專題33旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題(原卷版+解析)

專題33旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題【題型演練】一、單選題1．（2022·山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是，上的一點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A落在處，若四邊形是菱形，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．2．（2022·廣東佛山·九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長(zhǎng)度為（）A．1 B． C． D．23．（2022·安徽·懷遠(yuǎn)縣劉圩初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）如圖，矩形ABCD沿EF折疊后，若∠DEF＝70°，則∠1的度數(shù)是（）A．70° B．55° C．40° D．35°6．（2022·廣西·平果市教研室九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，點(diǎn)D在邊上，連接，如果將沿翻折后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線的距離為（

）A． B．4 C． D．7．（2022·重慶·忠縣花橋鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），將沿翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則點(diǎn)B到線段的距離為（）A． B． C． D．8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將沿著CD翻折到的位置，若，則（

）A． B．10 C．15 D．9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ABCO，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．10．（2022·河南洛陽(yáng)·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．11．（2022·吉林·長(zhǎng)春力旺實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在如圖所示的紙片中，，D是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿著CD折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE．若，，則等于（

）A． B． C． D．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)期中）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形紙片，為邊上的點(diǎn)，，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕分別與，邊交于點(diǎn)、，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．13．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點(diǎn)E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題14．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，則的值為_____．15．（2022·重慶一中九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在三角形中，，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別為線段、上的點(diǎn)，連接．將沿折疊，使點(diǎn)A落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，此時(shí)恰好有，則的長(zhǎng)度為__．16．（2022·廣東·豐順縣建橋中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在菱形中，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為____．三、解答題17．（2022·山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．獨(dú)立思考：(1)在圖1中，若，，則的長(zhǎng)為______；實(shí)踐探究：(2)在圖1中，請(qǐng)你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；問題解決：(3)如圖2，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說明理由．18．（2022·四川·成都西川中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，交點(diǎn)為．(1)求證：；(2)將沿對(duì)折，得到（如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的值．19．（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)E，連接．(1)請(qǐng)確定四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，過點(diǎn)作于F，連接交于點(diǎn)M，連接：①四邊形的面積為_______；②=_______．20．（2022·廣東·豐順縣北斗鎮(zhèn)千頃中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處（不與，重合），折痕為，若，，則的長(zhǎng)為____．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，，，．(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點(diǎn)A作，垂足為F，求證：；(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長(zhǎng)．22．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長(zhǎng)分別交于兩點(diǎn)，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）23．（2022·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)直角三角形紙片，其中，，，點(diǎn)、分別是、邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（如圖，且，求的長(zhǎng)；(2)若，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)（如圖，連結(jié)．①若點(diǎn)恰好在邊上（如圖，求的長(zhǎng)．②求的最小值．24．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校九年級(jí)期中）[教材呈現(xiàn)]如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第103頁(yè)的部分內(nèi)容．例2如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．(1)請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫出完整的證明過程．(2)[結(jié)論應(yīng)用]如圖2，直角三角形紙片中，，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，此時(shí)恰好有．若，那么．(3)如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點(diǎn)，．若，則．25．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中）在平行四邊形中，，已知，將沿翻折至，連接交邊于點(diǎn)O．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)若，①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形是矩形．②設(shè)，求y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．專題33旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題【題型演練】一、單選題1．（2022·山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是，上的一點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A落在處，若四邊形是菱形，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)，可得，由菱形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：將沿直線折疊，點(diǎn)A落在處，，四邊形是菱形，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解題．2．（2022·廣東佛山·九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長(zhǎng)度為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則，由直角三角形的性質(zhì)可得：，解方程求出x即可得出答案．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∴，∵將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合性運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽·懷遠(yuǎn)縣劉圩初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BF交ED于點(diǎn)0，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，從而得到當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長(zhǎng)最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點(diǎn)O，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長(zhǎng)最?。诹庑蜝EFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，根據(jù)折疊可知，，∴，，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）如圖，矩形ABCD沿EF折疊后，若∠DEF＝70°，則∠1的度數(shù)是（）A．70° B．55° C．40° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平角的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵∠DEF＝70°，∴，∵折疊的性質(zhì)，∴∠1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣西·平果市教研室九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，點(diǎn)D在邊上，連接，如果將沿翻折后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線的距離為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】先證是等邊三角形，可得，由折疊的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于N，∵，，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵將沿翻折后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即點(diǎn)E到直線的距離為，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．7．（2022·重慶·忠縣花橋鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），將沿翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則點(diǎn)B到線段的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過A作于G，過B作于H，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)，最后依據(jù)面積法即可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)B到線段的距離．【詳解】解：如圖，過A作于G，過B作于H，∵，∴，，∵，∴，，由折疊的性質(zhì)得：，，∴，∴，，∴，∴，∴中，，∵，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，二次根式的除法運(yùn)算，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將沿著CD翻折到的位置，若，則（

）A． B．10 C．15 D．【答案】C【分析】設(shè)相交于點(diǎn)O，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：，由翻折的性質(zhì)得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用可得,則，根據(jù)勾股定理求出，即可得的值．【詳解】解：設(shè)相交于點(diǎn)O，如圖所示：在中，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，，由翻折得，，，在和中，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其相關(guān)的性質(zhì)．9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ABCO，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，證明，則，即，計(jì)算求出、的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造、，利用相似的判定與性質(zhì)求出線段、的長(zhǎng)．10．（2022·河南洛陽(yáng)·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：連接BF，則EF≥BF－BE，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時(shí)，EF的長(zhǎng)度有最小值，如圖由翻折的性質(zhì)，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，∵點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，∴CF=2，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵掌握所學(xué)的知識(shí)，正確找出線段最小值的臨界點(diǎn)，從而進(jìn)行解題．11．（2022·吉林·長(zhǎng)春力旺實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在如圖所示的紙片中，，D是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿著CD折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE．若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知CD=BD=AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出∠AED=∠EDC，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求得∠EAD的度數(shù)，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．【詳解】∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，△ABC為直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折疊得到，∴△CDE≌△CDB，則CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，∴∠EDC=180°-2，∵，∴∠AED=∠EDC=180°-2，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2，∵∠B=，△ABC為直角三角形，∴∠CAD=90°-，∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形兩個(gè)銳角互余，熟練地掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)期中）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形紙片，為邊上的點(diǎn)，，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕分別與，邊交于點(diǎn)、，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BM，，，依據(jù)MN垂直平分，即可得到，設(shè)AM＝x，則DM＝9?x，依據(jù)勾股定理可得方程92＋x2＝62＋（9?x）2，即可得到AM的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接BM，，，由折疊可得，B，關(guān)于MN對(duì)稱，即MN垂直平分，∴，設(shè)AM＝x，則DM＝9?x，∵，∴，∵Rt△ABM中，BM2＝92＋x2，中，，∴92＋x2＝62＋（9?x）2，解得x＝2，∴AM＝2，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．13．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點(diǎn)E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作AF⊥BC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用△ABE∽△ACB求出AE，從而利用求出DE和CD，作BG⊥AC，求出BG，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵∠C＝45°，∴AF＝CF，ACCF，∵AB＝5，BC＝4，∴BF＝BC﹣CF＝4CF，在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即52＝（4CF）2+CF2，解得：CF或，∵AB＜AC，∴AF＝CF，∴ACCF＝7，∵△BCD沿BD折疊得到△BC′D，∴，，∵C′DAB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE，∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，∵C′DAB，∴，∴，即，解得：DE，∵S△ABCAF?BC414，如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，∵S△ABCAC?BG，∴147×BG，∴BG＝4，∴S陰影部分DE?BG4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，依次求出AF，AC，DE，BG．二、填空題14．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，則的值為_____．【答案】##【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，在中，利用勾股定理計(jì)算出，則，設(shè)，則，然后在中根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到x，進(jìn)一步得到的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上的F處，∴，在中，，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合方程思想解題是關(guān)鍵．15．（2022·重慶一中九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在三角形中，，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別為線段、上的點(diǎn)，連接．將沿折疊，使點(diǎn)A落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，此時(shí)恰好有，則的長(zhǎng)度為__．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理得出，設(shè)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，，利用折疊的性質(zhì)得出，，再由相似三角形的判定和性質(zhì)及圖中線段間的數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，設(shè)，，，，由折疊得：，，∵，，，，解得：，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)并結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．16．（2022·廣東·豐順縣建橋中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在菱形中，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為____．【答案】或【分析】分兩種情形①當(dāng)與O重合時(shí)，是直角三角形，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，是直角三角形，此時(shí)，列出方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接交于O．∵四邊形是菱形，∴，∵，是由翻折得到，∴，①當(dāng)與O重合時(shí)，是直角三角形，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，是直角三角形，此時(shí)，∴，∴，∴，綜上所述，滿足條件的的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，是由中考填空題中的壓軸題．三、解答題17．（2022·山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．獨(dú)立思考：(1)在圖1中，若，，則的長(zhǎng)為______；實(shí)踐探究：(2)在圖1中，請(qǐng)你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；問題解決：(3)如圖2，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及等腰三角形等邊對(duì)等角可得，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)勾股定理可得：，故答案為：．（2）．理由如下：方法一：∵，，∴．∴，．設(shè)，則，．∴．由折疊可得：，，∴，．∴．∴．∴．∴．方法二：∵，，∴．∴．設(shè)，則，．由折疊可得：，，∴，．∴．∴．∴．（3）四邊形CDAE是菱形方法一：∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∴．由折疊可得：，，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．方法二：∵，，∴．∴．∵，∴，是等邊三角形．∴，．∴．由折疊可知：，，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的判定和菱形的判定；解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，明確折疊前后對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，等腰三角形等邊對(duì)等角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行線的判定定理和菱形的判定定理．18．（2022·四川·成都西川中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，交點(diǎn)為．(1)求證：；(2)將沿對(duì)折，得到（如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）運(yùn)用，再利用角的關(guān)系求得求證；（2）沿對(duì)折，得到，利用角的關(guān)系求出，解出，求解．【詳解】（1）證明：∵，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）解：根據(jù)題意得，，，，∵，∴，∴，∴，令，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，在中，設(shè)，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷，解直角三角形的綜合應(yīng)用．19．（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)E，連接．(1)請(qǐng)確定四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，過點(diǎn)作于F，連接交于點(diǎn)M，連接：①四邊形的面積為_______；②=_______．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)①2；②【分析】（1）依題意，又，則，則，則，則四邊相等，可得四邊形CDC′E是菱形；（2）①過點(diǎn)D作，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形性質(zhì)即可得出，進(jìn)而求出菱形的面積；②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理得出，然后可知，根據(jù)勾股定理可得，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而可得．【詳解】（1）四邊形是菱形．理由如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形（2）①過點(diǎn)D作，∵，四邊形為菱形，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：2．②∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．20．（2022·廣東·豐順縣北斗鎮(zhèn)千頃中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處（不與，重合），折痕為，若，，則的長(zhǎng)為____．【答案】##【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明是等邊三角形，進(jìn)而可得到，，設(shè)，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，則由折疊性質(zhì)得，∵在菱形中，，∴,，∴是等邊三角形，∴，，即，∴，，設(shè)，則，，，在中，，由得，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，，，．(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點(diǎn)A作，垂足為F，求證：；(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見解析(3)12【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作圓A，根據(jù)題意得，即可得點(diǎn)B在圓A上，根據(jù)圓的性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，即可得；（2）過點(diǎn)A作交BD于點(diǎn)G，則，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，由折疊的性質(zhì)得，，，，設(shè)，則，，根據(jù)得，即可得，利用AAS可證，即，即可得；（3）作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)H，則，根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理即可得，即可得三角形ABC的面積，即可得CN的長(zhǎng)度，在中，根據(jù)勾股定理即可得AN的長(zhǎng)度，用AAS證明，即可得，即可得三角形BCD的面積為，可得，即可得．【詳解】（1）解：如圖所示，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作圓A，∵，，∴，∴點(diǎn)B在圓A上，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)A作交BD于點(diǎn)G，則，由（1）得，，，∴，，由折疊的性質(zhì)得，，，，設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴，在和，∴（AAS），∴，∴；（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)H，則，∵，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∵四邊形ABCD的面積為45，∴在中，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，∴，在和中，∴（AAS），∴，∴，∴，即，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，本題綜合性強(qiáng)．22．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長(zhǎng)分別交于兩點(diǎn)，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；如圖中，連接根據(jù)，求出即可解決問題；如圖中，連接由，可以設(shè)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】證明：如圖中，是由折疊得到，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，；解：如圖中，連接．，，由折疊可知，，四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，，由折疊可知，，，，或舍棄，，；解：如圖中，連接．由，設(shè)，由知，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，，或舍棄，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．23．（2022·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)直角三角形紙片，其中，，，點(diǎn)、分別是、邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（如圖，且，求的長(zhǎng)；(2)若，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)（如圖，連結(jié)．①若點(diǎn)恰好在邊上（如圖，求的長(zhǎng)．②求的最小值．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出，，得出，由已知得出，證明，得出，即可求出的長(zhǎng)；（2）①如圖3中，漏解交于點(diǎn)．證明四邊形是菱形，求出菱形的邊長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；②由①可知，四邊形是菱形，推出，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是的角平分線，推出當(dāng)時(shí)，的值最小．【詳解】（1）如圖1中，的一角沿折疊，折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，在中，，，，，，，，即，；（2）①如圖3中，連接交于點(diǎn)．，，，，四邊形是菱形，，，，，設(shè)，，，，

，則，，，，，，，，，，，，

，，，；②如圖，由①中圖形可知，四邊形是菱形，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是的角平分線，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似和運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．24．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校九年級(jí)期中）[教材呈現(xiàn)]如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第103頁(yè)的部分內(nèi)容．例2如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．(1)請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫出完整的證明過程．(2)[結(jié)論應(yīng)用]如圖2，直角三角形紙片中，，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，此時(shí)恰好有．若，那么．(3)如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點(diǎn)，．若，則．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)到E，使，連接、，證得四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖2中，設(shè)交于點(diǎn)O．證明，求出，證明，可得結(jié)論；（3）連接，證明，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明，利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)到E，使，連接，∴則．∵是斜邊上的中線，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴平行四邊形是矩形，∴，∴；（2）解：如圖2中，設(shè)交于點(diǎn)O．∵，∴，∴．由翻折的性質(zhì)可知．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．故答案為：；（3）解：如圖3中，連接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解決問題．25．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中）在平行四邊形中，，已知，將沿翻折至，連接交邊于點(diǎn)O．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)若，①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形是矩形．②設(shè)，求y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)∠ACB=45°；(2)①當(dāng)BC=4時(shí)，四邊形是矩形；②．【分析】（1）由題意及平行四邊形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACB'=∠CB'D=∠AB'D?∠AB'C=∠AB'D?∠B=75°?30°=45°；（2）①由四邊形是矩形可得∠BAC=90°或∠BCA=90°，再根據(jù)直角三角