專(zhuān)題11相似三角形的綜合問(wèn)題(重點(diǎn)突圍)(原卷版+解析)_第1頁(yè)
專(zhuān)題11相似三角形的綜合問(wèn)題(重點(diǎn)突圍)(原卷版+解析)_第2頁(yè)
專(zhuān)題11相似三角形的綜合問(wèn)題(重點(diǎn)突圍)(原卷版+解析)_第3頁(yè)
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專(zhuān)題11相似三角形的綜合問(wèn)題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一(雙)A字型相似】 1【考向二(雙)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋轉(zhuǎn)相似】 24【考向五K字型相似】 37【直擊中考】【考向一(雙)A字型相似】例題:(2022·上?!ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上,且DEBC,.(1)求證:DFBE;(2)如且AF=2,EF=4,AB=6.求證△ADE∽△AEB.【變式訓(xùn)練】1.(2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在中,,D是上一點(diǎn),點(diǎn)E在上,連接交于點(diǎn)F,若,則=__________.2.(2023秋·安徽六安·九年級(jí)??计谀┤鐖D,在中,、分別是、邊上的高.求證:.3.(2021秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)??茧A段練習(xí))中,,,,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn)P的速度是4cm/s,點(diǎn)Q的速度是2cm/s,它們同時(shí)出發(fā),當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí),就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?(2)若的面積為,求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)t為多少時(shí),以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與相似?4.(2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,中,點(diǎn)D在邊上,且.(1)求證:;(2)點(diǎn)E在邊上,連接交于點(diǎn)F,且,,求的度數(shù).(3)在(2)的條件下,若,的周長(zhǎng)等于30,求的長(zhǎng).【考向二(雙)8字型相似】例題:(2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在菱形ABCD中,∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F,DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M,且∠ADE=∠CDF.(1)求證:CE=AF;(2)連接ME,若=,AF=2,求的長(zhǎng).【變式訓(xùn)練】1.(2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),,連接BE交AC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則的值為()A. B. C. D.2.(2022春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),F(xiàn)是AE的中點(diǎn),CF交BE于點(diǎn)G,若,則___.3.(2022秋·北京房山·九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,AD與BC交于O點(diǎn),,,,,求CD的長(zhǎng).4.(2023秋·安徽六安·九年級(jí)??计谀┤鐖D1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D為AB上一點(diǎn),連接CD,分別過(guò)點(diǎn)A、B作AN⊥CD,BM⊥CD.(1)求證:AN=CM;(2)若點(diǎn)D滿足BD:AD=2:1,求DM的長(zhǎng);(3)如圖2,若點(diǎn)E為AB中點(diǎn),連接EM,設(shè)sin∠NAD=k,求證:EM=k.5.(2022·廣東佛山·??既#┤鐖D1,、分別是的內(nèi)角、的平分線,過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).(1)求證:;(2)如圖2,如果,且,求的值;(3)如果是銳角,且與相似,求的度數(shù),并直接寫(xiě)出的值.【考向三母子型相似】例題:(2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))定義:如圖,若點(diǎn)P在三角形的一條邊上,且滿足,則稱(chēng)點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”.(1)如圖①,若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn),,,試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”,并說(shuō)明理由;(2)如圖②,在中,,,,若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”,求CD的長(zhǎng).【變式訓(xùn)練】1.(2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,中,點(diǎn)在上,,若,,則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________.2.(2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在△ABC中,D為BC邊上的一點(diǎn),且AC=,CD=4,BD=2,求證:△ACD∽△BCA.3.(2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,,為邊上的高,的平分線分別交,于點(diǎn),.(1)求證:;(2)若,,求的面積,(3)若,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值為_(kāi)_____.4.(2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖:在矩形ABCD中,,,動(dòng)點(diǎn)Р以的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向C點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)______m,______m,_____m(用含t的代數(shù)式表示)(2)t為多少秒時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似?(3)在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等?若能,求出此時(shí)t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.【考向四旋轉(zhuǎn)相似】例題:(2022秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)??计谥校┤鐖D1,在中,,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接.將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí),=______;②當(dāng)時(shí),=______;(2)拓展探究試判斷當(dāng)時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;(3)問(wèn)題解決當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求線段的長(zhǎng).【變式訓(xùn)練】1.(2023·浙江寧波·??家荒#┤鐖D1,在中,,點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn).把繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度,連結(jié).(1)如圖2,當(dāng)線段在內(nèi)部時(shí),求證:.(2)當(dāng)點(diǎn)D落在直線上時(shí),請(qǐng)畫(huà)出圖形,并求的長(zhǎng).(3)當(dāng)面積最大時(shí),請(qǐng)畫(huà)出圖形,并求出此時(shí)的面積.2.(2022·山東棗莊·??寄M預(yù)測(cè))如圖1,在等腰直角三角形中,,.點(diǎn)是的中點(diǎn),以為邊作正方形,連接,.將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為().(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,①判斷與是否全等,并說(shuō)明理由;②當(dāng)時(shí),與交于點(diǎn),求的長(zhǎng).(2)如圖3,延長(zhǎng)交直線于點(diǎn).求證:;3.(2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模)(1)【方法嘗試】如圖1,矩形是矩形以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得的圖形,分別是它們的對(duì)角線.則與數(shù)量關(guān)系_______,位置關(guān)系________;(2)【類(lèi)比遷移】如圖2,在和中,.將繞點(diǎn)A在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(),連接.請(qǐng)判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)【拓展延伸】如圖3,在中,,過(guò)點(diǎn)A作,在射線上取一點(diǎn)D,連接,使得,請(qǐng)求線段的最大值.4.(2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)??计谀┤鐖D,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,與構(gòu)成位似圖形,我們稱(chēng)與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.(1)知識(shí)理解:兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形(填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”;如圖1,與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”,①若,,,則;②若,,,則;(2)知識(shí)運(yùn)用:如圖2,在四邊形中,,于,,求證:和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”;(3)拓展提高:如圖3,為等腰直角三角形,點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)是上一點(diǎn),是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”,若,,求出和的值.【考向五K字型相似】例題:(2022·山東濟(jì)南·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,在中,點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn),且.(1)如圖1,若,求證:;(2)若.①如圖2,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);②如圖3,當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出的長(zhǎng)是______.【變式訓(xùn)練】1.(2021秋·湖南永州·九年級(jí)??茧A段練習(xí))(1)如圖,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在直線的同側(cè),,求證:;(2)如圖,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在直線的同側(cè),,,,,求的值;(3)如圖,中,點(diǎn)在邊上,且,,,點(diǎn)在邊上,連接,,,求的值.2.(2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,在中,,點(diǎn)P為斜邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作射線,分別交、于點(diǎn)D,E.(1)問(wèn)題產(chǎn)生∶若P為中點(diǎn),當(dāng)時(shí),

;(2)問(wèn)題延伸:在(1)的情況下,將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,的值是否會(huì)發(fā)生改變?如果不變,請(qǐng)證明;如果改變,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)問(wèn)題解決:如圖3,連接,若與相似,求的值.3.(2022·山東濟(jì)南·??既#┮阎狝BC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D、E分別在邊BC、邊AC上,連接DE,DF⊥DE,點(diǎn)F、點(diǎn)C在直線DE同側(cè),連接FC,且.(1)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),①如圖1,k=1時(shí),AE和FC的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;②如圖2,k=2時(shí),猜想AE和FC的關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)BD=2CD時(shí),①如圖3,k=1時(shí),若AE=2,=6,求FC的長(zhǎng)度;②如圖4,k=2時(shí),點(diǎn)M、N分別為EF和AC的中點(diǎn),若AB=10,直接寫(xiě)出MN的最小值.專(zhuān)題11相似三角形的綜合問(wèn)題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一(雙)A字型相似】 1【考向二(雙)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋轉(zhuǎn)相似】 24【考向五K字型相似】 37【直擊中考】【考向一(雙)A字型相似】例題:(2022·上?!ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上,且DEBC,.(1)求證:DFBE;(2)如且AF=2,EF=4,AB=6.求證△ADE∽△AEB.【答案】(1)見(jiàn)詳解;(2)見(jiàn)詳解【分析】(1)由題意易得,則有,進(jìn)而問(wèn)題可求證;(2)由(1)及題意可知,然后可得,進(jìn)而可證,最后問(wèn)題可求證.【詳解】解:(1)∵DEBC,∴,∵,∴,∴DFBE;(2)∵AF=2,EF=4,∴由(1)可知,,AE=6,∵AB=6,∴,∴,∴,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△AEB.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定,熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在中,,D是上一點(diǎn),點(diǎn)E在上,連接交于點(diǎn)F,若,則=__________.【答案】2【分析】過(guò)D作垂直于H點(diǎn),過(guò)D作交BC于G點(diǎn),先利用解直角三角形求出的長(zhǎng),其次利用,求出的長(zhǎng),得出的長(zhǎng),最后利用求出的長(zhǎng),最后得出答案.【詳解】解:如圖:過(guò)D作垂直于H點(diǎn),過(guò)D作交于G點(diǎn),∵在中,,∴,又∵,∴,∴在等腰直角三角形中,,∴,在中,,∵,∴,,∴,

又∵,∴,∴,∴,即,∴,∴,又∵,∴,又∵,∴,又,∴,∴,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理,等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合,解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線,利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案.2.(2023秋·安徽六安·九年級(jí)??计谀┤鐖D,在中,、分別是、邊上的高.求證:.【答案】見(jiàn)詳解【分析】先證明,即有,再結(jié)合,即可證明.【詳解】∵、分別是、邊上的高,∴,∵,∴,∴,又∵,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.3.(2021秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)??茧A段練習(xí))中,,,,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn)P的速度是4cm/s,點(diǎn)Q的速度是2cm/s,它們同時(shí)出發(fā),當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí),就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?(2)若的面積為,求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)t為多少時(shí),以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與相似?【答案】(1)3秒或5秒;(2);(3)或【分析】(1)根據(jù)題意得到AP=4tcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4t)cm,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案;(2)若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,則CP=(20-4t)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面積計(jì)算公式,即可得出S=20t-4t2,再結(jié)合各線段長(zhǎng)度非負(fù),即可得出t的取值范圍;(3)分①和②,利用相似三角形得出比例式,建立方程求解,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:由運(yùn)動(dòng)知,AP=4tcm,CQ=2tcm,∵AC=20cm,∴CP=(20-4t)cm,在Rt△CPQ中,,即;∴秒或秒(2)由題意得,,則,因此的面積為;(3)分兩種情況:①當(dāng)時(shí),,即,解得;②當(dāng)時(shí),,即,解得.因此或時(shí),以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,相似三角形的性質(zhì),用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.4.(2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,中,點(diǎn)D在邊上,且.(1)求證:;(2)點(diǎn)E在邊上,連接交于點(diǎn)F,且,,求的度數(shù).(3)在(2)的條件下,若,的周長(zhǎng)等于30,求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)=60°;(3)AF=11【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式,運(yùn)用等量代換得出,證得;(2)作CH=BE,連接DH,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得,再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE,最后推出△DCH為等邊三角形,即可得出=60°;(3)借助輔助線AO⊥CE,構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合平行線構(gòu)造△BFE∽△BDH,建立相應(yīng)的等量關(guān)系式,完成等式變形和求值,即可得出AF的值.【詳解】(1)證明:∵∠BDC=90°+∠ABD,∠BDC=∠ABD+∠A,∴

∠A=90°-∠ABD.∵∠BDC+∠BDA=180°,∴∠BDA=180°-∠BDC=90°-∠ABD.∴

∠A=∠BDA=90°-∠ABD.∴DB=AB.解:(2)如圖1,作CH=BE,連接DH,∵∠AFD=∠ABC,∠AFD=∠ABD+∠BAE,∠ABC=∠ABD+∠DBC,∴∠BAE=∠DBC.∵由(1)知,∠BAD=∠BDA,又∵∠EAC=∠BAD-∠BAE,∠C=∠ADB-∠DBC,∴∠CAE=∠C.∴AE=CE.∵BE=CH,∴BE+EH=CH+EH.即BH=CE=AE.∵AB=BD,∴△BDH≌△ABE.∴BE=DH.∵BE=CD,∴CH=DH=CD.∴△DCH為等邊三角形.∴∠ACB=60°.(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AO⊥CE,垂足為O.∵DH∥AE,∴∠CAE=∠CDH=60°,∠AEC=∠DHC=60°.∴△ACE是等邊三角形.設(shè)AC=CE=AE=x,則BE=16-x,∵DH∥AE,∴△BFE∽△BDH.∴.∴,.∵△ABF的周長(zhǎng)等于30,即AB+BF+AF=AB++x-=30,解得AB=16-.在Rt△ACO中,AC=,AO=,∴BO=16-.在Rt△ABO中,AO2+BO2=AB2,即.解得(舍去).∴AC=.∴AF=11.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力.【考向二(雙)8字型相似】例題:(2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在菱形ABCD中,∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F,DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M,且∠ADE=∠CDF.(1)求證:CE=AF;(2)連接ME,若=,AF=2,求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】(1)通過(guò)已知條件,易證△ADF≌△CDE,即可求得;(2)根據(jù)=,易求得BE和BF,根據(jù)已知條件可得==,證明△AMF∽△CMD,,再證明△ABC~△MEC,即可求出ME.【詳解】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠DAF=∠DCE,又∵∠ADE=∠CDF,∴∠ADE﹣∠EDF=∠CDF﹣∠EDF,∴∠ADF=∠CDE,在△ADF和△CDE中,,∴△ADF≌△CDE,∴CE=AF.(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,由(1)得:CE=AF=2,∴BE=BF,設(shè)BE=BF=x,∵=,AF=2,∴,解得x=,∴BE=BF=,∵=,且CE=AF,∴==,∵∠CMD=∠AMF,∠DCM=∠AMF,∴△AMF∽△CMD,∴,∴,且∠ACB=∠ACB,∴△ABC~△MEC,

∴∠CAB=∠CME=∠ACB,∴ME=CE=2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等,三角形相似和菱形的判定和性質(zhì),熟練它們的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),,連接BE交AC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則的值為()A. B. C. D.【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD,則可判斷△ABG∽△CFG,△ABE∽△DFE,于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.【詳解】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD,∴△ABG∽△CFG,∴=∵△ABE∽△DFE,∴=,∵AE=2ED,∴AB=2DF,∴=,∴=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題.2.(2022春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),F(xiàn)是AE的中點(diǎn),CF交BE于點(diǎn)G,若,則___.【答案】2【分析】延長(zhǎng)CF、BA交于M,根據(jù)已知條件得出EF=AF,CE=DC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB,DC=AB,根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=AM,求出BM=3CE,根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式,再求出答案即可.【詳解】解:延長(zhǎng)CF、BA交于M,∵E是CD的中點(diǎn),F(xiàn)是AE的中點(diǎn),∴EF=AF,CE=DC,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC∥AB,DC=AB,∴CE=AB,∠ECF=∠M,在△CEF和△MAF中,∴△CEF≌△MAF(AAS),∴CE=AM,∵CE=AB,∴BM=3CE,∵DC∥AB,∴△CEG∽△MBG,∴,∵BE=8,∴,解得:GE=2,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.3.(2022秋·北京房山·九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,AD與BC交于O點(diǎn),,,,,求CD的長(zhǎng).【答案】1.5【分析】由,可得出,利用相似三角形的性質(zhì)可得出,代入,,,即可求出CD的長(zhǎng).【詳解】解:∵AD與BC交于O點(diǎn),∴.∵,∴.∴.∵,,,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式.4.(2023秋·安徽六安·九年級(jí)??计谀┤鐖D1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D為AB上一點(diǎn),連接CD,分別過(guò)點(diǎn)A、B作AN⊥CD,BM⊥CD.(1)求證:AN=CM;(2)若點(diǎn)D滿足BD:AD=2:1,求DM的長(zhǎng);(3)如圖2,若點(diǎn)E為AB中點(diǎn),連接EM,設(shè)sin∠NAD=k,求證:EM=k.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)見(jiàn)解析【分析】(1)證明△ACN≌△CBM(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AN=CM;(2)證明△AND∽△BMD,由相似三角形的性質(zhì)得出,設(shè)AN=x,則BM=2x,由(1)知AN=CM=x,BM=CN=2x,由勾股定理得出x=,則可得出答案;(3)延長(zhǎng)ME,AN相交于點(diǎn)H,證明△AHE≌△BME(AAS),得出AH=BM,證得HN=MN,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BM于點(diǎn)G,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案.【詳解】(1)證明:∵AN⊥CD,BM⊥CD,∴∠ANC=90°,∠BMC=90°,又∠ACB=90°,∴∠ACN+∠BCM=∠BCM+∠CBM=90°,∴∠ACN=∠CBM,又∵AC=BC,∴△ACN≌△CBM(AAS),∴AN=CM;(2)解:∵∠AND=∠BMD,∠ADN=∠BDM,∴△AND∽△BMD,∴,設(shè)AN=x,則BM=2x,由(1)知AN=CM=x,BM=CN=2x,∵AN2+CN2=AC2,∴x2+(2x)2=12,∴x=,∴CM=,CN=,∴MN=,∴DM==;(3)解:延長(zhǎng)ME,AN相交于點(diǎn)H,∵E為AB的中點(diǎn),∴AE=BE,∵∠ANM=90°,∠BMN=90°,∴AN∥BM,∴∠HAE=∠MBE,∠AHE=∠BME,∴△AHE≌△BME(AAS),∴AH=BM,又∵BM=CN,CM=AN,∴CN=AH,∴MN=HN,∴∠HMN=45°,∴∠EMB=45°,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BM于點(diǎn)G,∵sin∠NAD=k,∠NAD=∠EBG,∴sin∠EBG==k,又∵AC=BC=1,∴AB=,∴BE=,∴EG=k,∴EM=EG=k=k.【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了全等三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.(2022·廣東佛山·??既#┤鐖D1,、分別是的內(nèi)角、的平分線,過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).(1)求證:;(2)如圖2,如果,且,求的值;(3)如果是銳角,且與相似,求的度數(shù),并直接寫(xiě)出的值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3),或,【分析】(1)由題意:,證明即可解決問(wèn)題.(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn).證明,可得,,由,可得.(3)因?yàn)榕c相似,,所以中必有一個(gè)內(nèi)角為因?yàn)槭卿J角,推出.接下來(lái)分兩種情形分別求解即可.【詳解】(1)證明:如圖1中,,,,平分,,同理,,,,.(2)解:延長(zhǎng)交于點(diǎn).,,平分,,,,,,,.(3)與相似,,中必有一個(gè)內(nèi)角為是銳角,.①當(dāng)時(shí),,,,,此時(shí).②當(dāng)時(shí),,,與相似,,此時(shí).綜上所述,,.,.【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題,考查了相似三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.【考向三母子型相似】例題:(2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))定義:如圖,若點(diǎn)P在三角形的一條邊上,且滿足,則稱(chēng)點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”.(1)如圖①,若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn),,,試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”,并說(shuō)明理由;(2)如圖②,在中,,,,若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”,求CD的長(zhǎng).【答案】(1)為的理想點(diǎn),理由見(jiàn)解析(2)或【分析】(1)由已知可得,從而,,可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”;(2)由是的“理想點(diǎn)”,分三種情況:當(dāng)在上時(shí),是邊上的高,根據(jù)面積法可求長(zhǎng)度;當(dāng)在上時(shí),,對(duì)應(yīng)邊成比例即可求長(zhǎng)度;不可能在上.(1)解:點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”,理由如下:是中點(diǎn),,,,,,,,,,,點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”;(2)①在上時(shí),如圖:是的“理想點(diǎn)”,或,當(dāng)時(shí),,,,即是邊上的高,當(dāng)時(shí),同理可證,即是邊上的高,在中,,,,,,,②,,有,“理想點(diǎn)”不可能在邊上,③在邊上時(shí),如圖:是的“理想點(diǎn)”,,又,,,即,,綜上所述,點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”,的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義.【變式訓(xùn)練】1.(2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,中,點(diǎn)在上,,若,,則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【分析】延長(zhǎng)到,使,連接,可得等腰和等腰,,再證明,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出.【詳解】解:如圖所示,延長(zhǎng)到,使,連接,∴∵,,∴,∴,∴,即,解得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì),利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵.2.(2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在△ABC中,D為BC邊上的一點(diǎn),且AC=,CD=4,BD=2,求證:△ACD∽△BCA.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)AC=,CD=4,BD=2,可得,根據(jù)∠C=∠C,即可證明結(jié)論.【詳解】解:∵AC=,CD=4,BD=2∴,∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.3.(2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,,為邊上的高,的平分線分別交,于點(diǎn),.(1)求證:;(2)若,,求的面積,(3)若,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值為_(kāi)_____.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)利用同角的余角相等可得,再由角平分線的定義可得,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證;(2)先根據(jù)定理可證,推出,設(shè),則,在中,利用勾股定理,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得;(3)由和推出,得到,再根據(jù)一元二次方程的解法求解即可得.【詳解】(1)證明:,為邊上的高,,,,是的平分線,,在和中,,.(2)解:在中,,如圖,過(guò)點(diǎn)作于,是的平分線,,,在和中,,,,,設(shè),則,在中,,即,解得,,,∴,即,解得,即的面積為.(3)解:如上圖,在和中,,∴,在和中,,,,即,解得或(不符題意,舍去),∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、解直角三角形的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.(2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖:在矩形ABCD中,,,動(dòng)點(diǎn)Р以的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向C點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)______m,______m,_____m(用含t的代數(shù)式表示)(2)t為多少秒時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似?(3)在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等?若能,求出此時(shí)t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1),,;(2)或;(3)四邊形ABQP與CPQ的面積不相等,理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì),計(jì)算得,結(jié)合題意,根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案;(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程并求解,即可得到答案;(3)過(guò)點(diǎn)P作,交BC于點(diǎn)M,通過(guò)證明,根據(jù)相似比的性質(zhì),推導(dǎo)得,根據(jù)題意列一元二次方程,根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)分析,即可得到答案.【詳解】(1)∵矩形ABCD中,,∴m∵動(dòng)點(diǎn)Р以的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向C點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),∴,∴故答案為:,,;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,得,,,∵∴當(dāng),或時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似當(dāng)時(shí),得∴∴;當(dāng)時(shí),得∴∴;(3)如圖,過(guò)點(diǎn)P作,交BC于點(diǎn)M∵,∴∴∴∴∵四邊形ABQP與CPQ的面積相等,四邊形ABQP面積∴∴∴∵∴無(wú)解,即四邊形ABQP與CPQ的面積不相等.【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形、一元二次方程判別式的性質(zhì),從而完成求解.【考向四旋轉(zhuǎn)相似】例題:(2022秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)??计谥校┤鐖D1,在中,,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接.將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí),=______;②當(dāng)時(shí),=______;(2)拓展探究試判斷當(dāng)時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;(3)問(wèn)題解決當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求線段的長(zhǎng).【答案】(1)①;②(2)當(dāng)時(shí),,大小沒(méi)有變化,證明見(jiàn)解析(3)線段的長(zhǎng)為或【分析】(1)①先利用勾股定理可得,再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得,由此即可得;②先畫(huà)出圖形,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,再利用勾股定理可得,然后根據(jù)線段和差分別求出的長(zhǎng),由此即可得;(2)根據(jù)相似三角形的判定證出,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得;(3)分①點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上和②點(diǎn)在線段上,利用勾股定理求出,從而可得的長(zhǎng),再根據(jù)求解即可得.【詳解】(1)解:①當(dāng)時(shí),在中,,,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),,,,故答案為:;②如圖1,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),,,,,如圖,當(dāng)時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:的大小不變,仍等于,長(zhǎng)度不變,仍等于2,的長(zhǎng)度不變,仍等于,,,,,故答案為:.(2)解:當(dāng)時(shí),,大小沒(méi)有變化,證明如下:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,又,,.(3)解:①如圖,當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),在中,,,,,;②如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),在中,,,,,;綜上,線段的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn),較難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023·浙江寧波·??家荒#┤鐖D1,在中,,點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn).把繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度,連結(jié).(1)如圖2,當(dāng)線段在內(nèi)部時(shí),求證:.(2)當(dāng)點(diǎn)D落在直線上時(shí),請(qǐng)畫(huà)出圖形,并求的長(zhǎng).(3)當(dāng)面積最大時(shí),請(qǐng)畫(huà)出圖形,并求出此時(shí)的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析,【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn),得到,再根據(jù)旋轉(zhuǎn),得到,即可得證;(2)勾股定理定理求出的長(zhǎng),中位線定理得到,進(jìn)而得到,根據(jù)旋轉(zhuǎn),得到,推出,利用勾股定理求出的長(zhǎng);(3)設(shè)點(diǎn)E到的距離為h,判斷出h最大,的面積最大,過(guò)點(diǎn)D作于H,證明,利用對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例,求出的長(zhǎng),利用進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)證明:∵點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn),∴∴,

由旋轉(zhuǎn)知,,∴;(2)解:如圖,∵,∴,由(1)圖∵點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn),∴,∴,∵點(diǎn)D落在上,∴,由(1)知,,∴,在中,,根據(jù)勾股定理得,;(3)解:如圖,設(shè)點(diǎn)E到的距離為h,則,要的面積最大,則h最大,即時(shí),此時(shí),h最大,∵,∴,∴,由旋轉(zhuǎn)知,,∴,過(guò)點(diǎn)D作于H,∴,∴,∴,∴,∴,在題干圖1中,∵點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn),∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的中位線,勾股定理.本題的綜合性較強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意,正確的畫(huà)出圖形.2.(2022·山東棗莊·??寄M預(yù)測(cè))如圖1,在等腰直角三角形中,,.點(diǎn)是的中點(diǎn),以為邊作正方形,連接,.將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為().(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,①判斷與是否全等,并說(shuō)明理由;②當(dāng)時(shí),與交于點(diǎn),求的長(zhǎng).(2)如圖3,延長(zhǎng)交直線于點(diǎn).求證:;【答案】(1)①,理由見(jiàn)解析;②(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)①根據(jù)“邊角邊”,證明即可;②過(guò)點(diǎn)作于,根據(jù)①中,,得出,再根據(jù)三線合一的性質(zhì),得出,再根據(jù)勾股定理,得出,再根據(jù),得出,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),計(jì)算即可得出答案;(2)設(shè)交于,根據(jù)(1),得出,再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系,得出,再根據(jù)等量代換,得出,再根據(jù)垂線的定義,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:①如圖2中,結(jié)論:.理由:∵四邊形是正方形,∴,,∵,,∴,∴,∴.②如圖2中,過(guò)點(diǎn)作于.∵,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴.(2)證明:如圖3中,設(shè)交于.∵,∴,∵,,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義,解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.3.(2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模)(1)【方法嘗試】如圖1,矩形是矩形以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得的圖形,分別是它們的對(duì)角線.則與數(shù)量關(guān)系_______,位置關(guān)系________;(2)【類(lèi)比遷移】如圖2,在和中,.將繞點(diǎn)A在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(),連接.請(qǐng)判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)【拓展延伸】如圖3,在中,,過(guò)點(diǎn)A作,在射線上取一點(diǎn)D,連接,使得,請(qǐng)求線段的最大值.【答案】(1);(2),,理由見(jiàn)解析;(3).【分析】(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出,.從而即可求出,即;(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q,交于點(diǎn)O,易證,又可求,即證明,得出,.進(jìn)而可求出,即,;(3)過(guò)點(diǎn)A作,使得,取的中點(diǎn)R,連接.由平行線的性質(zhì)可證,從而可證.再根據(jù),即得出,從而可證,得出.根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出.再根據(jù)勾股定理可求出,最后由三角形三邊關(guān)系即得出,從而得出,即得出的最大值.【詳解】解:(1)如圖,延長(zhǎng)交于點(diǎn)H.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,.又∵,∴,即.故答案為:,;(2),,理由如下,延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q,交于點(diǎn)O,如圖2.∵,∴.∵,∴,∴,∴,.∵,∴,∴,;(3)如圖,過(guò)點(diǎn)A作,使得,取的中點(diǎn)R,連接.∵,∴.∴.∵,∴,∴,∴,∴.∵點(diǎn)R為中點(diǎn),,∴.∵,∴.∵,∴,∴最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),勾股定理,三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形相似的判定定理,并正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.4.(2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)??计谀┤鐖D,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,與構(gòu)成位似圖形,我們稱(chēng)與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.(1)知識(shí)理解:兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形(填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”;如圖1,與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”,①若,,,則;②若,,,則;(2)知識(shí)運(yùn)用:如圖2,在四邊形中,,于,,求證:和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”;(3)拓展提高:如圖3,為等腰直角三角形,點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)是上一點(diǎn),是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”,若,,求出和的值.【答案】(1)是;①;②(2)見(jiàn)解析(3),【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)位似圖形的定義;旋轉(zhuǎn)位似圖形的性質(zhì),得,根據(jù)三角形的內(nèi)角和,即可;根據(jù)相似三角形的性質(zhì),即可;(2)如圖,根據(jù),,,得,;根據(jù)對(duì)頂角相等,得,;再根據(jù),即可;(3)連接,根據(jù)勾股定理,求出,過(guò)作于,由,;根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,求出,再根據(jù)勾股定理,即可求出的長(zhǎng).【詳解】(1)兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形,把其中一個(gè)三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后構(gòu)成位似圖形,故它們互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”,故答案為:是;①∵與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”∴,∵,∴∴∵∴;②∵,∴,∵,,,∴,∴.故答案為:是;①;②.(2)如圖:∵,,,∴,∴,即,∵,∴,∴,∵,∴,∴和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.(3)連接∵為等腰直角三角形,點(diǎn)為中點(diǎn),∴,,,∴,∴,∵,∴,,∵,,∴,∴;過(guò)作于,∵,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴.綜上所述:,.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形,勾股定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)位似圖形的定義,相似三角形的判定和性質(zhì).【考向五K字型相似】例題:(2022·山東濟(jì)南·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,在中,點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn),且.(1)如圖1,若,求證:;(2)若.①如圖2,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);②如圖3,當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出的長(zhǎng)是______.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①;②???????【分析】(1)證明,即可得證;(2)①如圖,作的垂直平分線交于F,連接,證明,利用全等三角形的性質(zhì)和,進(jìn)行求解即可;②延長(zhǎng)到,使,求出,作于,利用等腰三角形的判定和性質(zhì),求出的長(zhǎng),進(jìn)而得到的余弦,作中垂線交于,于,證明,利用相似三角形的性質(zhì),進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)證明:在中,,∵,∴,∴,∵,∴,又∵,∴,∴=,∴;(2)解:①如圖2,作的垂直平分線交于F,連接,∴,∴,∵,∴,???????又∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴;②???????如圖:延長(zhǎng)到,使,則,∴,∵,∴,∴,作于,則,∴,在中,由勾股定理得:,在中,根據(jù)勾股定理得:,∴,作中垂線交于,于,設(shè),則,,∵,,∴,∴,,解得,∴.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,勾股定理等知識(shí),線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí).通過(guò)添加輔助線,證明三角形全等和相似是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2021秋·湖南永州·九年級(jí)??茧A段練習(xí))(1)如圖,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在直線的同側(cè),,求證:;(2)如圖,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在直線的同側(cè),,,,,求的值;(3)如圖,中,點(diǎn)在邊上,且,,,點(diǎn)在邊上,連接,,,求的值.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)【分析】(1)要證,可證,根據(jù)可得,即可證得;(2)根據(jù),,可得到,從而求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)度,得到的值;(3)根據(jù),可得到,可求出的長(zhǎng),再根據(jù)已知條件證得即可求解.【詳解】解:(1)證明:∵,,,∴,∵,∴,∴.(2)解:如解圖,與交于點(diǎn),∵,,∴,∴,即,解得,∴,,設(shè),∴,∴,∴,∴,設(shè),∴,∴,解得,∴;(3)解:如解圖,∵,,∴,∴,∴,解得,以為圓心,長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交于點(diǎn),連接,∵,,,∴,∴,∵,,,∴,∴.【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出相關(guān)的線段長(zhǎng)度,最后一問(wèn)以EC為腰作等腰三角形為解題關(guān)鍵.2.(2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,在中,,點(diǎn)P為斜邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作射線,分別交、于點(diǎn)D,E.(1)問(wèn)題產(chǎn)生∶若P為中點(diǎn),當(dāng)時(shí),

;(2)問(wèn)題延伸:

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