2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第12講 向量的坐標(biāo)表示（講義）教師版

第12講向量的坐標(biāo)表示

運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論

（D平面向量基本定理：如果，，公是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這個(gè)平面

內(nèi)任一向量z,有且只有一對實(shí)數(shù)4，4，使4=40+402，稱4勺+402為的線

性組合.）

（2）兩個(gè)向量平行的充要條件

—>—>—>—>—>—>

符號語言：a//b<^>a=2b(bw0)

坐標(biāo)語言為:設(shè)非零向量4=（再,乂）在=（孫％），則a"b＜=＞（xi,yi）=A（x2,y2）,或

xiy2-x2yi=0.

（3）兩個(gè)向量垂直的充要條件

—>—>—>—>

符號語言：a±b<=>a-b^O

坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量0=（與，＞1）,6=（%2，%），則a人o再%2+%力=。

（4）兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：

①W=|?|2即|力=廳（求線段的長度）;

=\/（尤2—XT+（必一必/

②a1b<=>a-b=0(垂直的判斷);

③cos0=.?.?（求角度）.

卜嗣

cose-*--

。與坂的夾角為銳角等價(jià)于5々+%%＞（）且％力*wy

。與坂的夾角為鈍角等價(jià)于XW+X為＜（）且無1%

例題解析

1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

思考1已知兩個(gè)非零向量a=（汨，/）,b=（x2,㈤，怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a?b?

答'：a—xd-\-y\j,b=X2i+y2J,：.a-b=（xii+y1j）?（x-i+y-zj）=x\X2i'+x\y2i?J+xzyJ'i

+y\yij-

又i?7=1,j'J—1,i?j=j.7=0,a?b=xiX2+yiy2.

思考2若a=（xi,力），6=（%,⑸，則a?6=為及+%角，這就是平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)

表示.你能用文字描述這一結(jié)論嗎？

答兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

例1.（2021?浙江高一期末）若向量3=（2,3）,i=（-l,2）,則￡出=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】已知向量1=（2,3）,力=（一1,2）,則7B=2X（T）+3X2=4.

故選：D.

例2.（2021?遼寧沈陽市?高一期末）已知向量）=（1,2）,B=（—6,左），若二〃力，則

k=（）

A.-12B.12C.3D.-3

【答案】A

【分析】直接根據(jù)向量平行列式計(jì)算即可.

【詳解】由題意，因?yàn)?=（1,2）,加=（-6,左），且;〃力，

所以lxk=2x（-6）,即攵=一12.

故選：A.

例3.（2019?福建省福州格致中學(xué)高一期末）已知向量Z=（；l+2,；l）,B=（九1）,若

alb＞則實(shí)數(shù)X的值為（）

A.0或3B.-3或0C.3D.-3

【答案】B

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示可得選項(xiàng).

【詳解】解析：,向量a=(/l+2,4),b=(A,l),a±b>

a'b=(2+2,2)?(2,1)=Z(A+2)+A—A2+3A=0.解得4=0或4=—3.

故選：B.

，一一-uiui

例4.已知向量加=(41),〃=(/1+1,2),若(根+〃)_L(〃?—〃)，貝()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求參數(shù)2的值.

【詳解】玩+”=(24+1,3),慶一”=(一1,一1),

,.,(ZH+H)±(m-n),

.?.一(2/1+1)-3=0,解得：丸=一2.

故選：D

例5.(2019?全國高一專題練習(xí))在比1中，通=(2,4),AC=(1,3),則麗

A.(3,7)B.(3,5)C.(1,1)D.(1,-1)

【答案】C

【詳解】

CB^CA+AB^AB-AC^⑵4)-(1,3)=(1,1).

故選：C.

例6.已知向量值=(一5,6)石=(6,5),則1與5()

A.垂直B.不垂直也不平行

C.平行且同向D.平行且反向

【答案】A

【分析】利用G/=0,則1_15,即可求得答案.

【詳解】???G-5=6xl0—(—5)x(—12)=0

：.aA-b

故選:A.

考點(diǎn)：平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

例7.(2020?武漢外國語學(xué)校高一期中)已知向量8=(3,-2),且

(a-b^Lb,則實(shí)數(shù)加=()

A.-8B.-6C.-5D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積、減法的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解

即可.

【詳解】因?yàn)椤?(1,m)，b—(3,—2),所以a—1=(―2,zn+2),

又因?yàn)?

所以=(-2,m+2)-(3,-2)=O=>—2x3-2(m+2)=0=>m=—5,

故選:c

例8.(2021?天津南開中學(xué)高一月考)已知向量1=(一1,2),砥=(2,1),若向量

a-\ex+A2e2,(AJ,A2<0),則￡可能是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)線性運(yùn)算及參數(shù)范圍，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.

【詳解】由+402,(4,4<。)，q=(—1,2),02=(2,1)得

￡=(—4+24,24+4),因?yàn)?，%<0,所以24+4<o,只有D成立；

故選：D

例9.(2021?恩施市第一中學(xué)高一月考)已知點(diǎn)〃是AABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足

BD=-^BC,則而=()

A.-AB--ACB.-AB+-ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

22222222

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加法、減法法則運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】解：由題意：。為AA6c所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，

...BD=--BC,所以①=』無

22

所以標(biāo)=/+麗=*+3而=而+±(荏一/)=三演一三彩

22、>22

故選：。.

例10.(2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考)汗=(1,-2),B=(2,1),滿足

與向量4+萬平行的一個(gè)向量是()

A.(2,-4)B.(4,2)C.(-1,-3)D.(6,-2)

【答案】D

【分析】求出3+石，然后由向量共線判斷.

【詳解】由已知Z+1=(3,—1),

3-13-13-13-1

由于士工一，.只有D滿足題意.

2-442-1-36-2

故選:D.

例11.(2021?浙江高一期末)在四邊形ABCQ中，AB+CD=6f設(shè)M為線段8C的

中點(diǎn)，N為線段A5上靠近A的三等分點(diǎn)，A8=Q，AD=b，則向量NM=()

A.-a-bB.-a+-b

3+232

1-12-1r

C.-a--brD.—a——b

3232

【答案】B

【分析】作出圖形，將畫7用￡、坂的友達(dá)式加以表示，再利用平面向量的減法法則可得

結(jié)果

【詳解】如下圖所示:

DC

ANB

在平面四邊形A5CO中，由已知條件可得而=-函=反，

所以，平面四邊形A8CD為平行四邊形，可得配=而，

?.?M為BC的中點(diǎn)，則府=4月=￡+,

2

QN為線段A3上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則麗=g麗=；￡,

__________]_]_2_]_

因此，NM=AM-AN=a+—b——a=—a+—b.

2332

故選：B.

例12.(2021?臨澧縣第一中學(xué)高一月考)設(shè)向量

a=(x,l),B=(l,y),c=(2,-4),且a_Lc,B//c,則x+N=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)的垂直關(guān)系，可求出x=2；根據(jù)坂//"的平行關(guān)系，可求出

y=-2,進(jìn)而求出x+y的值.

【詳解】因?yàn)樗?x—4=0

因?yàn)?//工，所以-4-2〉=。

[x=2

所以《一，所以x+y=0

〔》=-2

故選：A.

例13.(2021?遼寧遼陽市?高一期末)已知45,—7),8(3,-1),且C與/關(guān)于點(diǎn)8對

稱，則。的坐標(biāo)為.

【答案】(1,5)

【分析】設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y),由麗=前，列方程求解即可.

【詳解】設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)?。與/f關(guān)于點(diǎn)5對稱，所以荏=比.

因?yàn)锳B=(—2,6)，BC=(x-3,y+1)，

x—3=-2,X=1,

所以《,,解得《

y+l=6,)=5.

故答案為：(1,5).

例14.(2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考)已知方=(2,3),萬=(-2,4),

向量萬在5上的投影向量

48

【答案】

555

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算出向量M在5上的投影，然后由投影數(shù)乘向量5方向的單

位向量.

u-b—4+1245/5i_ir-

【詳解】由題意向量M在句上的投影為下[=](_2)2+4不='|"|=24，

4A/S1_2

向量M在8上的投影向量為空2,4)=

52V55Il}

故答案為:

例15.(2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考)已知2=(-3,4),則與向量￡垂直的

單位向量"=

43

【答案】

555

【分析】設(shè)所求單位向量為e=(x,y),根據(jù)己知條件可得出關(guān)于x、y的方程組，解出這

兩個(gè)未知數(shù)的值，由此可得出結(jié)果.

4

a-e=-3x+4y=0x=—

【詳解】設(shè)所求單位向量為"=(x,y),則，解得‘

\,e\,=>Jx2--+--y-2=1

4

x=——

5

因此，向量］垂直的單位向量為"或工=

故答案為:(月43)(或43、.

例16.(2021?臨澧縣第一中學(xué)高一月考)已知平面向量M=(2,3)石=(x,4),若

al(a-b),則》=.

【答案】—

2

【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】?：a=(2,3),b=(x,4))

T—>

a—b—(2一x,一1)，

?：al.(a-b),

a,(a—/?)-2x(2—x)+3x(—1)——01

解得x——,

2

故答案為：—

2

例17.(2021?湖北襄陽市?高一月考)已知向量〃=(2,—1),5=(—3,加)，若〃〃B，

則國+25|=.

【答案】2至

【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示求出陽，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出模長.

3

【詳解】因?yàn)橐齾^(qū)，所以2加一3=0,解得機(jī)=/,

所以B=-3,g),所以］+2b=(—4,2),

所以|M+〃|=J(T)2+22=2后.

故答案為：2亞

例18.（2021?湖南高一月考）已知向量。=（3,1）,欠=5,a-[a+b^=15.

（1）求向量Z與B夾角的正切值；

（2）若（腦一耳“￡+24求X的值.

【答案】（1）3；（2）—.

4

【分析】（1）根據(jù)己知條件可得cos。，然后根據(jù)。范圍可知sin。，最后可一知tan。

（2）依據(jù)（刀詞?伍+2）=0直接計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)椤?（3,1）,所以同=疹于=M-

設(shè)向量￡與]的夾角°,則如,（4+石）=02+4出=忖+|a||^|COS

=10+5屈c(diǎn)os6=15,解得cos6=?.

10

乂所以sin￡=Jl—cos21=±何,故tan6=2^=3.

L」10cos（9

（2）因?yàn)椋?1。一可J_（a+23）,所以

（2a-/?）-（Q+2〃）=zlQ"+（2丸―1）〃?5一2石2=0,

即10X+5（2；l—1）—50=0,解得彳=?.

例19.（2021?浙江高一期末）已知向量G=（3,2）,5=（2,-1）.

（1）若萬+防與%+5平行，求女的值；

（2）若一日與M+垂直，求;I的值.

【答案】（1）A=±l（2）2=-1±>/2

【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果；

（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?=（3,2）,5=（2,-1）,

所以％+%6=(3+2左,2—女)，ka+h^(3k+2,2k-i),

因?yàn)?+歷與%+5平行，所以(3+2&)(2。-1)一(2—&)(3左+2)=0,即為=1，

所以化=±1.

(2)因?yàn)橄蛄吭?(3,2),日=(2,-1),

所以義1一5=(34-2,24+1),a+Ab=(3+24,2-4),

因?yàn)?1一5與a+Ab垂直,所以(34—2,24+1)?(3+24,2—4)=0,

所以(34-2)(3+2/1)+(2/1+1)(2-團(tuán)=0,解得1=—i±0.

例20.(2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考)平面內(nèi)給定三個(gè)向量。=(1,2),

5=c=(3,3),

(1)若以｛〃，可為基底，用該基底表示向量小

(2)若(a+女c)//1.a),求實(shí)數(shù)女；

(3)若(a+Zc)J_(a+2“，求實(shí)數(shù)k.

【答案】(1)c=2a-bJ(2)k,=—1；(3)k=—.

9

【分析】(1)設(shè)乙=x^+yB,進(jìn)而根據(jù)向量相等，利用向量數(shù)乘運(yùn)算，加法運(yùn)算的坐標(biāo)

公式計(jì)算即可；

(2)由向量坐標(biāo)運(yùn)算得W+￡=(1+3A,2+3Z)，君―W=(—2,—1)，再根據(jù)向量共線坐

標(biāo)表示計(jì)算即可；

—>—>

(3)由向量坐標(biāo)運(yùn)算得“+2。=(-1,4)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可得答案.

【詳解】⑴設(shè)”篇+防;所以有(3,3)=x(l,2)+y(T,l),

x-y=3x=2

所以W=2。

2x+y=3b=-l

?—>■—>—>—>

(2)因?yàn)閍+Ac=(l+3A,2+3A)，b-a

因?yàn)閍c)//(0—aJ,所以：—(1+3%)—(2+3Z)x(—2)=0,

解得左=—l.

⑶因?yàn)閃+2力=(—1,4)，:+/：=(1+3上,2+3女)，(。+丘，［。+24,

所以［a+Zc)(a+2b)=0,即：一(1+3左)+4x(2+3%)=0,

7

解得：k=—不

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)a=(玉,y)/=(工2，%),

貝必//〃=不必一入2>1=0'4-L/?=%&+%%二0

例21.已知a與，同向，6=(1,2),a?6=10.

(1)求a的坐標(biāo)；

(2)若c=(2,—1),求a(b?c)及(a?6)c.

【難度】★

【解答】(1)設(shè)a=b=(久，2八)(4>0),則有a?b=久+44=10,4=2,.'.a=(2,4).

(2)???6?C=1X2-2X1=0,a?6=1><2+2X4=10,

?c)=0a=0,(a<6)c=10(2,—1)=(20,—10).

【點(diǎn)評】兩個(gè)向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，這和前面三種運(yùn)算性質(zhì)不同.同時(shí)本例進(jìn)一步驗(yàn)證了平

面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.

例22.已知a=(1,2),b=(l,月)，分別確定實(shí)數(shù)力的取值范圍，使得：(Da與6的夾角

為直角；(2)a與，的夾角為鈍角；(3)a與力的夾角為銳角.

【難度】★★

【解答】設(shè)a與6的夾角為，，則a?Q(L2)?(l,4)=1+2L

(1)因?yàn)閍與b的夾角為直角，所以cos4=0,所以a?b=0,所以1+2久=0,所以久=

~2,

(2)因?yàn)閍與8的夾角為鈍角，所以cos且cos夕W—1,所以a?灰0且a與6不反

向.

由a?沃0得1+24<0,故才<一去由a與8共線得4=2,故a與6不可能反向.

所以4的取值范圍為(-8,-|j.

(3)因?yàn)閍與6的夾角為銳角，所以cos，＞0,且cos份W1,所以a??()且a,6不同向.

由a?力0,得力＞一；‘由a與b同向得幾=2.所以4的取值范圍為卜g,2)U(2,+8).

a?b

【點(diǎn)評】由于兩個(gè)非零向量a,b的夾角。滿足0°W"W180。，所以用cos夕=國而來

判斷，可將。分五種情況：cos"=1,夕=0°；cos夕=0,0=90°；cos0=—\t0

=180°；cos〃<0且cos—1,。為鈍角；cos。>0且cos〃為銳角.

例23.已知在△/阿中，4(2,一1)、8(3,2)、C(-3,-1),4?為比1邊上的高，求|初與點(diǎn)

。的坐標(biāo).

【難度】★★

【解答】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(小y),則詬=(*-2,y+1),瓦：=(一6,-3),防=(x-3,y-

2),

???〃在直線和上，即訪與反共線，.?.存在實(shí)數(shù)，，使防=才擊

[x_3=-64，

即(x—3,y-2)=4(—6?—3)..二，，/.x—3=22),B|Jx—2y+1=0.

[y2=-34.

①

又,：ADLBC,,而?比=0,即(x-2,y+1)?(—6,-3)=0,A-6(x-2)-3(7+1)=0.

即2*+y-3=0.②

由①②可得，二’即〃點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),^=(-1,2).；.&=、T旺丁二小,

即茄|=小，7)(1,1).

【點(diǎn)評】在幾何中利用垂直及模來求解點(diǎn)的題型是一種常見題型，其處理方法：設(shè)出點(diǎn)的坐

標(biāo)，利用垂直及模長列出方程組進(jìn)行求解.

例24.已知a=(cosa,sino'),b—(cosB,sin￡)(0〈a〈￡〈n).

(1)求證：a+6與a—6互相垂直；

(2)若布+力與a一幼的模相等，求￡一%(其中〃為非零實(shí)數(shù))

【難度】★★

【解答】(1)證明：(a+A)?(a—6)=￡—8=a—|b\2=(cos"a+sin-a)—(cos2P+

sin2B)=0,

：.a+b與a—6互相垂直.

(2)解ka+b=(Acosa+cosB,Asina+sin￡),a—kb=(cosa—AcosB,sin

a—Asin￡),

ka+b\=7必+2kcos￡—a+T,|a—kb=[1-24cos￡—a+/(.

ka+b=Ia-kb\,.*.2Acos(￡—。)=-2Acos(￡—〃)?又4#0,；?cos(￡—a)=0.

JT

???()<冗，???(K￡-q<n,：.0-a=—.

例25.在A48C中，~AB=(2,3),JC=(1,心，若A48C是直角三角形，求女的值.

【難度】★★

【解答】?.,荔=(2,3),元'=(1,幻，：.前=應(yīng)一誦=(-1,4一3).

若N4=90°,則葩?應(yīng)'=2X1+3X4=0,

若/6=90°,則葩?詼=2X(—1)+3(左一3)=0,，A=?；

若/C=90°,則尼?詼=1X(-1)+內(nèi)左-3)=0,，仁、士嚴(yán).

故所求女的值為一鼻或k或—彳-.

OO乙

【鞏固訓(xùn)練】

1.若a—⑵3),b=(―1,—2),c—(2,1),則(a?6)?c—；a?(b?c)—

【難度】★

【答案】(-16,-8)(-8,-12)

【解析】Va-6=2X(-1)+3X(-2)=-8,/.(a?A)?c=-8X(2,1)=(-16,-8).

'：b?c=(~l)X2+(-2)Xl=-4,Aa?(Z>?c)=(2,3)X(-4)=(-8,-12).

2.已知a=(l,-1),Z>=(A,1),若a與6的夾角。為鈍角，求兒的取值范圍.

【難度】★★

【解答】Va=(l,-1),6=(4,1),a\=鏡,引=、1+4',a?b=A—1.

r4-l<0,A<1,

Va,b的夾角。為鈍角.?VB|J-I.4〈1且4

'?[*護(hù)**1一人?4?一+2久+1#0.

士一1.

4的取值范圍是(一8,-1)U(-1,1).

3.以原點(diǎn)和加5,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角△。區(qū)N8=90°,求點(diǎn)方和劉的坐標(biāo).

【難度】★★

[解答】設(shè)B(x,y),則|OB\=\/*+產(chǎn),?/B{x,y),A(5,2),AB\=，~x-5~彳~y—1

又；|福=|而，：.y]x-52+y-22=yjx-+y.可得10x+4y=29,①

又OB=(x,y),AB—(x—5,y—2),且如J_48,/.OB*Aff—0,x(x—5)+y(y—2)=0,

即V-5x+4-2尸0,②

(7

pl=?X2=~,

由①②解得〈一或4

3

=(~l-I)

4.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=zz?a+/>(?eR),且c與a的夾角等于c與6的夾角,

貝！Im=.

【難度】★★

【答案】2

【解析】因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(4,2),所以c=/z?a+6=(0+4,2加+2),所以a?c=m+4

+2(2/+2)=5/8,b'c=4(/z/+4)+2(2w+2)=8^+20.

a?cb?c??a,cb,c.5勿+8

因?yàn)閏與a的夾角等于c與6的夾角，所以'"所以

a\|c\|b\Ic\

索’解得R=&

5.設(shè)8,員為單位向量，非零向量b=xei+ya,x,y￡R,若8,包的夾角為小，則

b

最大值等于—

【難度】★★

【答案】2

2

【解析】V=(xei+ye)=xdl+yd+2xye\?e>=x+y+2xy?cos—=y+y+y[3xyf

⑺i+：小「、中=1—+。k+1-小-----q--=7R一+陰4+[即一b千的最大值是2.

6.在平面直角坐標(biāo)系了0中，點(diǎn)力(-1,—2),6(2,3),<7(-2,-1).

(1)求以線段4。為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

⑵設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(而一力應(yīng))?旗=0,求f的值.

【難度】★★

【解答】(1)解法一：由題設(shè)知誦=(3,5),應(yīng)、=(一1,1),則花+應(yīng)'=(2,6),罰一元'=

(4,4).

所以|葩+而=2小5，葩一花=六也?故所求的兩條對角線的長分別為外也，245.

解法二：設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為〃，兩條對角線的交點(diǎn)為反則￡為線段式的中

點(diǎn)，得E(0,1).又￡(0,1)為線段4〃的中點(diǎn)，［(一1,-2),所以〃(1,4).

故所求的兩條對角線的長分別為BC=4p止2限.

(2)由題設(shè)知：OC—(—2,—1),AB-tOC—(3+21,5+t).

由(AB—tOC),OC—0,得：(3+21,5+t),(—2,—1)=0,從而5t=-11,所以t=一4.

□

或者：AB-OC^tOC",葩=(3,5),t=也反=——.

0C\25

2、平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

需要熟練掌握向量數(shù)量積四種常見方法：

①向量的分解工定義）_：乘法的運(yùn)算，經(jīng)常無法直接運(yùn)算，需要我們要善于利用向量的加減

法，將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角己知的向量進(jìn)行計(jì)算.（通常選好基向量很重要）

②坐標(biāo)法：建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解?

③數(shù)量積幾何意義：（常應(yīng)用于兩個(gè)向量相乘有已知一個(gè)向量長度）

ACBD=BEBD

④極化恒等式：是特殊的向量的分解（將向量分解為對角線上的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用于知道對角

線的長度的兩個(gè)向量數(shù)量積）

其中〃為6c的中點(diǎn)，也可以理解為對角線的交點(diǎn)

證明：

方法一：AB-AC=(^+DB)-C4D+7JC)=(AD+DB)-(AD-DB)=AD2-BD2

方法二：

7B-AC=-CAB+AC)2一(茄一元＞]=42茄＞-C2BD)2]=可一]麗-

例1.如圖，BC、場是半徑為1的圓0的兩條直徑，臍=2應(yīng)則而?應(yīng)等于（)

BfC

E

【難度】★

【答案】B

【解析】方法一：（向量的分解）???加=2而圓。的半徑為1,二|南1=（

：.Fb-FE=（,FO+db）?（而+南=南+的?（0E+ob）+ob-0E=（1）2+o-1=-f.

oy

1o

方法二：（極化恒等式）而?走國『一|次2=依）2—「=-g.

方法三：（特殊法）當(dāng)弦DE就為BC時(shí).

例2.已知點(diǎn)G是的重心，若/4=120°,誦?四一2,則|花|的最小值是.

【難度】★★

2

【答案】鼻

【解析】（向量的分解）在中，延長4。交比1于〃，：點(diǎn)。是△｛和的重心，是

6c邊上的中線，KAG=-zAD,"：~AB*~AC=\AEl\X\AC\Xcos1200=—2,|荔|X|福=4,

o

r2ftttt|rrrrrt

:花=W茄,2AD^7B+AC,.?.花=w（誦+就），.,.亦=*（葩+而了=g［希+2葩?花+彩］

3oJy

1AA99

⑵為X|葩+2X（—2）］=d，.,.而花X，二|宓的最小值是金.

?JljO

例3已知正方形四切的邊長為1,點(diǎn)￡是48邊上的動(dòng)點(diǎn)，則應(yīng)■?功的值為；DE'DC

的最大值為.

【難度】★★

【答案】11

【解析】方法一：（坐標(biāo)法）以射線48,/〃為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

(O)EB八

則4(0,0),8(1,0),(7(1,1),。(0,1),則￡"0),00,1],則應(yīng)=(如-1),CB=(O,

-1),所以應(yīng)??應(yīng)=(t,-1)?(0,-1)=1.因?yàn)閼?yīng)1=(1,0),所以龐?應(yīng)'=(3-1)?(1,0)

故場?應(yīng)的最大值為1.

方法二：（數(shù)量積幾何意義）由圖知,

OI----

□I----

無論￡點(diǎn)在哪個(gè)位置，%在渤?向上的投影都是以=1,

：.'DE'CB^\CB\?1=1,

當(dāng)后運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在正方向上的投影最大即為"'=1,二（龐?應(yīng)）儂=|加|?1=1.

例4.在△47C中，如圖，若|葩+應(yīng)、|=|誦一而，AS=2,4C=1,E,戶為a1邊的三等分點(diǎn),

則左?蘇等于（）

8

-C25-26-

9B.9D.9

【解析】方法一：（向量的分解）若AB+AC\=\AB-AC\,則用+"+2/出?布+北

一2花?花即有花?位=0.瓦/為8。邊的三等分點(diǎn)，則赤?蘇'=（應(yīng)斗函?（而+而）=

（亞+；司?（礪+；可=《北+,可?（/石+,珂=,而+,超+'而*（1+4）+0=

#.故選B.

方法二：（極化恒等式）知而花=。，取用的中點(diǎn)為G,故通?正花—眉寸一夫吊

例5.如圖，已知△/玄中，ZBAC=90°,N6=30°,點(diǎn)/在線段8c上運(yùn)動(dòng)，且滿足餐

ACB,當(dāng)才?瓦取到最小值時(shí)，乂的值為（）

1111

--C--

A.[4B.56D.8

閨

[

打

難★

]★

答][

【解析】（坐標(biāo)法）如圖所示,

建立平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)式三4,P{x,0）（0WxW4）,

則/f（3,?。?以4,0）,

1

-

'.PA?PC=(3—x,/),(4—x,0)=(3—x)(4—x)=V—7x+12=X-4

7f1r1r

當(dāng)x=5時(shí)，1CP\=~,：.CP=~CB,x=~

乙Zoo

例6.線段A8的長度為2,點(diǎn)A、3分別在x非負(fù)半軸和y非負(fù)半軸上滑動(dòng)，以線段為

一邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD（順時(shí)針排序），5c=1,設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則歷?歷

的取值范圍是.

【難度】★★★

【答案】[1,3]

【解析】方法-（坐標(biāo)法）

設(shè)由圖可知

￡>(2cosa+sina,cosa),

C(sina,2sina+cosa)

OC.OZ)=2sin2a+lG[1,3]

(也可以設(shè)0A=a,OB=b,利用冉層4)

方法二（極化恒等式）

取必的中點(diǎn)為￡,反.麗=（江+麗）?屏+反）

=屏+同庫-明

=42_質(zhì).

=0E-1

易知點(diǎn)。與點(diǎn)￡之間的距離范圍為[、歷,2]n|5￡|2-1G[1,3]

求0E的距離：方法較多只講一個(gè)

與其動(dòng)矩形不如動(dòng)坐標(biāo)軸，。的軌跡是以月6為直徑的半圓弧AOB,46的中點(diǎn)尸為圓心.

當(dāng)。在點(diǎn)人時(shí)OEM產(chǎn)后，當(dāng)戚三點(diǎn)共線時(shí)，0E,*2

【鞏固訓(xùn)練】

1.[莘莊中學(xué)等四校高二11月聯(lián)考?9]如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,

ADVAB,AD=DC=-AB^2點(diǎn)N是CD邊上一動(dòng)點(diǎn),則麗?麗的最大值

2

【難度】★

【答案】8

【解析】方法一：（坐標(biāo)法）以AB、AD所在直線分別為x、y,建立如圖坐標(biāo)系，可得

A（0,0）,B（4,0）,C（2,2）,D（0,2）N坐標(biāo)為（x,2）,（xe[0,2]）,

AN-AB-（x,2）（4,0）=8x+2G[2,8].則麗?南的最大值為：8.

方法二：（數(shù)量積的幾何意義）顯然當(dāng)N在C。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AN-XB

max=AC-AB=2x4=8

2.如圖，在平行四邊形4靦中，已知4?=8,AD=5,C'P=A淳?痂=2,則荔?花的值

是.

DPC

AB

【難度】★★

【答案】22

【解析】（向量的分解）由』3力，得茁:應(yīng)=;而,~AP=Ab+~DP=~ADA-^AB,~BP=AP-7B

=而+；葩一葩=而一：宓因?yàn)殄?痂=2,所以（森+；欣?（而一|麗=2,即而一;而?葩

一一病=2.又因?yàn)檠?25,花=64,所以葩?茄=22.

16

3.[格致中學(xué)高二期中嗎][上海中學(xué)16]如圖，在圓0中，若弦AB=3,弦AC=5,則前?前

【難度】★★

【答案】8

【解析】（數(shù)量積的幾何意義）?0瓦=入0（衣—麗）=；口不_：洞2=8

JI

4.等腰直角三角形48c中，A-,/8=/C=2,"是用的中點(diǎn)，P點(diǎn)在△48。內(nèi)部或其邊

界上運(yùn)動(dòng)，則詼?前都J取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-2,0]

【難度】★★

【答案】D

【解析】方法一（坐標(biāo)法）以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線48,4C分別為x軸，y軸的正方向建

立平面直角坐標(biāo)系，則8（2,0）,"（1,1）.設(shè)2（x,力，由于點(diǎn)一在△/寬內(nèi)部或其邊界上運(yùn)

動(dòng)，故x20,y20且x+j<2,陟?前/=（*-2,/）?（1,l）=x-2+y,所以眇?功的取值

范圍是［-2,0］.

方法二（數(shù)量積的幾何意義）

5.已知△47。中，比?2=2?疝，B+擊|=2,且旌V-/，則南?反的取值范圍

是.

【難度】★★

【答案】「一2,1

【解析】因?yàn)楸?應(yīng)=由?花，所以由?（BC-AB）-（BA-BC）?（應(yīng)'+瓦1）=0,即礪=交,

可得45=8c由|應(yīng)+應(yīng)=2,可得流+2萬I?反+砂=4,'設(shè)AB=BC=a,則有2a，+2a2cos

?2.「兀2兀[「11]->?

8=4na=-----^因?yàn)?可得cosBR—5,5,所以刃?HCOSB=

1+cosB33228C=

2cosB2「02-故答案為「一2,1

1+cosB1+cosB|_3_?J

6.［上海中學(xué)高二上期中?11］平面向量。，b,e滿足|e|=l,ae^l,b@=2,

\a-b\=2,則a小的最小值為.

【難度】★★★

【答案】2（坐標(biāo)法）具體如下or（數(shù)量積的幾何意義）較簡單

4

【解析】

試題分析：設(shè)2=門,0I,a=，X1，%I,2=1*2J2'，：a,e=1，be=2,占=1,叼=2,由|第-3|=2得.

并-23+區(qū)一7/=2=|乃一乃『=3=乃=當(dāng)±技

._2,Y555

ag=2+乃）2=2+y*>2±布1=丁22土,務(wù)2+2=?y2±—+工力4.,最小值是W

反思總結(jié)

1.向量的坐標(biāo)表示簡化了向量數(shù)量積的運(yùn)算.為利用向量法解決平面幾何問題以及解析兒

何問題提供了完美的理論依據(jù)和有力的工具支持.

2.應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題，在學(xué)習(xí)中要

不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問題的能力.

3.注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對比學(xué)習(xí)、記憶.若3=

(由，71),b=(A2,72).則a〃從=?矛1%一照必=0,aX.b^X\Xi+yxy2=Q.

課堂練習(xí)

1.已知向量a,6的夾角為120°,|a|=l,b=5,則|3a一引等于()

A.7B.6C.5D.4

【難度】★

【答案】A

【解析】!3a-引=d_3a—A~”={9a"+:6a?b=9+25—6X5X^—

=7.故選A.

2.在邊長為1的等邊中，設(shè)瓦=2CA—b.AB=c,則a?6+b?c+c等于()

33

A.—~B.0C.~D.3

【難度】★★

【答案】A

【解析】a?b=BC*CA=—Cff*CA=~\~CB\|Celcos60°同理b?c=—c?a=—

1

2，

3

.*.a?b~\~b?c+c?a=---

3.設(shè)a=(2,x),b=(—4,5),若a與6的夾角。為鈍角，則x的取值范圍是________.

【難度】★★

【答案】］*且歸

bZ

【解析】夕為鈍角，.??cos0=-a-<0,即8?8=-8+5x<0,，歡］.

ab5

555i

時(shí)有一4x—10=0,即a=一E,當(dāng)a=-］時(shí),a=(2,—-)=-^b9

oc

Ja與b反向，即，=式.故a與b的夾角為鈍角時(shí)，x-且xW一不

□N

4.已知點(diǎn)4(—1,1)、6(1,2)、C(—2,—1)、〃(3,4),則向量施在近方向上的投影為

【難度】★

【答案】平.

而.而2X5+1X5153A/2

【解析】蕭=(2,1),而=(5,5),...前在2方向上的投影為

CD\一苫將一5小一2?

5.[位育中學(xué)期末?16]己知向量awe,1旬=1,對任意的feR,恒有必一"閆"一0|,

則()

.—?-?—>—*—?--?——?-?

A.aleB.a，("e)c.e-L(a-e)D(a+e)J_(a-e)

【難度】★★

【答案】C

6.已知|a|=3,6=4,求|a—引的取值范圍.

【難度】★★

【答案】[1,7]

【解析】方法一'."||a—bW|a-b\W|a|+b,1Wa—bW7,即,a-b的取值范

圍是[1,7].

方法二