×4=12.∴S△ADCG22(2)連接NE，如圖2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠=∠AEB∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF∠EAF=∠MEC，NBFEAFBFNEFAAEBN在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF，∴BFAF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，F(xiàn)C=AFBF，∴∠ANE∠BCD=135°，ADBC=2AF，在△ANE和△ECM中，，ANEECM∴△ANE≌△ECM，∴CMNE，22又∵NFNEMC，222∴AFMCEC，2∴AD2MC+2.9.【解析】⑴ts時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C，5此時(shí)，353，所以的長為.⑵如圖1AD,由tt得tt，解得t，8經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)t時(shí)，有.8⑶①當(dāng)點(diǎn)E在2A、D作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，則四邊形ADHF為矩形，且≌△，從而∴.又t，從而tanCtt注：用相似三角形求解亦可)CH1∴SS△QCEt.22②當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，由①知40，又QCt，從而t1∴SS梯形QCDEt600.210.【解析】(1)過點(diǎn)B作x軸于點(diǎn)M∵C02B332，∴，∴，3∵223，∴30.3(2)∵，∴，在直角三角形中，2t，∴32t，24t∵AB4，∴4t，∴，357242t∴32t33，∴t.3(3)①解法一：過點(diǎn)E作x軸于點(diǎn)G，則t，3t，∴E3tt，∴x軸，12112t32t3.SS△DEFS△DEACD224t24tt1解法二：∵，∴CF33，333∴SS梯形OABCS△ODAS△BFES△CDF33343t2t4t142t2t3，266②當(dāng)S23時(shí)，t323，36∴t1t00t13m.【解析】⑴當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，∵t，∴tg60t.132∴ytt0≤t≤1.t223當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，304t.312332334